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幾何體的曲率對于不同的對象有不同的定義。首先來看最簡單的平面曲線。

首先把曲線分成無窮小的小段，每一段看作某個圓的一小段圓弧。這個圓叫做“密切圓”（Osculating Circle）。由于它與曲線只相交于極小的一段，又稱為“接吻圓”（Kissing Circle）。這個圓的半徑稱為“曲率半徑”。

“曲率”是一個向量，它從圓弧上的參考點指向密切圓圓心。密切圓曲率半徑的倒數就是這個圓弧在這個點上“曲率”的大小。

所以，曲線越接近直線，曲率半徑就越大，在這一點上的曲率就越小。直線曲率處處為零。

曲率大小的單位是“屈光度”（Dioptre）,等于每米的弧度。以透鏡為例，屈光度為2的透鏡會把光線聚焦在距離鏡片的0.5米處。有時候用+表示凸透鏡，-表示凹透鏡。在眼鏡制造中，通常忽略負號，并用曲率的100倍為“度數”。比如，屈光度為-2的眼鏡片被稱作200度的眼鏡片。

曲率的數學定義是曲線上極小的一段AB之間的切線變化程度比上曲線的弧長：

其中，設曲線為

另一方面，對于弧長有：

全部帶如原式得：

曲面的曲率

曲面的曲率可以由曲線的曲率推導出來。設在歐幾里德空間中存在一個三維曲面，規定過某點的曲率為過該點的法向量和某一切向量所確定的平面的交集（是一條曲線）的曲率。由于過某點可以確定無數條曲線，所以定義曲面的兩條主曲率（Principal curvatures）為交集中曲線的最大曲率k1和最小曲率k2。主曲率衡量了曲面在某點上最大和最小的彎曲程度，具有代表意義。

兩個主曲率的平均值稱為平均曲率（Mean curvature），兩個主曲率的乘積稱為高斯曲率(Gaussian curvature)。平均曲率描述的是某一點的曲面“嵌入”周圍環境的程度。高斯曲率描述的是“內在量度”（Intrinsic measure）。根據高斯絕妙定理（Theorema Egregium）,曲面的高斯曲率可以并僅由角度、長度的測量來決定。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的曲率（Curvature）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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