? ? 首先二項分布和多項分布都是離散型分布

一 、二項式分布

（一）二項分布的基本概念

? ? 首先說一下伯努利試驗，即n次獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復、相互獨立進行的一種隨機試驗。

? ? 伯努利試驗的特點是：

? ? ? ? （1）每次試驗中事件只有兩種結果：事件發生或者不發生，如硬幣正面或反面，患病或沒患病；

? ? ? ? （2）每次試驗中事件發生的概率是相同的，注意不一定是0.5；

? ? ? ? （3）n次試驗的事件相互之間獨立。

? ? 舉個實例，最簡單的拋硬幣試驗就是伯努利試驗，在一次試驗中硬幣要么正面朝上，要么反面朝上，每次正面朝上的概率都一樣p=0.5，且每次拋硬幣的事件相互獨立，即每次正面朝上的概率不受其他試驗的影響。如果獨立重復拋n=10次硬幣，正面朝上的次數k可能為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一個，那么k顯然是一個隨機變量，這里就稱隨機變量k服從二項分布。

? ? 我們推導下隨機變量X=k的分布律。顯然0<=k<=n，n次拋硬幣中獲得k次正面，第1次正面在n次拋硬幣中出現有n種方式，則第2次正面在n次拋硬幣中出現有n-1種方式，以此類推，則出現的總可能方式是：n(n-1)...(n-k+1)種，如果我們并不考慮這k次正面出現的排列順序，因此恰好出現k次的總可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k！種，分子和分母同時乘以(n-k)！，則該式等于n！/(k！*(n-k)！)，也就是通常的組合公式C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)。

? ? 那么對于拋n次硬幣，其中正面出現的次數是k，反面出現的次數必然為n-k次，不考慮順序的情況下，則每一次恰好獲得k次正面的概率是p^k*(1-p)^n-k，而n次試驗中恰好出現k次正面的可能性是C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)種，因此，n次拋硬幣中恰好出現k次的概率為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P(X=k) = C(n,k) * p^k*(1-p)^n-k

? ? 這就是二項分布的分布律，即二項分布的的概率質量函數，記作X~B(n,p)，其中C(n,k)是組合數，在數學中也叫二項式系數，這就是二項分布名稱的來歷。

? ? 二項分布的均值：E(x)=np

? ? 二項分布的方差：Var(x)=np(1-p)

（二）二項分布的實現（python）

? ? numpy給出的api是：

numpy.random.RandomState.binomial(n, p, size=None)

? ? 表示對一個二項分布進行采樣（size表示采樣的次數），參數中的n,p分別對應于公式中的n,p，函數的返回值表示n中成功（success）的次數（也即k）。我們以一個具體的實例進行闡釋：

說野外正在進行9（n=9）口石油勘探井的發掘工作，每一口井能夠開發出油的概率是0.1（p=0.1）。請問，最終所有的勘探井都勘探失敗的概率？

? ? ?我們手動用公式計算得：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? python實現如下：

import numpy as np n, p = 9, .1 a=sum((np.random.binomial(n, p, size=30000)==0))/30000. print a

　運行結果為：0.387333333333

二、多項式分布

（一）基本概念

? ? 多項式分布是指單次試驗中隨機變量的取值不在是0-1，而是有多種離散值可能（1，2，3，4.....k）。比如投6個面的骰子試驗，N次試驗結果服從K=6的多項分布。其中：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 多項分布的概率密度函數為：

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? ? 其中：? ? ? ?

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?（二）例子

? ? 假設螢火蟲對食物的喜歡程序，我們給三種選擇：花粉，蚜蟲，面團。假設20%的螢火蟲喜歡花粉，35%的螢火蟲喜歡蚜蟲，45%的螢火蟲喜歡面團。我們對30只螢火蟲做實驗，發現8只喜歡花粉，10只喜歡蚜蟲，12只喜歡面團，這件事的概率為：

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參考來源：

https://blog.csdn.net/qq280929090/article/details/53156655

https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/50172659

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轉載于:https://www.cnblogs.com/171207xiaohutu/p/9335258.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二项分布和多项分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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