含有x和y這兩個變量的線性回歸是所有回歸分析中最常見的一種；而且，在描述它們關系的時候，也是最有效、最容易假設的一種模型。然而，有些時候，它的實際情況下某些潛在的關系是非常復雜的，不是二元分析所能解決的，而這時，我們需要多項式回歸分析來找到這種隱藏的關系。

讓我們看一下經濟學里的一個例子：假設你要買一個具體的產品，而你要買的個數是q。如果產品的單價是p，然后，你要給y元。其實，這就是一個很典型的線性關系。而總價和產品數量呈正比例關系。下面，根據這個實例，我們敲擊行代碼來作它們的線性關系圖：

p

q

y

plot(q,y,type='l',col='red',main='Linear relationship')

下面是它的線性關系圖：

現在，我們看到這確實是一個不錯的估計，這個圖很好的模擬成q和y的線性關系。然而，當我們在做買賣要考慮別的因素的時候，諸如這種商品要買多少，很有可能，我們可以通過詢問和討價賺得折扣，或者，當我們越來越多的買一種具體的商品的時候，我們也可能讓這種商品升價了。

這樣，我們根據上面的條件，我們在寫腳本的時候，我們要注意，總價與產品的數量不再具有線性關系了：

y

plot(q,y,type='l',col='navy',main='Nonlinear relationship',lwd=3)

利用多項式回歸，我們可以擬合n>1張訂單所產生的數據的模型，并且能試著建一個非線性模型。

怎樣擬合一個多項式回歸

首先，當我們要創建一串虛擬隨機數的時候，我們必須總要記得寫set.seed(n)。這樣做，隨機數生成器總能產生同等數目的數據。

set.seed(20)

預測變量q：使用seq來快速產生等間距的序列：

q

預測y值：

y

我們現在產生一些噪音并把它添加到模型中：

noise

noisy.y

對噪聲數據進行畫圖：

plot(q,noisy.y,col='deepskyblue4',xlab='q',main='Observed data')

lines(q,y,col='firebrick1',lwd=3)

下面的這個圖根據觀測數據進行模擬。其中，模擬的圖的散點是藍色的，而紅色線則是信號(信號是一種術語，它通常用于表示我們感興趣的東西的通常變化趨勢)。

我們得出的模型應當是 y = aq + bq2 + c*q3 + cost。

現在，我們用R對此進行模擬。要擬合一個多項式模型，你也可以這樣用：

model

或者：

model

然而，我們要知道q，I(q^2)，I(q^3)存在相關的關系，而這些相關變量很有可能引起某些問題的產生。這時，使用poly()可以避免這個問題，因為它是創建一個垂直的多項式。因此，我喜歡第一種方法：

summary(model)

Call:

lm(formula =noisy.y ~poly(q,3))

Residuals:

Min1QMedian3QMax

-212.326-51.1864.27661.485165.960

Coefficients:

EstimateStd.Errort value Pr(>|t|)

(Intercept)513.6155.60291.69<2e-16***

poly(q,3)12075.89979.42226.14<2e-16***

poly(q,3)2-108.00479.422-1.360.175

poly(q,3)3864.02579.42210.88<2e-16***

---

Signif.codes:0‘***’0.001‘**’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1

Residualstandard error:79.42on 197degrees of freedom

MultipleR-squared:0.8031,AdjustedR-squared:0.8001

F-statistic:267.8on 3and197DF,p-value:0

我們可以使用confint()來獲得一個模型的參數的置信區間。

一下是模型參數的置信區間：

confint(model,level=0.95)

2.5%97.5%

(Intercept)502.5676524.66261

poly(q,3)11919.27392232.52494

poly(q,3)2-264.629248.62188

poly(q,3)3707.39991020.65097

現在，我們要作一個擬合VS殘差圖。如果這是一個擬合效果比較不錯的模型，我們應該看不到任何一種模型的模式特征：

plot(fitted(model),residuals(model))

整體來說，這個模型的擬合效果還是不錯的，畢竟殘差為0.8。第一和第三個訂單序列的系數，在統計學當中，是相當這樣的，這樣在我們的意料之中。現在，我們可以使用predict()函數來獲得擬合數據以及置信區間，這樣，我們可以不按照數據來作圖。

下面是預測值和預測置信區間：

predicted.intervals

在已有的圖像中添加擬合線：

lines(q,predicted.intervals[,1],col='green',lwd=3)

lines(q,predicted.intervals[,2],col='black',lwd=1)

lines(q,predicted.intervals[,3],col='black',lwd=1)

添加圖例：

legend("bottomright",c("Observ.","Signal","Predicted"),

col=c("deepskyblue4","red","green"),lwd=3)

下面是它的擬合圖像：

我們可以看到我們的模型在數據的擬合方面做的不錯，我們也因此感到非常滿意。

注意：多項式回歸是一種更能強大的工具。可是，我們也可能得到事與愿違的結果：在這個例子中，我們知道我們的信號是使用三次多項式而產生的，然而，當我們在分析實際數據的時候，我們通常對此不知情，因此，正因為多項式次數n大于4的時候會產生過度擬合的情況，我們要在這里注意一下。但你的模型取了噪音而不是信號的時候會產生過擬合的情況；甚至，當你在現有的數據進行模型優化的時候，當你要嘗試預測新的數據的時候就不好了，它會導致缺失值的產生。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多项式拟合lm_R语言多项式回归的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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