1. 矩陣范數

我們怎么來衡量一個矩陣的大小呢？針對一個向量，它的長度是

。針對一個矩陣，它的范數是 。有時候我們會用向量的范數來替代長度這個說法，但對于矩陣我們只說范數。有很多方式來定義矩陣的范數，我們來看看所有范數的的要求然后選擇其中一個。

Frobenius 對矩陣中的所有元素進行平方

再相加，然后 就是它的平方根。這就像把矩陣看作是一個很長的有 個元素的向量，這有時候會很有用，但這里我們不選擇它。

向量范數滿足三角不等式，即

不大于 ， 或者 的長度變為兩倍。同樣的規則也應用于矩陣的范數：

第二個對矩陣范數的要求是新的，因為矩陣可以相乘。范數

控制著從 到 和從 到 的增長。

根據此，我們可以這樣定義矩陣的范數：

恒等矩陣的范數為 1，針對一個正交矩陣，我們有

，所以正交矩陣的范數也為 1。

針對正定的對稱矩陣，。

將矩陣分解成

，左右兩邊的正交矩陣保持向量的長度不變，因此 的最大值就是對角陣中的最大特征值。對于一個對稱矩陣，我們仍然可以得到上面的分解，只不過此時的特征值不能保證一定是正數，矩陣的范數變為了特征值絕對值的最大值。

對于不對稱的矩陣，它的特征值不能衡量矩陣真正的大小，范數可以比所有特征值都大。

對于上面的例子，

是對稱矩陣 的特征向量，事實上矩陣的范數是由 的最大特征值決定的。矩陣的范數是 最大特征值的平方根，也就是矩陣的最大奇異值。

2. 條件數

有些系統對誤差很敏感，有些則不是那么敏感，對誤差的靈敏度我們用條件數來衡量。

原始的方程為

，假設方程右邊由于測量誤差被改變為了 ，那么我們的解就變成了 ，我們的目標是估計 是怎么影響 的。

如果

很大的話，此時矩陣接近于奇異， 就會很大。 還會變得特別大如果 在錯誤的方向，因為它會被 放大。最大的誤差為 。

但這樣會有一個問題，當我們改變

的話，方程的解 和 都會同時改變，相對誤差 卻保持不變。事實上，應該是解 的相對誤差和 的誤差相比較，條件數 衡量了方程 的靈敏度。

• 證明

(1) 式和 (2) 式相乘，可得，

上式兩邊同時除以

可得，

同理可得，

此外，對于正定矩陣，條件數來自于它的特征值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的找出矩阵中绝对值最大的元素及其位置_线性代数之——矩阵范数和条件数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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