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定義

所謂閉合子圖就是給定一個有向圖，從中選擇一些點組成一個點集V。對于V中任意一個點，其后續節點都仍然在V中。

建模

首先建立源點s和匯點t，將源點s與所有權值為正的點相連，容量為權值；將所有權值為負的點與匯點t相連，容量為權值的絕對值；權值為0的點不做處理；同時將原來的邊容量設置為無窮大。

結論：最大權閉合子圖的權值等于所有正權點之和減去最小割。

證明

接下來來證明這個結論，首先我們要證明兩個引理：

1. 最小割一定是簡單割

簡單割指得是：割(S,T)中每一條割邊都與s或者t關聯，這樣的割叫做簡單割。
因為在圖中將所有與s相連的點放入割集就可以得到一個割，且這個割不為正無窮。而最小割一定小于等于這個割，所以最小割一定不包含無窮大的邊。因此最小割一定一個簡單割。

2. 簡單割一定和一個閉合子圖對應

閉合子圖V和源點s構成S集，其余點和匯點t構成T集。
首先證明閉合子圖是簡單割：若閉合子圖對應的割(S,T)不是簡單割，則存在一條邊(u,v)，u∈S，v∈T，且c(u,v)=∞。說明u的后續節點v不在S中，產生矛盾。
接著證明簡單割是閉合子圖：對于V中任意一個點u，u∈S。u的任意一條出邊c(u,v)=∞，不會在簡單割的割邊集中，因此v不屬于T，v∈S。所以V的所有點均在S中，因此S-s是閉合子圖。
由上面兩個引理可以知道，最小割也對應了一個閉合子圖，接下來證明最小割就是最大權的閉合子圖。
首先有割的容量C(S,T)=T中所有正權點的權值之和+S中所有負權點的權值絕對值之和。
閉合子圖的權值W=S中所有正權點的權值之和-S中所有負權點的權值絕對值之和。
則有C(S,T)+W=T中所有正權點的權值之和+S中所有正權點的權值之和=所有正權點的權值之和。
所以W=所有正權點的權值之和-C(S,T)
由于所有正權點的權值之和是一個定值，那么割的容量越小，W也就越大。因此當C(S,T)取最小割時，W也就達到了最大權。

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總結

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