收獲

（1）理解根軌跡的概念及其在控制系統(tǒng)設(shè)計中的作用；

（2）手繪根軌跡草圖，以及如何使用極端及繪制根軌跡；

（3）熟悉在反饋控制系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛的關(guān)鍵部件：PID控制器；

（4）理解根軌跡在參數(shù)設(shè)計和系統(tǒng)靈敏度分析中的作用；

（5）能夠利用根軌跡設(shè)計控制器，使系統(tǒng)滿足預(yù)期的性能指標(biāo)設(shè)計要求。

一. 基本概念

根軌跡

當(dāng)一個參數(shù)變化時，閉環(huán)特征根在s平面上的變化軌跡稱為系統(tǒng)的根軌跡。當(dāng)系統(tǒng)有兩個或兩個以上參數(shù)變化時，可以用根軌跡法設(shè)計控制器，通過調(diào)整控制器參數(shù)來使閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的性能指標(biāo)。

根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)的某個參數(shù)從0變化到+

時，閉環(huán)特征方程的根在s平面上的變化軌跡。

2. 根靈敏度

根靈敏度，用來衡量某個根最系統(tǒng)參數(shù)的微小變化的敏感性。

3. 表述形式

將閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成

的形式。滿足的幅值條件 和相角條件

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二. 基本知識回顧

手繪根軌跡的步驟和原則

（1）繪制根軌跡的準(zhǔn)備工作

當(dāng)K從0到

增加時，特征方程 的根軌跡起始于P(s)的極點(diǎn)，終止于P(s)的零點(diǎn)；

（2）確定實軸上的根軌跡段

實軸上的根軌跡段總是位于奇數(shù)個開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的左側(cè)。根軌跡分支的條數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)。并且如果存在共軛復(fù)根，根軌跡的分支必然是關(guān)于實軸對稱的。

（3）根軌跡沿漸近線趨向于無窮遠(yuǎn)處的開環(huán)零點(diǎn)，漸近線與實軸的交點(diǎn)為

，漸近線與實軸的交角為

，

（4）如果根軌跡與根軌跡通過虛軸，使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

（5）確定實軸上的分離點(diǎn)（如果有）

根據(jù)相角條件，在分離點(diǎn)處，各條根軌跡分支的切線將均分360度。

（6）應(yīng)用相角條件，確定根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點(diǎn)的出射角和進(jìn)入開環(huán)復(fù)零點(diǎn)的入射角。根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點(diǎn)的出射角等于相角差的主值。該相角差等于各開環(huán)零點(diǎn)到該極點(diǎn)的向量的相角之和，減去其他開環(huán)極點(diǎn)到該極點(diǎn)的向量的相角之和，主值用

調(diào)整得到。

（7）根軌跡的完整繪制

2. 根軌跡用于多個參數(shù)的設(shè)計

如果能將系統(tǒng)的特征方程改寫為

所示的標(biāo)準(zhǔn)形式，就能夠利用前面的步驟來繪制根軌跡，僅為分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。對于一個同時包含兩個未知參數(shù) 和 的三階特征方程為 .

為了考察參數(shù)

從0到 時對系統(tǒng)的影響，應(yīng)該將特征方程改寫為 ，據(jù)此，可以首先研究從0到 時對系統(tǒng)的影響 ，進(jìn)一步改寫根軌跡方程為 。

即可以首先以

為可變參數(shù)的根軌跡，并確定合適的值；然后再繪制為可變參數(shù)的根軌跡，并最終確定的取值。

3. 靈敏度與根軌跡

參數(shù)變化引起的影響可以用系統(tǒng)性能對參數(shù)變化的靈敏度來表示，曾經(jīng)給出了最先由伯德(Bode)提出的對數(shù)靈敏度的定義，即

三. PID控制器

1.基本含義

PID的傳遞函數(shù)為

，該控制器傳遞函數(shù)的三個組成項分別是比例項、積分項、微分項。再將PID控制器的傳遞函數(shù)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換

其中，

和 ，因此PID控制器實際上是對應(yīng)著這樣一類的傳遞函數(shù)：在原點(diǎn)有一個極點(diǎn)，在s平面有兩個可以任意配置位置的零點(diǎn)。

PID控制器在工業(yè)生產(chǎn)過程中的應(yīng)用非常廣泛，其原因可以部分歸結(jié)為PID控制器能夠在相當(dāng)廣泛的工作條件下保持良好的工作性能；還可以部分歸結(jié)為PID功能簡單，便于使用。

2. PID參數(shù)整定

（1）試錯法。

需要不斷仿真或?qū)嶋H測試系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，然后根據(jù)觀察結(jié)果以及工程經(jīng)驗，來確定PID參數(shù)的合適取值。

（2）齊格勒-尼克爾斯參數(shù)整定方法

這種整定方法有多種變種，這里提示兩類齊格勒-尼克爾斯參數(shù)整定方法，它們分別以系統(tǒng)開環(huán)階躍響應(yīng)和閉環(huán)階躍響應(yīng)為基礎(chǔ)。

方法1 閉環(huán)齊格勒-尼克爾斯參數(shù)整定方法

首先令

和 ，然后緩慢增大比例增益 的取值，直到閉環(huán)系統(tǒng)的輸出出現(xiàn)振蕩，即系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。在掌握了比例增益 的這個取值之后，再來減小的取值，以使系統(tǒng)輸出達(dá)到所謂的25%幅值衰減狀態(tài)。也就是使閉環(huán)系統(tǒng)輸出的幅值能夠在一個振蕩周期內(nèi)減小到最大幅值的約25%（在臨界穩(wěn)定狀態(tài)的一半附近的值）。接下來的步驟就是增大 和 的取值，以使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生預(yù)期的階躍響應(yīng)。

三個參數(shù)對系統(tǒng)階躍響應(yīng)性能的影響效果

使用

在系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)進(jìn)入臨界穩(wěn)定，將此時的的取值記為 ，稱為終極增益，而此時的輸出為持續(xù)振蕩，將其周期記為 ，即終極周期，一旦確定了和，就可以利用下表來計算參數(shù)。

利用終極增益和終極周期的PID參數(shù)整定方法

方法2 開環(huán)齊格勒-尼克爾斯參數(shù)整定方法

這種方法在過程控制系統(tǒng)中的應(yīng)用格外廣泛，所依據(jù)的觀測信息是響應(yīng)曲線。這種方法的前提是受控對象（過程）近似為帶有傳輸延遲的一階系統(tǒng)。如果實際系統(tǒng)的響應(yīng)曲線并非如此，就不能使用本方法，而需要選用其他PID整定方法。

依托于響應(yīng)曲線中的傳輸時延

和響應(yīng)速率 。

時延和響應(yīng)速率設(shè)計的開環(huán)PID整定方法

注：這兩種方法并不是總能使系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的閉環(huán)性能。

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四. matlab分析根軌跡

需要使用的函數(shù)是rlocus、rlocfind 和 residue，其中函數(shù) rlocus、rlocfind 用于繪制和分析根軌跡，函數(shù)residue則用于求有理函數(shù)的部分分式展開式。

考慮一個閉環(huán)傳遞函數(shù)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)是

其特征方程為

其特征方程可以化簡為

調(diào)用函數(shù)rlocus繪制根軌跡，必須要將特征方程寫成這種形式，其中K為可變參數(shù)，變化范圍為

到 。

1. rlocus的輸入實際上是一種特定形式的開環(huán)傳遞函數(shù)

% K (s+1) % The root locus for 1 + ------------ = 0 .% s(s+2)(s+3) %p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q);rlocus(sys);

從圖中可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)的三個極點(diǎn)和一個零點(diǎn)。

當(dāng)K增大時，有兩條根軌跡分支從實軸上分離出來。這意味著，當(dāng)K大于某個值后，閉環(huán)特征方程將有兩個復(fù)根。如果想確定與特定的復(fù)根對應(yīng)的增益K的取值，可以調(diào)用函數(shù)rlocfind。注只有在運(yùn)行了函數(shù)rlocus并得到了根軌跡之后，才能調(diào)用函數(shù)rlocfind。

% K (s+1) % The root locus for 1 + ------------ = 0, where the % s(s+2)(s+3) %% rlocfind function is used to select a point on the locus.%p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q);rlocus(sys);rlocfind(sys)

運(yùn)行之后，會在根軌跡上產(chǎn)生“+”標(biāo)記，將標(biāo)記移動到根軌跡上感興趣的位置，就可以在命令行中顯示所選閉環(huán)根的位置坐標(biāo)以及對應(yīng)的參數(shù)K的取值。

在根軌跡上選中點(diǎn)，可以得到的結(jié)果

2. 函數(shù)residue求解部分分式展開式

假設(shè)通過根軌選擇了K=20.5775，代入到閉環(huán)傳遞函數(shù)中，可以得到

，閉環(huán)傳遞函數(shù)有三個極點(diǎn)和兩個零點(diǎn)，分別是（零極點(diǎn)近似相消）

極點(diǎn)

，零點(diǎn)

為了驗證閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)s=-0.8989是否為主導(dǎo)極點(diǎn)，需要分析當(dāng)輸入信號為單位階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)：

，

為了求解時域響應(yīng)y(t)，利用函數(shù)residue來進(jìn)行部分分式展開式。

% The partial fraction expansion of %% 20.5775(s+1)(s+3) % Y(s) = --------------------------- . % s^2(s+2)(s+3)+20.5775s(s+1) %K=20.5775;num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+K K 0];[r,p,k]=residue(num,den)

分別對應(yīng)

即得到的部分分式展開式為：

比較所得的，與復(fù)根極點(diǎn)對應(yīng)的留數(shù)相比，實數(shù)極點(diǎn)對應(yīng)的留數(shù)的幅值要小得多。由此可以知道，極點(diǎn)s=-0.8989并不能對輸出響應(yīng)y(t)產(chǎn)生主導(dǎo)性的影響。由負(fù)極點(diǎn)為

，相應(yīng)的阻尼比 ，固有頻率為 ，因此系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間可以近似為 % The step response for %% 20.5775(s^2+4s+3)% T(s) = -------------------------- .% s^3+5s^2+26.5775s+20.5775 %grid onK=20.5775;num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+K K]; sys=tf(num,den);step(sys)

在得到的響應(yīng)中，右鍵選擇characteristc，可以在圖中顯示相關(guān)的參數(shù)。

從圖中可以看出調(diào)整時間為Ts = 1.6s 。與上述估計的值近似。

由此說明了一個道理：系統(tǒng)的零點(diǎn)會影響瞬態(tài)響應(yīng)。由于零點(diǎn)s=-1和極點(diǎn)s=-0.8989非常的接 近，極點(diǎn)s=-0.8989 對數(shù)安泰響應(yīng)的影響被明顯削弱了，影響瞬態(tài)響應(yīng)的主要因素變成了復(fù)極點(diǎn)和零點(diǎn)s = -3 。

3. 根靈敏度與根軌跡

根靈敏度可以近似為

% Root sensitivity to a 5% change in K, where the % characteristic equation is given by % % p(s) = s^3+5s^2+(6+K)s+K = 0%% and the nominal value of K=20.5775.%K=20.5775; den=[1 5 6+K K]; r1=roots(den);dk=1.0289;Km=K+dk; denm=[1 5 6+Km Km]; r2=roots(denm);dr=r1-r2;S=dr/(dk/K)

實例中考慮了K 的相對變化量為 5%，當(dāng) K 從20.5775 增加到 21.6064 時，主導(dǎo)復(fù)極點(diǎn)s =-2.0505+j4.3228 相應(yīng)的變化量為

,則可以得到

，如計算結(jié)果顯示一致。

總結(jié)

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