ARCH模型(Autoregressive conditional heteroskedasticity model)

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什么ARCH模型?

ARCH模型由美國(guó)加州大學(xué)圣迭哥分校羅伯特·恩格爾(Engle)教授1982年在《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》雜志(Econometrica)的一篇論文中首次提出。此后在計(jì)量經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中得到迅速發(fā)展。

所謂ARCH模型，按照英文直譯是自回歸條件異方差模型。粗略地說(shuō)，該模型將當(dāng)前一切

可利用信息作為條件，并采用某種自回歸形式來(lái)刻劃方差的變異，對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列而言，在不同時(shí)刻可利用的信息不同，而相應(yīng)的條件方差也不同，利用ARCH 模型，可以刻劃出隨時(shí)間而變異的條件方差。

作為一種全新的理論，ARCH模型在近十幾年里取得了極為迅速的發(fā)展，已被廣泛地用于驗(yàn)證金融理論中的規(guī)律描述以及金融市場(chǎng)的預(yù)測(cè)和決策。

ARCH模型是獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)成果之一。被認(rèn)為是最集中反映了方差變化特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時(shí)間序列分析的模型。ARCH模型是過去20年內(nèi)金融計(jì)量學(xué)發(fā)展中最重大的創(chuàng)新。目前所有的波動(dòng)率模型中,ARCH類模型無(wú)論從理論研究的深度還是從實(shí)證運(yùn)用的廣泛性來(lái)說(shuō)都是獨(dú)一無(wú)二的。

ARCH(q)模型:

均值方程:yt = Xβ + εt

εt的無(wú)條件方差是常數(shù)，但是其條件分布為

εt|Ψt ? 1～N(O,

)

條件方差方程:

=

其中Ψt ? 1是信息集

常數(shù)ω

：滯后的殘差平方

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ARCH模型的基本思想

ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一時(shí)刻一個(gè)噪聲的發(fā)生是服從正態(tài)分布。該正態(tài)分布的均值為零，方差是一個(gè)隨時(shí)間變化的量(即為條件異方差)。并且這個(gè)隨時(shí)間變化的方差是過去有限項(xiàng)噪聲值平方的線性組合(即為自回歸)。這樣就構(gòu)成了自回歸條件異方差模型。

由于需要使用到條件方差，我們這里不采用恩格爾的比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膹?fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式，而是采取下面的表達(dá)方式，以便于我們把握模型的精髓。見如下數(shù)學(xué)表達(dá)：

Yt = βXt＋εt (1)其中，

Yt為被解釋變量，

Xt為解釋變量，

εt為誤差項(xiàng)。

如果誤差項(xiàng)的平方服從AR(q)過程，即εt2 =a0＋a1εt－12 ＋a2εt－22 ＋ …… ＋ aqεt－q2 ＋ηt t =1,2,3…… (2)其中，

ηt獨(dú)立同分布，并滿足E(ηt)= 0, D(ηt)= λ2 ,則稱上述模型是自回歸條件異方差模型。簡(jiǎn)記為ARCH模型。稱序列εt 服從q階的ARCH的過程，記作εt －ARCH(q)。為了保證εt2 為正值，要求a0 >0 ,ai ≥0 i=2,3,4… 。

上面(1)和(2)式構(gòu)成的模型被稱為回歸－ARCH模型。ARCH模型通常對(duì)主體模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行建模分析。以便充分的提取殘差中的信息，使得最終的模型殘差ηt成為白噪聲序列。

從上面的模型中可以看出，由于現(xiàn)在時(shí)刻噪聲的方差是過去有限項(xiàng)噪聲值平方的回歸，也就是說(shuō)噪聲的波動(dòng)具有一定的記憶性，因此，如果在以前時(shí)刻噪聲的方差變大，那么在此刻噪聲的方差往往也跟著變大；如果在以前時(shí)刻噪聲的方差變小，那么在此刻噪聲的方差往往也跟著變小。體現(xiàn)到期貨市場(chǎng)，那就是如果前一階段期貨合約價(jià)格波動(dòng)變大，那么在此刻市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)也往往較大，反之亦然。這就是ARCH模型所具有描述波動(dòng)的集群性的特性，由此也決定它的無(wú)條件分布是一個(gè)尖峰胖尾的分布。

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ARCH模型在分析中的應(yīng)用

ARCH模型的應(yīng)用分析。從1982年開始就一直沒有間斷，經(jīng)濟(jì)學(xué)家和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家們，力圖通過不斷挖掘這個(gè)模型的潛力，來(lái)不斷增強(qiáng)我們解釋和預(yù)測(cè)市場(chǎng)的能力。從國(guó)外的研究情況來(lái)看，大致有兩個(gè)研究方向：

一是研究ARCH模型的拓展，完善ARCH模型。自ARCH模型始創(chuàng)以來(lái)，經(jīng)歷了兩次突破。一次是Bollerslev T. 提出廣義ARCH (Generalized ARCH) , 即GARCH模型，從此以后，幾乎所有的ARCH 模型新成果都是在GARCH模型基礎(chǔ)上得到的。第二次則是由于長(zhǎng)記憶在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的研究取得突破，分整研究被證明更有效地刻畫了某些長(zhǎng)記憶性經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，與ARCH模型相結(jié)合所誕生的一系列長(zhǎng)記憶ARCH模型的研究從1996年至今方興未艾。

第二個(gè)應(yīng)用是將ARCH模型作為一種度量金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)波動(dòng)性的有效工具，并應(yīng)用于與波動(dòng)性有關(guān)廣泛研究領(lǐng)域。包括政策研究、理論命題檢驗(yàn)、季節(jié)性分析等方面。

ARCH模型能準(zhǔn)確地模擬時(shí)間序列變量的波動(dòng)性的變化，它在金融工程學(xué)的實(shí)證研究中應(yīng)用廣泛，使人們能更加準(zhǔn)確地把握風(fēng)險(xiǎn)(波動(dòng)性)，尤其是應(yīng)用在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Value at Risk)理論中，在華爾街是盡人皆知的工具。

可以預(yù)見，未來(lái)的研究將會(huì)在方法論和工具論兩個(gè)方向進(jìn)一步展開，特別是其應(yīng)用研究還在不斷拓展，特別是伴隨著市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)理論的成熟，采用ARCH模型來(lái)模擬波動(dòng)性，將會(huì)對(duì)期貨交易制度設(shè)計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)控制制度設(shè)計(jì)和投資組合風(fēng)險(xiǎn)管理策略研究，提供一個(gè)更為廣闊的研究空間。

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ARCH模型的發(fā)展

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總結(jié)

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