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問題

現(xiàn)在有一班飛機(jī)將要起飛，乘客們正準(zhǔn)備按機(jī)票號(hào)碼（1, 2, 3, …N）依次排隊(duì)登機(jī)。突然來了一只大猩猩（對，他叫金剛）。他也有飛機(jī)票，但是他插隊(duì)第一個(gè)登上了飛機(jī)，然后隨意地選了一個(gè)座位坐下了。根據(jù)社會(huì)的和諧程度，其他的乘客有兩種反應(yīng)：

乘客們都義憤填膺，“既然金剛同志不遵守規(guī)定，為什么我要遵守？”他們也隨意地找位置坐下，并且堅(jiān)決不讓座給其他乘客。

乘客們雖然感到憤怒，但還是以“和諧”為重，如果自己的位置沒有被占領(lǐng)，就趕緊坐下，如果自己的位置已經(jīng)被別人（或者金剛同志）占了，就隨機(jī)地選擇另一個(gè)位置坐下，并開始閉目養(yǎng)神，不再挪動(dòng)位置。

那么，在這兩種情況下，第 i 個(gè)乘客（除去金剛同志之外）坐到自己原機(jī)票位置的概率分別是多少？

解答

第一題：因?yàn)槊课怀丝?#xff08;包括金剛）都是隨機(jī)的，問題等同于抽獎(jiǎng)問題，先到先抽，即第 i 個(gè)乘客抽到自己的座位的概率為1/N。

第二題：用 F(i, n) 表示當(dāng)座位總數(shù)為n時(shí)，第 i 個(gè)乘客坐到自己原位置的概率。根據(jù)全概率公式，得

其中 P(K=j) 表示金剛坐在位置 j 上，P(i | K=j) 是條件概率，表示當(dāng)金剛坐在位置 j 上時(shí)，第 i 個(gè)乘客坐到自己原位置的概率。顯然 P(K=j)=1/n，現(xiàn)在來分析 P(i | K=j)。

金剛?cè)籼糇约旱淖换蜻x的座位在第i個(gè)座位后（即 i < j），則第 i 個(gè)乘客肯定能坐到原來的座位。此時(shí) P(i │ K=j) = 1；

金剛?cè)籼暨x的座位在第 i 個(gè)座位前，（即 i > j），則第j個(gè)乘客除非坐到金剛的座位，不然就會(huì)搶其他人的座位，因?yàn)樗男袨楹徒饎傁嗨?#xff0c;可以將他當(dāng)做金剛處理。去除前 j 個(gè)座位，剩下的座位和乘客再按原大小排序重新從1開始編號(hào)，則先前的第 i 個(gè)乘客，其座位號(hào)變?yōu)?i-j，新的總座位數(shù)變?yōu)?n-j。所以得 P(i │ K=j) = F(i-j, n-j)。

由上分析得：

再取 n+1 和 i+1 代入上式并與原式相減得：

代入計(jì)算的時(shí)候，譬如要求當(dāng)i=3的做到座位上的概率，則需要取i-1=2代入到上式中

總結(jié)

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