問(wèn)題定義：

巡回旅行商問(wèn)題

給定一組n個(gè)城市和倆倆之間的直達(dá)距離，尋找一條閉合的旅程，使得每個(gè)城市剛好經(jīng)過(guò)一次且總的旅行距離最短。

TSP問(wèn)題也稱(chēng)為貨郎擔(dān)問(wèn)題，是一個(gè)古老的問(wèn)題。最早可以追溯到1759年Euler提出的騎士旅行的問(wèn)題。1948年，由美國(guó)蘭德公司推動(dòng)，TSP成為近代組合優(yōu)化領(lǐng)域的典型難題。

TSP是一個(gè)具有廣泛的應(yīng)用背景和重要理論價(jià)值的組合優(yōu)化問(wèn)題。近年來(lái)，有很多解決該問(wèn)題的較為有效的算法不斷被推出，例如Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，模擬退火方法以及遺傳算法方法等。

TSP搜索空間隨著城市數(shù)n的增加而增大,所有的旅程路線組合數(shù)為(n-1)!/2。在如此龐大的搜索空間中尋求最優(yōu)解，對(duì)于常規(guī)方法和現(xiàn)有的計(jì)算工具而言，存在著諸多計(jì)算困難。借助遺傳算法的搜索能力解決TSP問(wèn)題，是很自然的想法。

基本遺傳算法可定義為一個(gè)8元組：

• (SGA)=(C，E，P0，M，Φ，Г，Ψ，Τ)

• C ——個(gè)體的編碼方法，SGA使用固定長(zhǎng)度二進(jìn)制符號(hào)串編碼方法；

• E ——個(gè)體的適應(yīng)度評(píng)價(jià)函數(shù)；

• P0——初始群體；

• M ——群體大小，一般取20—100；

• Ф——選擇算子，SGA使用比例算子；

• Г——交叉算子，SGA使用單點(diǎn)交叉算子；

• Ψ——變異算子，SGA使用基本位變異算子；

• Т——算法終止條件，一般終止進(jìn)化代數(shù)為100—500；

問(wèn)題的表示

• 對(duì)于一個(gè)實(shí)際的待優(yōu)化問(wèn)題，首先需要將其表示為適合于遺傳算法操作的形式。用遺傳算法解決TSP，一個(gè)旅程很自然的表示為n個(gè)城市的排列，但基于二進(jìn)制編碼的交叉和變異操作不能適用。

• 路徑表示是表示旅程對(duì)應(yīng)的基因編碼的最自然，最簡(jiǎn)單的表示方法。它在編碼，解碼，存儲(chǔ)過(guò)程中相對(duì)容易理解和實(shí)現(xiàn)。例如：旅程(5-1-7-8-9-4-6-2-3)可以直接表示為(5 1 7 8 9 4 6 2 3)。

產(chǎn)生初始種群

• 一是完全隨機(jī)產(chǎn)生，它適合于對(duì)問(wèn)題的解無(wú)任何先驗(yàn)知識(shí)的情況。隨機(jī)性較強(qiáng)，因而也較公正。

• 二是某些先驗(yàn)知識(shí)可轉(zhuǎn)變?yōu)楸仨殱M(mǎn)足的一組要求，然后在滿(mǎn)足這些要求的解中在隨機(jī)地選取樣本。這樣選擇初始種群可使遺傳算法更快的達(dá)到最優(yōu)解。種群有一定的目標(biāo)性和代表性，但取例不如完全隨機(jī)的廣泛，而且先驗(yàn)知識(shí)是否可靠也是一個(gè)問(wèn)題。

適應(yīng)度函數(shù)

• 遺傳算法在進(jìn)化搜索中基本不利用外部信息,僅以適應(yīng)度函數(shù)為依據(jù),利用種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值來(lái)進(jìn)行搜索。TSP的目標(biāo)是路徑總長(zhǎng)度為最短，路徑總長(zhǎng)度的倒數(shù)就可以為T(mén)SP的適應(yīng)度函數(shù)：

選擇

一般地說(shuō)，選擇將使適應(yīng)度較大(優(yōu)良)個(gè)體有較大的存在機(jī)會(huì)，而適應(yīng)度較小(低劣)的個(gè)體繼續(xù)存在的機(jī)會(huì)也較小。簡(jiǎn)單遺傳算法采用賭輪選擇機(jī)制，令Σfi表示群體的適應(yīng)度值之總和，fi表示種群中第i個(gè)染色體的適應(yīng)度值，它產(chǎn)生后代的能力正好為其適應(yīng)度值所占份額fi／Σfi。

交叉

基于路徑表示的編碼方法，要求一個(gè)個(gè)體的染色體編碼中不允許有重復(fù)的基因碼，也就是說(shuō)要滿(mǎn)足任意一個(gè)城市必須而且只能訪問(wèn)一次的約束。基本遺傳算法的交叉操作生成的個(gè)體一般不能滿(mǎn)足這一約束條件。

部分匹配交叉操作要求隨機(jī)選取兩個(gè)交叉點(diǎn)，以便確定一個(gè)匹配段，根據(jù)兩個(gè)父?jìng)€(gè)體中兩個(gè)交叉點(diǎn)之間的中間段給出的映射關(guān)系生成兩個(gè)子個(gè)體。

變異

遺傳算法解決TSP 問(wèn)題基于二進(jìn)值編碼的變異操作不能適用，不能夠由簡(jiǎn)單的變量的翻轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)

在TSP問(wèn)題中個(gè)體的編碼是一批城市的序列，隨機(jī)的在這個(gè)序列抽取兩個(gè)城市，然后交換他們的位置。這樣就實(shí)現(xiàn)了個(gè)體編碼的變異，算法如下：

產(chǎn)生兩個(gè)0到1之間的隨機(jī)實(shí)數(shù)；

將這兩個(gè)隨機(jī)實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為0到n(城市數(shù))-1之間的隨機(jī)整數(shù)；

將這兩個(gè)隨機(jī)整數(shù)指代的城市進(jìn)行交換；

流程圖

代碼

主函數(shù)代碼：

clear;

clc;

tStart= tic;% 算法計(jì)時(shí)器

%%%%%%%%%%%%自定義參數(shù)%%%%%%%%%%%%%

[cityNum,cities]= Read('dsj1000.tsp');

cities= cities';

%cityNum=100;

maxGEN = 1000;

popSize = 100; % 遺傳算法種群大小

crossoverProbabilty = 0.9; %交叉概率

mutationProbabilty = 0.1; %變異概率

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

gbest = Inf;

%隨機(jī)生成城市位置

%cities=rand(2,cityNum)*100;%100是最遠(yuǎn)距離

%計(jì)算上述生成的城市距離

distances = calculateDistance(cities);

%生成種群，每個(gè)個(gè)體代表一個(gè)路徑

pop = zeros(popSize, cityNum);

for i=1:popSize

????pop(i,:) = randperm(cityNum);

end

offspring = zeros(popSize,cityNum);

%保存每代的最小路勁便于畫(huà)圖

minPathes = zeros(maxGEN,1);

%GA算法

for??gen=1:maxGEN

????% 計(jì)算適應(yīng)度的值，即路徑總距離

????[fval, sumDistance, minPath, maxPath] = fitness(distances, pop);

????% 輪盤(pán)賭選擇

????tournamentSize=4; %設(shè)置大小

????for k=1:popSize

????????% 選擇父代進(jìn)行交叉

????????tourPopDistances=zeros( tournamentSize,1);

????????for i=1:tournamentSize

????????????randomRow = randi(popSize);

????????????tourPopDistances(i,1) = sumDistance(randomRow,1);

????????end

????????% 選擇最好的，即距離最小的

????????parent1??= min(tourPopDistances);

????????[parent1X,parent1Y] = find(sumDistance==parent1,1, 'first');

????????parent1Path = pop(parent1X(1,1),:);

????????for i=1:tournamentSize

????????????randomRow = randi(popSize);

????????????tourPopDistances(i,1) = sumDistance(randomRow,1);

????????end

????????parent2??= min(tourPopDistances);

????????[parent2X,parent2Y] = find(sumDistance==parent2,1, 'first');

????????parent2Path = pop(parent2X(1,1),:);

????????subPath = crossover(parent1Path, parent2Path, crossoverProbabilty);%交叉

????????subPath = mutate(subPath, mutationProbabilty);%變異

????????offspring(k,:) = subPath(1,:);

????????minPathes(gen,1) = minPath;

????end

????fprintf('代數(shù):%d?? 最短路徑:%.2fKM \n', gen,minPath);

????% 更新

????pop= offspring;

????% 畫(huà)出當(dāng)前狀態(tài)下的最短路徑

????ifminPath< gbest

????????gbest= minPath;

????????paint(cities,pop,gbest,sumDistance,gen);

????end

end

figure

plot(minPathes,'MarkerFaceColor','red','LineWidth',1);

title('收斂曲線圖(每一代的最短路徑)');

set(gca,'ytick',500:100:5000);

ylabel('路徑長(zhǎng)度');

xlabel('迭代次數(shù)');

gridon

tEnd= toc(tStart);

fprintf('時(shí)間:%d 分??%f 秒.\n',floor(tEnd/60),rem(tEnd,60));

function[distances]= calculateDistance(city)

%計(jì)算距離

????[~,col]= size(city);

????distances= zeros(col);

????fori=1:col

????????forj=1:col

????????????distances(i,j)= distances(i,j)+ sqrt((city(1,i)-city(1,j))^2+ (city(2,i)-city(2,j))^2??);??????????

????????end

????end

end

function[childPath]= crossover(parent1Path,parent2Path,prob)

%交叉

????random= rand();

????ifprob>= random

????????[l,length]= size(parent1Path);

????????childPath= zeros(l,length);

????????setSize= floor(length/2)-1;

????????offset= randi(setSize);

????????fori=offset:setSize+offset-1

????????????childPath(1,i)= parent1Path(1,i);

????????end

????????iterator= i+1;

????????j= iterator;

????????whileany(childPath== 0)

????????????ifj> length

????????????????j= 1;

????????????end

????????????ifiterator> length

????????????????iterator= 1;

????????????end

????????????if~any(childPath== parent2Path(1,j))

????????????????childPath(1,iterator)= parent2Path(1,j);

?????????????? iterator= iterator+ 1;

????????????end

????????????j= j+ 1;

????????end

????else

????????childPath= parent1Path;

????end

end

function[fitnessvar,sumDistances,minPath,maxPath]= fitness(distances,pop)

%計(jì)算整個(gè)種群的適應(yīng)度值

????[popSize,col]= size(pop);

????sumDistances= zeros(popSize,1);

????fitnessvar= zeros(popSize,1);

????fori=1:popSize

?????? forj=1:col-1

??????????sumDistances(i)= sumDistances(i)+ distances(pop(i,j),pop(i,j+1));

?????? end

????end

????minPath= min(sumDistances);

????maxPath= max(sumDistances);

????fori=1:length(sumDistances)

????????fitnessvar(i,1)=(maxPath- sumDistances(i,1)+0.000001)/ (maxPath-minPath+0.00000001);

????end

end

function[mutatedPath]= mutate(path,prob)

%對(duì)指定的路徑利用指定的概率進(jìn)行更新

????random= rand();

????ifrandom<= prob

????????[l,length]= size(path);

????????index1= randi(length);

????????index2= randi(length);

????????%交換

????????temp= path(l,index1);

????????path(l,index1)= path(l,index2);

????????path(l,index2)=temp;

????end

????????mutatedPath= path;

end

function[output_args]= paint(cities,pop,minPath,?totalDistances,?gen)

????gNumber=gen;

????[~,length]= size(cities);

????xDots= cities(1,:);

????yDots= cities(2,:);

????%figure(1);

????title('GA TSP');

????plot(xDots,yDots,'p','MarkerSize',14,'MarkerFaceColor','blue');

????xlabel('經(jīng)度');

????ylabel('緯度');

????axisequal

????holdon

????[minPathX,~]= find(totalDistances==minPath,1,'first');

????bestPopPath= pop(minPathX,:);

????bestX= zeros(1,length);

????bestY= zeros(1,length);

????forj=1:length

?????? bestX(1,j)= cities(1,bestPopPath(1,j));

?????? bestY(1,j)= cities(2,bestPopPath(1,j));

????end

????title('GA TSP');

????plot(bestX(1,:),bestY(1,:),'red','LineWidth',1.25);

????legend('城市','路徑');

????axisequal

????gridon

????%text(5,0,sprintf('迭代次數(shù): %d 總路徑長(zhǎng)度: %.2f',gNumber, minPath),'FontSize',10);

????drawnow

????holdoff

end

function[n_citys,city_position]= Read(filename)

fid= fopen(filename,'rt');

location=[];

A= [12];

tline= fgetl(fid);

whileischar(tline)

????if(strcmp(tline,'NODE_COORD_SECTION'))

????????while~isempty(A)

????????????A=fscanf(fid,'%f',[3,1]);

????????????ifisempty(A)

????????????????break;

????????????end

????????????location=[location;A(2:3)'];

????????end

????end

????tline = fgetl(fid);

????if strcmp(tline,'EOF')

????????break;

????end

end

[m,n]=size(location);

n_citys= m;

city_position=location;

fclose(fid);

end

結(jié)果

測(cè)試數(shù)據(jù)：

初始態(tài)：

終態(tài)：

收斂曲線：

可以看到，當(dāng)城市數(shù)量適中時(shí)，迭代500次最短路徑長(zhǎng)度有收斂的趨勢(shì)。

當(dāng)城市數(shù)目較多時(shí)

迭代500次，仍然不收斂，可能的問(wèn)題是陷入了局部最優(yōu)解。

總結(jié)與觀點(diǎn)

難點(diǎn)是交叉算法的設(shè)計(jì)，由于TSP問(wèn)題和一般的NP問(wèn)題不一樣，每個(gè)個(gè)體的每個(gè)維度具有唯一性，因此在交叉的時(shí)候要注意不能有重復(fù)的值。本次實(shí)驗(yàn)采用的是部分匹配交叉，先從第一個(gè)父代選出一個(gè)偏移量，從偏移量后的部分點(diǎn)加入到子代，接下來(lái)從第二個(gè)父代選擇第一代沒(méi)有選擇的部分點(diǎn)移到子代中。

當(dāng)城市數(shù)量較多時(shí)，大于50個(gè)城市，迭代多次，GA仍然不收斂，可能的問(wèn)題是陷入了局部最優(yōu)解，因此對(duì)GA算法進(jìn)行改進(jìn)怡跳出局部最優(yōu)解，可以采用類(lèi)似于PSO或者蟻群算法的思想。

數(shù)據(jù)集下載

https://github.com/xyjigsaw/Dataset

轉(zhuǎn)載自：

https://www.omegaxyz.com/2019/01/21/matlab-tsp-all/

作者：OmegaXYZ

https://www.omegaxyz.com

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab 遗传优化算法_转载 | 遗传算法解决TSP问题的MATLAB实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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