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一、必勝點和必敗點的概念

???????P點：必敗點，換而言之，就是誰處于此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。
???????N點：必勝點，處于此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。
必勝點和必敗點的性質：
????????1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）
????????2、從任何必勝點N 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 P。
????????3、無論如何操作，必敗點P 都只能進入 必勝點 N。
我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助于我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!為例：
當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了
當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點
當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點
當 n = 3 時，要么就是剩一張要么剩兩張，無論怎么取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。
以此類推，最后你就可以得到；
??????n????：???0????1????2????3????4???5????6 ...
position：??P????N???N????P???N???N???P ...
你發現了什么沒有，對，他們就是成有規律，使用了 P/N來分析，有沒有覺得問題變簡單了。

二、Sprague-Grundy定理（SG定理）

????????游戲和的SG函數等于各個游戲SG函數的Nim和。這樣就可以將每一個子游戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戲中的直接應用，因為單堆的Nim游戲 SG函數滿足 SG(x) = x。

（NIM游戲：https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073）

三、Sprague-Grundy函數（SG函數）

????????首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加于一個集合的運算，表示最小的不屬于這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

????????對于任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后繼狀態的SG函數值的集合。如 x 有三個后繼狀態分別為?SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。?這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函數的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。

四、例題

http://poj.org/problem?id=2975

http://poj.org/problem?id=2960

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/338/I

五、參考文章

https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495

https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html

https://blog.csdn.net/kamisama123/article/details/77649118

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的SG函数和SG定理(Sprague_Grundy)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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