??🙏🤗距離【第十三屆藍橋杯4月9日省賽】僅剩【06天】🤗🙏

📋今日題型：【數學公式】📋

??🤗循環是一切暴力的基礎，暴力基礎，轉起來。🤗??

🤗國一鎮樓🤗

📋比賽題目與分數比例📋

確認范圍：

結果填空題5道，共計45分。

程序設計題5道，共計105分。

??🤗刷題安排🤗??

日期	題目類型	題目數量
3月25日	循環	6
3月26日	超大數	6
3月27日	數組	6
3月28日	枚舉	6
3月29日	遞歸	6
3月30日	繪圖	6
3月31日	深搜廣搜	5
4月1日	動態規劃	5
4月2日	填空題	5
4月3日	數學公式:查詢準考證 點擊查詢準考證鏈接	5
4月4日	第十屆省賽題	10
4月5日	第十一屆省賽題	10
4月6日	第十二屆省賽1套題	10
4月7日	第十二屆省賽2套題	10
4月8日	經典題目練習	8
4月9日	9點考試

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目錄

1、判斷質數

2、分解質因數

3、快速冪

3、歐幾里得定力

4、海倫公式（求三角形面積）

5、排列數公式

排列數:

排列數公式

符號

推導過程

示例：

附加1：矩陣相乘

附加2：線性同余方程(B組以上)

理論示例：

代碼示例：

青蛙的約會

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1、判斷質數

質數又稱為素數，是指大于1的并且除了1和它本身外，沒有其他因數的自然數。

判斷一個數是否是質數
假設該數為n， 我們只需要判斷內是否有n的因子。如果有，則n為合數，否則，n為質數。

這種方法被稱為試除法， 即試著除一下所有可能的因子。

package action;public class demo {public static void main(String[] args) {System.out.println(isf(5));;}public static Boolean isf(int n){if(n == 1) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i++){if(n % i == 0){return false;}}return true;} }

?

2、分解質因數

根據算術基本定理又稱唯一分解定理，對于任何一個合數， 我們都可以用幾個質數的冪的乘積來表示。

?

接下來我們利用這個公式分解質因數。
設一個質數為p.如果n%p == 0，那么p就是n的一個質因數，接下來就是求p的指數，我們讓n = n/p, 這樣就從n中剔除了一個p,接著重復上述兩步，直到n%p ！= 0

package action;public class demo {public static void main(String[] args) {isf(500);}public static void isf(int n) {for (int i = 2; i <= n / i; i++) {int a = 0, b = 0;while (n % i == 0) {a = i;n /= i;b++;}if (b > 0) {System.out.println(a + " " + b);}}if (n > 1) {System.out.println(n + " " + 1);}} }

?

3、快速冪

當我們計算時，常用的做法是對n連乘k次， 但如果k特別大，假如k = 1e6， 如果仍然對n連乘1e6次的話，時間消耗就太大了。那么我們如何在短時間內求出一個數的k次方呢。

求

?

快速冪

?

沒有處理超大數

package action;public class demo {public static void main(String[] args) {System.out.println(ksm(2, 10));}public static int ksm(int a, int b) { // 求 a^bint res = 1; // res保存結果while (b != 0) {if ((b & 1) == 1) { // 如果k的二進制數的最后一位是 1。 比如1011 & 1 = 1res = (res * a);}a = a * a;// 得到 a^1, a^2, a^4, a^8, .....b = b >> 1; // 將b右移一位，去掉最低位。為了開始判斷下一位。}return res;}}

3、歐幾里得定力

最大公約數、最小公倍數

package Action;public class demo {/** 求最大公約數 最小公倍數 思路：根據歐幾里得定理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);*/static int gcd(int a, int b) {// 出口：b=0;5和0的最大公約數是5if (b == 0)return a;return gcd(b, a % b);}static int lcm(int a, int b) {return a * b / gcd(a, b);}public static void main(String[] args) {System.out.println(gcd(45, 35));System.out.println(lcm(45, 35));System.out.println(gcd(42, 60));System.out.println(lcm(42, 60));} }

4、海倫公式（求三角形面積）

5、排列數公式

排列數公式就是從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。排列與元素的順序有關，組合與順序無關。加法原理和乘法原理是排列和組合的基礎。

排列數:

從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的排列數。記作符號?。A是英文arrangement（排列）的第一個大寫字母。

例如，從7個不同的元素中任取5個元素的排列數為?，從10個不同的元素中任取7個元素的排列數為。

排列數公式

?公式A是排列公式，從N個元素取M個進行排列（即排序）。

符號

C：組合數

A：排列數（在舊教材為P）

N：元素的總個數

M：參與選擇的元素個數

!：階乘，如5！=5×4×3×2×1=120

C：Combination 組合

P：Permutation排列 (現在教材為A-Arrangement)

推導過程

求排列數可以按依次填m個空位來考慮：假定有排好順序的m個空位,從n個不同元素a1,a2,a3,…,an中任意取m個去填空,一個空位填1個元素，每一種填法就對應1個排列，因此，所有不同填法的種數就是排列數。

填空可分為m個步驟：

第1步，第1位可以從n個元素中任選一個填上，共有n種填法；

第2步，第2位只能從余下的n-1個元素中任選一個填上，共有n-1種填法；

第3步，第3位只能從余下的n-2個元素中任選一個填上，共有n-2種填法；

……

第m步，當前面的m-1個空位都填上后，第m位只能從余下的n-(m-1)個元素中任選一個填上，共有n-m+1種填法。

根據分步計數原理，全部填滿m個空位共有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)種填法。所以得到公式：

?這里n，m∈N*，并且m≤n這個公式叫做排列數公式其中，公式右邊第一個因數是n，后面的每個因數都比它前面一個因數少1，最后個因數為n-m+1，共有m個因數相乘。

排列數公式還可以寫成：

注意：為了保證公式在n=m時成立，特規定0! =1。

示例：

在10個球中，任意取3個（不放回），求有多少種取法？

package action;public class demo2 {public static void main(String[] args) {// 在10個球中，取3個(不放回)System.out.println(f(10) / f(10 - 3));}public static int f(int n) {if (n <= 1)return 1;return f(n - 1) * n;} }

附加1：矩陣相乘

資源限制

內存限制：256.0MB ? C/C++時間限制：1.0s ? Java時間限制：3.0s ? Python時間限制：5.0s

問題描述

　　小明最近在為線性代數而頭疼，線性代數確實很抽象（也很無聊），可惜他的老師正在講這矩陣乘法這一段內容。
　　當然，小明上課打瞌睡也沒問題，但線性代數的習題可是很可怕的。
　　小明希望你來幫他完成這個任務。

　　現在給你一個ai行aj列的矩陣和一個bi行bj列的矩陣，
　　要你求出他們相乘的積（當然也是矩陣）。
　　(輸入數據保證aj=bi,不需要判斷)

輸入格式

　　輸入文件共有ai+bi+2行，并且輸入的所有數為整數（long long范圍內）。
　　第1行：ai 和 aj
　　第2~ai+2行：矩陣a的所有元素
　　第ai+3行：bi 和 bj
　　第ai+3~ai+bi+3行：矩陣b的所有元素

輸出格式

　　輸出矩陣a和矩陣b的積（矩陣c)
　　（ai行bj列）

樣例輸入

2 2 12 23 45 56 2 2 78 89 45 56

樣例輸出

1971 2356 6030 7141 package action;import java.io.IOException; import java.util.Scanner;public class demo2 {public static void main(String[] args) throws IOException {Scanner sc=new Scanner(System.in);String[] line1 = sc.nextLine().split(" ");int row1 = Integer.parseInt(line1[0]);int column1 = Integer.parseInt(line1[1]);int[][] m1 = new int[row1][column1];for (int i = 0; i < m1.length; i++) {String[] data = sc.nextLine().split(" ");for (int j = 0; j < m1[i].length; j++) {m1[i][j] = Integer.parseInt(data[j]);}}String[] line2 = sc.nextLine().split(" ");int row2 = Integer.parseInt(line2[0]);int column2 = Integer.parseInt(line2[1]);int[][] m2 = new int[row2][column2];for (int i = 0; i < m2.length; i++) {String[] data = sc.nextLine().split(" ");for (int j = 0; j < m2[i].length; j++) {m2[i][j] = Integer.parseInt(data[j]);}}sc.close();int[][] result = new int[105][105];for (int i = 0; i < row1; i++) {for (int j = 0; j < column2; j++) {for (int k = 0; k < row2; k++) {result[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];}}}for (int i = 0; i < row1; i++) {for (int j = 0; j < column2; j++) {if (j == column2 - 1) {System.out.println(result[i][j]);} else {System.out.print(result[i][j] + " ");}}}} }

?????

附加2：線性同余方程(B組以上)

數論中，線性同余方程是最基本的同余方程，“線性”表示方程的未知數次數是一次.

在數論中，線性同余方程是最基本的同余方程，“線性”表示方程的未知數次數是一次，即形如：

ax≡b (mod n)的方程。

此方程有解當且僅當 b 能夠被 a 與 n 的最大公約數整除（記作 gcd(a,n) | b）。

這時，如果 x0 是方程的一個解，那么所有的解可以表示為：

{x0+kn/d|(k∈z)}

其中 d 是a 與 n 的最大公約數。在模 n 的完全剩余系 {0,1,…,n-1} 中，恰有 d 個解。

理論示例：

在方程3x ≡ 2 (mod 6)中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程無解。

在方程5x ≡ 2 (mod 6)中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一個解: x=4。

在方程4x ≡ 2 (mod 6)中， d = gcd(4,6) = 2，2 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有兩個解: x=2 and x=5。

代碼示例：

青蛙的約會

兩只青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，于是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，于是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特征，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝著某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩只青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩只樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩只青蛙是否能夠碰面，會在什么時候碰面。

我們把這兩只青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，并且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐標是x，青蛙B的出發點坐標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩只青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以后才會碰面。

輸入
輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，

其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

輸出
輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

輸入示例

1 2 3 4 5

輸出示例

4

題目分析

設跳次數為t，則跳t次后兩個青蛙的位置分別為(x+mt) mod L、(y+nt) mod L，相遇即是(x+mt)%L=(y+nt)%L轉化為ax+by=c方程： (m-n)t+kL=y-x。設a=m-n，b=L，c=y-x，然后套用拓展歐幾里得即可得出答案。

package action;import java.util.Scanner;// 求解同余方程的本質就是求線性方程 // 將求余方程轉化為線性方程 public class demo2 {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);long x = sc.nextInt(); // 坐標long y = sc.nextInt(); // 坐標long m = sc.nextInt(); // A第一次跳long n = sc.nextInt(); // B第一次跳long l = sc.nextInt(); // 維度總長sc.close();long a = m - n;long b = l;m = y - x;long d = 0;try {d = ExtGcd.linearEquation(a, b, m);} catch (Exception e) {System.out.println("Impossible");} // 求解線性方程long x0 = ExtGcd.x;b /= d; // 約一下b = Math.abs(b); // 有可能小于0/* =========這里是AC的關鍵=========== */x0 = (x0 % b + b) % b; // 要求大于0的第一個解System.out.println(x0);}// 私有的靜態的內部類private static class ExtGcd {static long x, y;public static long ext_gcd(long a, long b) {if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}long res = ext_gcd(b, a % b);long x1 = x;x = y;y = x1 - a / b * y;return res;}public static long linearEquation(long a, long b, long m) throws Exception {long d = ext_gcd(a, b);if (m % d != 0)throw new Exception("無解");long n = m / d;x *= n;y *= n;return d;}} }

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【蓝桥杯省赛】冲刺练习题【数学公式】倒计时【06】天(准考证组委会已下发，请查询)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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