2323: [ZJOI2011]細胞

Description

2222年，人類在銀河系外的某顆星球上發現了生命，并且攜帶了一個細胞回到了地球。經過反復研究，人類已經完全掌握了這類細胞的發展規律：

這種細胞最初的形態是“長條形”，一端是頭，一端是尾，中間是軀干。細胞內部含有一列密碼（你可以認為它是這種細胞的DNA）。密碼是一個長度為n的數字串，且僅含有1~9這9種數字，沿著細胞的軀干從頭到尾排列著。

首先，細胞會經歷一次分裂。細胞將沿軀干方向分裂成若干個球體，軀干將退化成絲狀物，連接著相鄰的球體。在分裂過程中，質量是均勻分布的。換句話說，若分裂成k個球體，每個球體的質量為原來的1/k。然而，密碼的分布是不確定的。若分割成k個球體，密碼會被切割成k段（每段長度至少為1），并按從頭到尾的順序分布在各個球體中。如圖，為其中一種合法的一次分裂：

接下來，細胞會經歷二次分裂。對于每個球體，其中會含有一小段密碼（注意他是有序的），我們把它看作一個十進制的數T。這個球體會被分割成T個小球體，并排成一排，之間用軀干退化成的絲狀物相連接，并且質量仍然是均勻分布的，每個小球體的質量都是原球體的1/T。至此，密碼已經發揮了它的作用，便消失了。如圖，為二次分裂：

最后，細胞會進行變異。相鄰小球體之間的絲狀物可能會退化掉，這兩個小球體便會以相切的方式直接連接。顯然，二次分裂后，除兩端外的每個小球體都有兩段絲狀物與其連接（頭尾兩端的小球體只有一段絲狀物與其相連）。對于每個小球體，必須至少退化一段與其相連的絲狀物，否則這個結構不穩定，會繼續變異。如圖，為一種穩定的變異：

現在，我們想知道，對于一個給定密碼的細胞，總共有多少種穩定的結構。兩種結構被認為相同，當且僅當他們擁有相同個數的小球體，從頭到尾每個小球體的質量相同，并且從頭到尾每對相鄰小球體之間的連接方式相同（都是通過絲狀物相連或都是通過相切直接相連）。你只需要回答這個結果?mod?1000000007即可。

Input

第一行為一個正整數n，表示細胞密碼的長度。

第二行共n個數字，為給定的細胞密碼，中間沒有空格。

Output

只包含一個整數，為細胞的種數?mod?1000000007的結果。

Sample Input

【樣例輸入一】

1

1

【樣例輸入二】

1

5

【樣例輸入三】

2

11

Sample Output

【樣例輸出一】

0

【樣例輸出二】

3

【樣例輸出三】

56

HINT

【數據規模】

對于5%的數據滿足，n ≤ 6；

對于25%的數據滿足，n ≤ 25；

對于60%的數據滿足，n ≤ 100；

對于70%的數據滿足，n ≤ 300；

對于100%的數據滿足，n ≤ 1 000。

Source

Day2

?

?

【分析】

　　好題？

　　感謝數學試卷讓我發現了這個可愛的斐波那契數列。。【hhh

　　然后【矩陣的指數不能mod phi[p]? 。。被奧爺爺d了。。。。

　　首先，第一步或第三步不同，則出來的結果一定不同【自己想為什么吧、、我就是這樣覺得的

　　對于第三步，他說一個球兩邊一定有一邊被縮了，其實就是n條邊，讓你選若干條不縮的邊，他們不相鄰（因為兩端的點是有一條邊，所以兩端的邊是不能選的）

　　這個模型就是數學試卷上的經典模型？f[n]=f[n-1]+f[n-2]，就是枚舉第n個選還是不選，就是斐波那契數列。

　　第三步的判斷就搞定了。

　　對于第一第二步，就是把這個大數字分成很多部分，套上第三步的方案加入答案中，這個可以用DP處理。

　　f[x][0]表示x前面那條邊沒有選，

　　f[x][1]表示x前面那條邊選了。

?　　f[i][0]=f[i][0]+f[j][0]*F[nw-3]+f[j][1]*F[nw-2]

　　f[i][1]=f[i][1]+f[j][0]*F[nw-2]+f[j][1]*F[nw-1]?

　　//F表示斐波那契數列， nw表示j+1~i表示的數。

?

　　然后問題來了，F[nw???]怎么求，nw是個極大的數額。。

　　【一開始我以為矩陣冪的指數可以mod phi 還樂呵呵地打了。。。

　　其實可以預處理，但是傳統的快速冪的話，貌似，挺慢？？而且你要高精？？

　　傳統的快速冪是以2為底的快速冪，他給你的高精數是10進制下的，不如把快速冪改成10為底的，那么你可以發現，有些過程可以合并，比如你算[l,r]的f，中間已經算了[l,r-1]的部分。

　　所以預處理就是O（n^2*一個不知道多大的常數）

　　好像別人打的都挺快的。。。可以看看其他解法：http://www.cnblogs.com/cghAndy/p/6594538.html

?

　　總時間復雜度：O（n^2*一個不知道多大的常數）

?

1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 #define LL long long 8 #define Mod 1000000007 9 #define Maxn 1010 10 11 int n; 12 13 struct node 14 { 15 LL w[3][3]; 16 }t[17],tt[3]; 17 18 LL a[Maxn],f[Maxn][2]; 19 char s[Maxn]; 20 21 void mul(int z,int x,int y) 22 { 23 t[2]=tt[0]; 24 for(int k=1;k<=2;k++) 25 for(int i=1;i<=2;i++) 26 for(int j=1;j<=2;j++) 27 t[2].w[i][j]=(t[2].w[i][j]+t[x].w[i][k]*t[y].w[k][j])%Mod; 28 t[z]=t[2]; 29 } 30 31 void qpow(int x,int b) 32 { 33 t[1]=tt[1]; 34 while(b) 35 { 36 if(b&1) mul(1,x,1); 37 mul(x,x,x); 38 b>>=1; 39 } 40 t[x]=t[1]; 41 } 42 43 LL B[Maxn][Maxn][3]; 44 45 LL get_f(int x) 46 { 47 t[3]=tt[2]; 48 t[4]=tt[1]; 49 for(int i=x;i<=n;i++) 50 { 51 qpow(4,10); 52 t[0]=t[3]; 53 qpow(0,a[i]); 54 // mul(4,a[i]-10,4); 55 56 t[5]=t[4]; 57 B[x][i][0]=t[5].w[1][1]; 58 mul(5,5,3); 59 B[x][i][1]=t[5].w[1][1]; 60 mul(5,5,3); 61 B[x][i][2]=t[5].w[1][1]; 62 } 63 } 64 65 void init() 66 { 67 tt[0].w[1][1]=0;tt[0].w[1][2]=0; 68 tt[0].w[2][1]=0;tt[0].w[2][2]=0; 69 70 tt[1].w[1][1]=1;tt[1].w[1][2]=0; 71 tt[1].w[2][1]=0;tt[1].w[2][2]=1; 72 73 tt[2].w[1][1]=0;tt[2].w[1][2]=1; 74 tt[2].w[2][1]=1;tt[2].w[2][2]=1; 75 76 t[11]=tt[1];t[5]=tt[1]; 77 for(int i=2;i<=9;i++) 78 { 79 mul(i,i-1,5); 80 } 81 } 82 83 int main() 84 { 85 init(); 86 scanf("%d",&n); 87 scanf("%s",s+1); 88 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=s[i]-'0'; 89 90 memset(f,0,sizeof(f)); 91 f[0][0]=1; 92 93 int i,j,k; 94 for(i=1;i<=n;i++) get_f(i); 95 96 for(i=1;i<=n;i++) 97 for(j=0;j<i;j++) 98 { 99 f[i][0]=f[i][0]+f[j][0]*B[j+1][i][0];f[i][0]%=Mod; 100 f[i][0]=f[i][0]+f[j][1]*B[j+1][i][1];f[i][0]%=Mod; 101 f[i][1]=f[i][1]+f[j][0]*B[j+1][i][1];f[i][1]%=Mod; 102 f[i][1]=f[i][1]+f[j][1]*B[j+1][i][2];f[i][1]%=Mod; 103 104 } 105 printf("%d\n",f[n][0]); 106 return 0; 107 } View Code

?

2017-03-21?21:16:25

轉載于:https://www.cnblogs.com/Konjakmoyu/p/6596743.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【BZOJ 2323】 2323: [ZJOI2011]细胞 （DP+矩阵乘法+快速幂*）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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