矩陣的乘法

矩陣對向量可以做拉伸也可以做旋轉

對角矩陣對向量$(x,y)$在x軸上拉伸了3倍。非對角矩陣對向量$(x,y)$不僅做了拉伸，同時也做了旋轉。

特征值和特征向量到底描述了什么

舉個例子：打拳擊。我們可以把方向當做特征向量，在這個方向上用多大的力量就是特征值。

特征向量可以說是主要的前進目標，特征值是向這個目標產生多大的作用。

數學定義

對于給定矩陣A，尋找一個常數$\lambda$和非零向量$x$，使得向量$x$被矩陣A作用后所得的向量$Ax$與原向量$x$平行，并且滿足$Ax=\lambda x$。如下圖所示：

$\lambda$就是特征值，$x$就是特征值$\lambda$對應的特征向量。

例如要做降維操作，10維的數據，每一維度都有一個特征向量，有下面兩個維度逇特征向量，應該選擇哪一個？

如果有兩個特征值${\lambda }_1>{\lambda }_2$，我們會認為${\lambda }_1$對應的特征向量更重要，更有價值，所以在做降維操作時，選擇特征值大的一個特征向量。

特征空間

特征空間包含了所有的特征向量。

應用

既然特征值表達了重要程度，并且和特征向量所對應，那么特征值大的就是主要信息了，基于這一點，我們可以提取各種有價值的信息了！

圖像可以看做是一個矩陣，既然是矩陣，就可以算出這個矩陣的特征向量和特征值，我們如果取前10個特征值最大的特征向量，那么就可以對這個圖像進行壓縮，雖然圖像變的有一些模糊，但是整體不會有太大變化。

使用numpy計算特征值和特征向量

import numpy as np# 創建矩陣 維度 4*2 data = np.array([[2, 4], [1, 3], [0, 0], [0, 0]])# 將矩陣轉為方陣 維度 4*4 A = np.dot(data, data.T) #A=array([[20, 14, 0, 0], # [14, 10, 0, 0], # [ 0, 0, 0, 0], # [ 0, 0, 0, 0]]) # 求A的特征值和特征向量 val,vector = np.linalg.eig(A) # val=array([29.86606875, 0.13393125, 0. , 0. ]) # vector=array([[ 0.81741556, -0.57604844, 0. , 0. ], # [ 0.57604844, 0.81741556, 0. , 0. ], # [ 0. , 0. , 1. , 0. ], # [ 0. , 0. , 0. , 1. ]]) 特征值29.86606875 對應的

特征值29.86606875 對應的特征向量為[ 0.81741556，0.57604844，0 ，0]
特征值0.13393125對應的特征向量為[-0.57604844，0.81741556，0，0]

驗證：

np.dot(A, vector[:,0]) # array([24.41298932, 17.20430221, 0. , 0. ]) np.dot(val[0], vector[:,0]) # array([24.41298932, 17.20430221, 0. , 0. ])np.dot(A, vector[:,1]) # array([-0.07715089, 0.10947749, 0. , 0. ]) np.dot(vector[:, 1], val[1]) array([-0.07715089, 0.10947749, 0. , 0. ])

矩陣data：

矩陣A：

特征值：

特征向量：

總結

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