題目背景

無

題目描述

給定一長度為n的動(dòng)態(tài)序列，請編寫一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，要求支持m次操作，包括查詢序列中一閉區(qū)間中所有數(shù)的GCD，與對一閉區(qū)間中所有數(shù)加上或減去一個(gè)值。

輸入輸出格式

輸入格式：

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第1行兩個(gè)數(shù)n，m，表示序列長度和操作次數(shù)。

第2行n個(gè)數(shù)ai，表示給定序列。

第3行至第m+2行，每行3~4個(gè)數(shù)：

（1） 1 x y k 表示將[x,y]上的所有數(shù)加上k。

（2） 2 x y 表示詢問[x,y]上所有數(shù)的GCD。

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輸出格式：

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對所有操作2，輸出一個(gè)數(shù)，表示詢問結(jié)果。

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輸入輸出樣例

輸入樣例#1：
7 3 4 8 2 6 5 7 10 2 1 4 1 2 3 7 2 2 3 輸出樣例#1：
2 3

說明

定義：a，b∈Z時(shí)，gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b))

對于30%的數(shù)據(jù)，n,m<=1000。

對于90%的數(shù)據(jù)，n,m<=100000。

對于100%的數(shù)據(jù)，n,m<=200000，ai<=1e7（初始）,abs(k)<=1e7。

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題解：

如果題目要求改為只支持區(qū)間查詢，那么線段樹或ST表都可以很方便地實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步思考，區(qū)間修改無法用普通線段樹實(shí)現(xiàn)的根本原因在于對[l,r]修改后[l,r]的結(jié)果無法O(1)計(jì)算出來。
如果區(qū)間修改改為單點(diǎn)修改，則可以用線段樹暴力log(n)修改。

此處證明一個(gè)引理：gcd(a₁,a₂,a₃,...,a_i)=gcd(a₁,a₂-a₁,a₃-a₂,...a_i-a_i-1).
設(shè)S為ai的公因數(shù)集合，T為a_i-a_i-1的公因數(shù)集合
設(shè)p為ai的任意一個(gè)公因數(shù)，則有p|a_i,由整除的性質(zhì)知p|a_i-a_i-1，則p一定是a_i-a_i-1的公因數(shù)，所以S是T的子集。
同理，設(shè)q為a_i-a_i-1的任意一個(gè)公因數(shù)，運(yùn)用同樣的性質(zhì)可知q一定是a_i的公因數(shù)，所以T是S的子集。
綜上，S=T，所以max{S}=max{T},即gcd(a₁,a₂,a₃,...,a_i)=gcd(a₁,a₂-a₁,a₃-a₂,...a_i-a_i-1).

所以我們將原數(shù)組a進(jìn)行差分，設(shè)差分后數(shù)組為d,區(qū)間查詢[l,r]則轉(zhuǎn)化為gcd(gcd(d[l+1,r]),a[l]);差分后區(qū)間修改變?yōu)閱吸c(diǎn)修改，可用線段樹暴力實(shí)現(xiàn)。

具體操作：將原數(shù)組進(jìn)行差分，用一棵支持單點(diǎn)修改的線段樹維護(hù)gcd，將差分?jǐn)?shù)組用一個(gè)樹狀數(shù)組維護(hù)前綴和（用來求出變化后的a[l],也可以合并在線段樹中）。
注意：差分時(shí)對區(qū)間[l,r]涉及到對r+1的操作，為防止溢出，線段樹區(qū)間增大至[1,n+1]。

代碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
LL node[4*maxn],a[maxn],c[maxn],d[maxn];
int n,m;LL ans;
LL gcd(LL a,LL b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void pushup(int x){node[x]=abs(gcd(node[x<<1],node[x<<1|1]));}
void build(int x,int l,int r) {
??? if(l==r){node[x]=d[l];return;}
??? int mid=(l+r)>>1;
??? build(x<<1,l,mid);build(x<<1|1,mid+1,r);
??? pushup(x);
}
void change(int x,int l,int r,int pos,int d) {
??? if(l==r){node[x]+=d;return;}
??? int mid=(l+r)>>1;
??? if(pos<=mid){change(x<<1,l,mid,pos,d);}
??? else{change(x<<1|1,mid+1,r,pos,d);}
??? pushup(x);
}
void query(int x,int l,int r,int sj,int tj) {
??? if(sj<=l&&r<=tj){ans=abs(gcd(node[x],ans));return;}
??? int mid=(l+r)>>1;
??? if(sj<=mid){query(x<<1,l,mid,sj,tj);}
??? if(mid+1<=tj){query(x<<1|1,mid+1,r,sj,tj);}
??? pushup(x);
}
void add(int x,int d) {
??? int i;
??? for(i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){c[i]+=d;}
}
LL sum(int x) {
??? int i;LL ans=0;
??? for(i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){ans+=c[i];}
??? return ans;
}
int main() {
??? int i,j,flag,l,r,dlt;
??? cin>>n>>m;
??? for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}
??? n++;
??? for(i=1;i<=n;i++){d[i]=a[i]-a[i-1];add(i,d[i]);}
??? build(1,1,n);
??? //for(i=1;i<=3*n;i++){printf("i=%d node[i]=%d\n",i,node[i]);}
??? for(i=1;i<=m;i++)
??? {
??????? scanf("%d%d%d",&flag,&l,&r);
??????? if(flag==1){scanf("%d",&dlt);change(1,1,n,l,dlt);change(1,1,n,r+1,-dlt);add(l,dlt);add(r+1,-dlt);}
??????? else{ans=0;query(1,1,n,l+1,r);/*printf("ans=%d sum(l)=%d\n",ans,sum(l));*/printf("%lld\n",abs(gcd(ans,sum(l))));}
??? }
??? return 0;
}

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/XSC637/p/7423923.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Luogu T9376 区间GCD的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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