這是學習筆記的第 2161 篇文章

記得上學的時候忙著考試，把心頭的一些為什么都壓在了腦后。

面對未知，我們大多數(shù)人都選擇了默認接受，其實你不懂根號2，

比如：根號2（√2）為什么是無理數(shù)，我們有什么辦法去計算它。

當我冒出這個想法的時候，其實大部分人的反映都一樣1+1開根號就是啊，至于為什么，就是規(guī)定唄，當然把根號作為一種符號確實如此，但是離結(jié)果還差了很遠。

這個問題追根溯源，會發(fā)現(xiàn)遠比我們想象的要復雜，得追溯到古希臘時期。

畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數(shù)學家，他提出“萬物皆為數(shù)”的觀點。公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）突然發(fā)現(xiàn)好像有些情況解釋不了，比如一個正方形的對角線與其一邊的長度，這明顯與畢氏學派的“萬物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭，使得學派領(lǐng)導人很惶恐，最后被畢氏門徒殘忍地投入了水中殺害。

要去計算根號2的值，我們可以拆分為兩個問題。

1）怎么證明根號2是無理數(shù)

2）根號2的無理數(shù)值是怎么計算出來的？

我們來從求知的角度來證明下根號2（√2）為什么是無理數(shù)？

方法1：尾數(shù)證明法：

假設(shè)根號2是一個有理數(shù)，那么根號2就可以使用a/b的形式來標識，其中(a,b)=1,(表示a 與 b 最大的公因數(shù)是1）,a和b都是正整數(shù)，明確了這些條件，我們就開始證明了。

第1步：√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b

第2步：從數(shù)的平方我們可以很快得到，b*b的尾數(shù)范圍是 (0,1,4,5,6,9)中的一個數(shù)，不可能是2,3,7,8，這個道理不難理解；

第3步：2*b*b的尾數(shù)范圍是（0,2,8）中的一個數(shù)，

第4步：因為a*a=2*b*b,那么a*a的尾數(shù)范圍可以排除2和8，只有0

第5步：因為2*b*b得到的值肯定是一個偶數(shù)，那么b*b的尾數(shù)范圍是(0,5)

第6步：按照目前的尾數(shù)可選項，a和b存在公因數(shù)5，和(a,b)=1是相矛盾的。

所以根號2是一個無理數(shù)。

方法2：奇偶分析法

假設(shè)√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1,(表示a 與 b 最大的公因數(shù)是1,a和b都是正整數(shù)

1）根據(jù)2*b*b可以推得a是一個偶數(shù)，我們可以設(shè)置a=2c

2）4*c*c=2*b*b得到 b*b=2*c*c，可以得到b也是偶數(shù)

3）a,b都是偶數(shù)，這和(a,b)=1相矛盾

所以根號2是一個無理數(shù)，可以說明的是希帕索斯就是用這種方法證明的。

還有很多種方法補充，差不多有8種左右，我就不一一羅列了。

如何計算根號2的值呢，查找了不少資料，我覺得這幾種方法還是能消化的。

方法1：

（√2+1）（√2-1）=1，這是我們參考的一個基準，可以按照這種方式不斷的展開。

√2-1=1/（√2+1）

√2 = 1+ 1/（√2+1）,繼續(xù)帶入根號2的對等公式

√2 = 1+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1）=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））

繼續(xù)推導：

√2=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））=1+ 1/（2+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1））=1+ 1/（2+ 1/（2+ 1/（√2+1）））

這種方式叫做連分數(shù)法，我們可以通過這種不斷的迭代可以得到更加精確的值。

方法2：

我們可以很容易得到根號2的范圍，明顯是大于1的，所以我們可以按照y=x+1的函數(shù)來表示，即

√2 = y=1+x

對上式做平方，得到

2=（1+x）(1+x),得到

2=1+x*x+2*x+1,進一步得到，

x*x+2*x=1,推得，x*(x+2)=1,得到

x=1/（x+2）,所以

1/x=2+x=2+1/(2*x)=2+1/(2*1/（x+2）)

=2+1/(2*1/（1/（x+2）+2）)

按照這種方式可以不斷的推導，得到更加精確的值。

計算機如何計算根號2

當然還有很多高大上的方法來進一步輔助，比如牛頓迭代法，二分法等

那么如何在計算機中來計算得到根號2呢， 這里要介紹一個傳奇算法：算法名字就是：0x5f375a86，看起來像是一個內(nèi)存地址一樣，該算法據(jù)說比牛頓迭代法快4倍，核心的代碼類似下面這樣：

i = 0x5f375a86 - (i>>1);

至今為止仍未能確切知曉此常數(shù)的起源 ，值得一提的是這個值最初為0x5f3759df，后來由Lomont通過暴力窮舉找到這個更優(yōu)值，即0x5f375a86

Lomont采用暴力方法逐步嘗試，終于找到一個比之前的好那么一丁點的數(shù)字，雖然實際上這兩個數(shù)字所產(chǎn)生的結(jié)果非常近似，這個暴力得出的數(shù)字是0x5f375a86，為此他寫了一篇論文《Fast Inverse Square Root》

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的怎么证明根号2是无理数怎么证明根号2是无理数和无理数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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