我們學高等數(shù)學無窮級數(shù)里面有一個重要的級數(shù)叫做傅里葉級數(shù)，這個級數(shù)表述起來非常復雜，不好理解，很多人也是看到這個級數(shù)感覺摸不著頭腦，被一長串公式嚇到了，這里將通俗講解傅里葉級數(shù)。

傅里葉級數(shù)是周期函數(shù)一個級數(shù)，對于一個滿足一定條件的周期為T的周期函數(shù)f(t)，可以分解為以下形式：

簡單來講，傅里葉級數(shù)就是將一個周期函數(shù)分解為一系列正余弦函數(shù)的線性組合，看公式還是不好理解，舉個例子，下圖就是某周期函數(shù)分解出的四個正弦曲線，最上面那個頻率最小的波稱之為基波，第二條正弦曲線的頻率為基本的兩倍，第三條曲線的頻率是基波的三倍，以此類推，周期函數(shù)還可以分解成很多正弦函數(shù)，頻率倍數(shù)依次遞增，通過圖像可以直觀看出每條曲線的振幅和相位。

那么，為什么要干這么麻煩的事呢？數(shù)學家閑著沒事搞這些復雜的東西來干啥呢？這就要介紹一下分解在我們生活中的應用，我們在學高中物理時要經常要將力進行分解，這樣做的目的是分析物體在不同方向上的受力特征，并且分析該力會產生什么效果，同樣，我們的耳朵聽到的聲音就是一個關于時間的信號，這些聲音是由很多聲音疊加而成的，我們的大腦在接收聲音信號后會將這個信號分解，于是我們就會識別聲音中有哪些是人的說話聲，哪些是動物的叫聲，哪些是汽車聲音，哪些是噪音，于是我們就能得到對我們有用的信息，電子設備同樣可以分解信號獲得有用的信息，甚至可以過濾無用的信息。總之，分解對于信息的處理是很重要的。

既然分解的應用很重要，那么為什么要將周期函數(shù)分解為三角函數(shù)呢？為什么不分解為簡單的周期函數(shù)呢？比如這樣的鋸齒波：

這里就要討論正余弦函數(shù)的特殊性質，正余弦函數(shù)的微分和積分運算的結果以及同頻率的正余弦函數(shù)的線性運算結果仍然還是正余弦函數(shù)，周期即頻率不變，只有振幅和相位會發(fā)生變化，這叫做運算的形式不變性，而鋸齒波、方波等不具有這樣的性質，廣義來講復指數(shù)函數(shù)的運算具有形式不變性，正余弦函數(shù)是復指數(shù)函數(shù)中的一類。對于一個已知結構的系統(tǒng)，如果輸入信號是正余弦信號，那么輸出信號也是正余弦信號，并且很容易計算出來，對于線性系統(tǒng)來說，如果輸入信號是周期信號，那么將它分解為正余弦信號，然后分別求解這些分量的輸出信號，最后再線性疊加，就可以得到最終的輸出信號。比如：

既然理解了傅里葉分解的重要性，那么傅里葉級數(shù)是如何來的呢？接下來講傅里葉級數(shù)的推導過程，如果一個余弦函數(shù)為f(t)=cosω0t,其周期T=2π/ω0,另一個余弦函數(shù)cos2ω0t，角頻率為2ω0，周期也是T，余弦函數(shù)cosnω0t，角頻率為nω0，周期也是T，正弦函數(shù)也具有相同的性質。根據(jù)周期函數(shù)的性質，周期相同的周期函數(shù)的線性組合也是同周期的函數(shù)，比如f(t)=acosω0t+bcos2ω0t是周期為T=2π/ω0的周期函數(shù)，在加上一個常數(shù)也是如此，即f(t)=acosω0t+bcos2ω0t+c也是周期為T=2π/ω0的周期函數(shù)。根據(jù)這種思想，我們將所有周期相同但頻率不同的正余弦函數(shù)組合在一起，構造成一個無窮級數(shù)：

這樣的一個函數(shù)就是周期為T=2π/ω0的周期函數(shù)，其中，C為常數(shù)，an和bn為各頻率余弦與正弦的系數(shù)，只要改變常數(shù)和各系數(shù)就可以表示不同的周期為T的函數(shù)。既然三角函數(shù)可以組合為周期函數(shù)，那么反過來，一個周期已知的周期函數(shù)是否可以這樣分解呢？如果可以分解，那么只要計算出常數(shù)和各系數(shù)就可以分解出來，那么，計算常數(shù)和各系數(shù)就是一個關鍵問題。

要計算常數(shù)和各系數(shù)，首先要了解一些三角函數(shù)積分特征，如下，其中，n,m為正整數(shù)，T=2π/ω0。

將周期函數(shù)f(t)做一個積分：

于是，我們通過這樣的一個積分，把常數(shù)項給算出來了，接下來計算各頻率余弦的系數(shù)，構造一個積分：

上式中，如果n=0，那么

接下來就是計算各頻率正弦系數(shù)，構造積分：

通過這方法，我們就能計算常數(shù)和所有的系數(shù)，這樣一來，傅里葉級數(shù)的表達式就推導出來了，然而，不是所有的周期函數(shù)都可以這樣分解，必須滿足一定條件：在一個周期內絕對可積、第一類間斷點數(shù)量有限、極值點有限、不存在第二類間斷點，正切函數(shù)就不滿足這個條件，所以雖然正切函數(shù)是周期函數(shù)，但不能分解為傅里葉級數(shù)。

也許有些人有疑問，鋸齒波可以分解為傅里葉級數(shù)，但是鋸齒波存在很多“折點”，函數(shù)圖像中的“折點”是不可導的，而傅里葉級數(shù)是正余弦函數(shù)構成的，我們知道，正余弦函數(shù)在整個實數(shù)域都是可導的，那么這是否就矛盾呢？其實要解釋這個問題不難，舉個例子，有限個有理數(shù)之和一定是有理數(shù)，如果是無限個有理數(shù)之和呢？比如：

對于傅里葉級數(shù)，同樣可以這樣理解，有限個正余弦函數(shù)的線性組合，依然是實數(shù)域可導的，但無限個正余弦函數(shù)的線性組合，就可能會存在不可導點，這是無窮級數(shù)的一個特殊性質。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的周期三角波傅里叶级数例题_如何理解傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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