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除了字符串匹配、查找回文串、查找重復子串等經典問題以外，日常生活中我們還會遇到其它一些怪異的字符串問題。比如，有時我們需要知道給定的兩個字符串“有多像”，換句話說兩個字符串的相似度是多少。1965年，俄國科學家Vladimir Levenshtein給字符串相似度做出了一個明確的定義叫做Levenshtein距離，我們通常叫它“編輯距離”。字符串A到B的編輯距離是指，只用插入、刪除和替換三種操作，最少需要多少步可以把A變成B。例如，從FAME到GATE需要兩步（兩次替換），從GAME到ACM則需要三步（刪除G和E再添加C）。Levenshtein給出了編輯距離的一般求法，就是大家都非常熟悉的經典動態規劃問題。
????在自然語言處理中，這個概念非常重要，例如我們可以根據這個定義開發出一套半自動的校對系統：查找出一篇文章里所有不在字典里的單詞，然后對于每個單詞，列出字典里與它的Levenshtein距離小于某個數n的單詞，讓用戶選擇正確的那一個。n通常取到2或者3，或者更好地，取該單詞長度的1/4等等。這個想法倒不錯，但算法的效率成了新的難題：查字典好辦，建一個Trie樹即可；但怎樣才能快速在字典里找出最相近的單詞呢？這個問題難就難在，Levenshtein的定義可以是單詞任意位置上的操作，似乎不遍歷字典是不可能完成的。現在很多軟件都有拼寫檢查的功能，提出更正建議的速度是很快的。它們到底是怎么做的呢？1973年，Burkhard和Keller提出的BK樹有效地解決了這個問題。這個數據結構強就強在，它初步解決了一個看似不可能的問題，而其原理非常簡單。

????首先，我們觀察Levenshtein距離的性質。令d(x,y)表示字符串x到y的Levenshtein距離，那么顯然：

1. d(x,y) = 0 當且僅當 x=y??（Levenshtein距離為0 <==> 字符串相等）
2. d(x,y) = d(y,x)???? （從x變到y的最少步數就是從y變到x的最少步數）
3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z)??（從x變到z所需的步數不會超過x先變成y再變成z的步數）

????最后這一個性質叫做三角形不等式。就好像一個三角形一樣，兩邊之和必然大于第三邊。給某個集合內的元素定義一個二元的“距離函數”，如果這個距離函數同時滿足上面說的三個性質，我們就稱它為“度量空間”。我們的三維空間就是一個典型的度量空間，它的距離函數就是點對的直線距離。度量空間還有很多，比如Manhattan距離，圖論中的最短路，當然還有這里提到的Levenshtein距離。就好像并查集對所有等價關系都適用一樣，BK樹可以用于任何一個度量空間。

????建樹的過程有些類似于Trie。首先我們隨便找一個單詞作為根（比如GAME）。以后插入一個單詞時首先計算單詞與根的Levenshtein距離：如果這個距離值是該節點處頭一次出現，建立一個新的兒子節點；否則沿著對應的邊遞歸下去。例如，我們插入單詞FAME，它與GAME的距離為1，于是新建一個兒子，連一條標號為1的邊；下一次插入GAIN，算得它與GAME的距離為2，于是放在編號為2的邊下。再下次我們插入GATE，它與GAME距離為1，于是沿著那條編號為1的邊下去，遞歸地插入到FAME所在子樹；GATE與FAME的距離為2，于是把GATE放在FAME節點下，邊的編號為2。
??????
????查詢操作異常方便。如果我們需要返回與錯誤單詞距離不超過n的單詞，這個錯誤單詞與樹根所對應的單詞距離為d，那么接下來我們只需要遞歸地考慮編號在d-n到d+n范圍內的邊所連接的子樹。由于n通常很小，因此每次與某個節點進行比較時都可以排除很多子樹。
????舉個例子，假如我們輸入一個GAIE，程序發現它不在字典中。現在，我們想返回字典中所有與GAIE距離為1的單詞。我們首先將GAIE與樹根進行比較，得到的距離d=1。由于Levenshtein距離滿足三角形不等式，因此現在所有離GAME距離超過2的單詞全部可以排除了。比如，以AIM為根的子樹到GAME的距離都是3，而GAME和GAIE之間的距離是1，那么AIM及其子樹到GAIE的距離至少都是2。于是，現在程序只需要沿著標號范圍在1-1到1+1里的邊繼續走下去。我們繼續計算GAIE和FAME的距離，發現它為2，于是繼續沿標號在1和3之間的邊前進。遍歷結束后回到GAME的第二個節點，發現GAIE和GAIN距離為1，輸出GAIN并繼續沿編號為1或2的邊遞歸下去（那條編號為4的邊連接的子樹又被排除掉了）……
????實踐表明，一次查詢所遍歷的節點不會超過所有節點的5%到8%，兩次查詢則一般不會17-25%，效率遠遠超過暴力枚舉。適當進行緩存，減小Levenshtein距離常數n可以使算法效率更高。

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<iostream> #include<vector> #include<string> #include<math.h> #include<map> #include<set> #include<stack> #include<queue> #include<algorithm> using namespace std;int dp[40][40]; char s1[100], s2[100], st[10010][30]; const int inf = 0x7f7f7f7f; //數據結構定義 struct node {char word[30]; //當前結點值node *next[30]; }root;node p[100000]; int num, flag, vnum, fuck; map<string,int>mp;int f[100000];void init( ) {for( int i = 0; i < 40; i++)for( int j = 0; j < 40; j++)dp[i][j] = inf; }int diff( char *s1, char *s2) {init();int x = strlen(s1+1);int y = strlen(s2+1);for( int i = 0; i <= x; i++)dp[i][0] = i;for( int j = 0; j <= y; j++)dp[0][j] = j;for( int i = 1; i <= x; i++){for( int j = 1; j <= y; j++){dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1), dp[i-1][j-1]+ !(s1[i]==s2[j]) );} }return dp[x][y]; } //建樹 void insert(node *q, char *str) {node *l = q;while( l ){int dis = diff( l->word, str);if( ! l->next[dis] ){l->next[dis] = &p[num++];strcpy(l->next[dis]->word + 1, str + 1);break;}l = l->next[dis]; } }//查找與單詞相差不大于d的單詞 void sfind(node *q, char *str, int d) {if( flag ) return ;node *l = q;if( l == NULL )return;int dis = diff(str, l->word);if( dis <= d ){fuck++;}for( int x = dis-d; x <= dis+d; x++){ if( x >= 0 && x <= 20 && l->next[x] )sfind(l->next[x], str, d); }}int main( ) {int N, M, d, cnt, T, abc = 1;char str[1000];scanf("%d",&T);while( T-- ){scanf("%d%d",&N,&M);memset(p,0,sizeof(p));for( int i = 0; i < 30; i++)root.next[i] = NULL;num = 0;int cnum = 1;strcpy(st[0] + 1, root.word+1);for( int i = 1; i <= N; i++){scanf("%s",st[i]+1);insert(&root, st[i]);}d = 1;printf("Case #%d:\n", abc++);for( int i = 1; i <= M; i++){vnum = 0;flag = 0;fuck = 0;scanf("%s%d",str+1, &d);sfind(&root, str, d); printf("%d\n", fuck);}}return 0; }
自己寫的版本，比較容易理解

#include <iostream> #include <vector> #include <string> #include <fstream> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <math.h> #include <sstream> #include <set> #include <algorithm>using namespace std; #define MAXEDIT 15 class node { public:string word;node *next[MAXEDIT];node() {memset(next, 0, sizeof(next));} };string split(const string& str) {size_t pos = str.find(" ||| ");return str.substr(0, pos); }bool isalpha(const string& str) {for (int i = 0; i < str.size(); ++i) {if (!(str[i]>='a' && str[i] <='z' || str[i]>='A' && str[i] <='Z' )) return false;}return true; }int minTri(int a, int b, int c) {int rst = a;if (rst > b) rst = b;if (rst > c) rst = c;return rst; }int editDist(const string &str1, const string &str2) {vector<vector<int> > mat(str1.size() + 1, vector<int>(str2.size() +1, 0));for (int i = 1; i < str1.size(); ++i) mat[i][0] = i;for (int i = 1; i < str2.size(); ++i) mat[0][i] = i;for (int i = 1; i <= str1.size(); ++i) {for (int j = 1; j <= str2.size(); ++j) {int cost = 1;if (str1[i-1] == str2[j-1]) cost = 0;mat[i][j] = minTri(mat[i-1][j-1]+cost, mat[i-1][j] + 1, mat[i][j-1] + 1);}}return mat[str1.size()][str2.size()]; }void insert(node* head, const string& str) {node *tmp = head;while (tmp) {int dis = editDist(tmp->word, str);if (dis == 0 || dis >= MAXEDIT) return;if (tmp->next[dis]) tmp = tmp->next[dis];else {tmp->next[dis] = new node();tmp->next[dis]->word = str;break;}}}void buildKDTree(node *head, const vector<string>& ls) {for (int i = 0; i < ls.size(); ++i) {insert(head, ls[i]);} }void freeKDTree(node* head) {for (int i = 0; i < MAXEDIT; ++i) {if (head->next[i]) {freeKDTree(head->next[i]);delete head->next[i];head->next[i] = NULL;}} }void findN(node *head, const string & str,vector<pair<string,int> >& rst, int n) {int d = editDist(head->word, str);if (d <= n && d != 0) {rst.push_back(make_pair(head->word,d));}int minR = max(1, d - n);int maxR = min(MAXEDIT-1, d + n);for (int i = minR; i <= maxR; ++i) {if (head->next[i]) {findN(head->next[i], str, rst, n);}} }bool Cmp(const pair<string, int>& p1, const pair<string, int> &p2) {return p1.second < p2.second; }int main(int argc, char *argv[]) {if (argc != 3) {cout << "input output"<<endl;return -1;}ifstream fin(argv[1]);ofstream fo(argv[2]);string line;set<string> st;while(getline(fin, line)) {string word = split(line);if (isalpha(word) && word.size() > 1)st.insert(word);}vector<string> ls(st.size());set<string>::iterator it = st.begin();int i = 0;for(; it != st.end(); ++it)ls[i++] = *it;node head;head.word = ls[0];buildKDTree(&head, ls);for (i = 0; i < ls.size();++i) {if ((i+1)%5000 ==0) cout << i+1<<endl;vector<pair<string, int> > rst;int dist = min((int)ls[i].size()/2, 3);findN(&head, ls[i], rst, dist);ostringstream ostr;ostr<<ls[i]<<"\t";sort(rst.begin(), rst.end(), Cmp);for (int j = 0; j < rst.size(); ++j) {ostr<<rst[j].first<<" ";}fo<<ostr.str()<<endl;}freeKDTree(&head);fin.close();fo.close();system("pause");return 0; }

實際效果比之前寫的多線程暴力慢多了.......

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU 4323 bk树 编辑距离的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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