等比數(shù)列是一種常用的數(shù)列

樸素的求和方法是直接每項(xiàng)相加，不會(huì)影響取模，代碼也很簡(jiǎn)單，但是時(shí)間復(fù)雜度為o（n），難以令人滿意

于是我們想到了通項(xiàng)公式

我們知道，等比數(shù)列和前n項(xiàng)和公式為（a1-a1*q^n）/(1-q).

而通過(guò)二分計(jì)算快速冪可以在log（n）的時(shí)間計(jì)算出q^n的值，（代碼如下）。剩下的貌似就是簡(jiǎn)單的除法了

int pow2( int a, int b ) {int r = 1, base = a;while( b != 0 ){if( b % 2 )r = (r*base)%mod;base =( base*base)%mod;b /= 2;}return r; }

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不過(guò)事情沒(méi)這么簡(jiǎn)單。

由于等比數(shù)列增加很快，很多題目中我們需要對(duì)它進(jìn)行取模，而通項(xiàng)公式中有除法，不能直接取模，于是我們需要使用數(shù)論中講到的模逆元素

?在數(shù)論中，若 (a/x) %p= ( a *y%p) 我們稱y為x模p的逆元素

逆元素存在條件為gcd(x,p)=1;

有結(jié)論為，若y為x模p的逆元素，則x*y%p=1.

即x*y與1關(guān)于p同余

因此我們可以使用exgcd求得x模p的逆元素exgcd(x,p,&y,&z);

得到一個(gè)y，若y為負(fù)，調(diào)整為正數(shù)

求得了x的逆元素，我們就可以通過(guò)

(a1*pow(q,n)-1)*y%mod 得到等比數(shù)列（a1，q）的前n項(xiàng)和了。

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** 9.8日補(bǔ)充：

若取模的P非質(zhì)數(shù)，那么gcd(x,p)不一定等于1，此時(shí)無(wú)法通過(guò)exgcd求逆元

取模時(shí)還有一個(gè)備選公式可以使用：

(A/B)%C=(A%(B*C))/B?(A%B?=?0);

不過(guò)要注意b*c可能會(huì)溢出，適用范圍不大

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應(yīng)用：hdu1452?-----求 2004^x(mod 29)

參考資料 http://blog.csdn.net/luyuncheng/article/details/8017016

ac代碼：

#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; #define MAX 200000000 #define ull unsigned long long const int MAXN = 100011; int pow2( int a, int b ) {int r = 1, base = a;while( b != 0 ){if( b % 2 )r = (r*base)%29;base =( base*base)%29;b /= 2;}return r; }int main(){int x;while(scanf("%d",&x)&&x){int a=pow2(2,2*x+1);int b=pow2(3,x+1);int c=pow2(22,x+1);printf("%d\n",( a - 1 ) * (( b - 1 ) * 15) * ( c - 1 ) * 18 % 29);}return 0; }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/lnever/p/3933747.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的等比数列和的快速求法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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