今天聽了ljss神犇的數論課，頓時感覺————我真的是太弱啦！

我只能稍微寫一下我能聽懂的部分orz

那么這就是今天我為數不多能聽懂一點的之一......QAQ

首先先介紹今天的主角：費馬小定理

————轉自維基百科

沒看懂的話我稍微解釋一下，就是

假如p是質數，且GCD(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1(mod p)(假如p是質數，且a,p互質，那么 a的(p-1)次方除以p的余數恒等于1)

因此我們就似乎有了基于費馬小定理的判斷素數方式：隨機枚舉使gcd(a,p)=1的a。判斷該表達式是否成立--------記為命題q

但是仔細想一想，會發現命題q實際是費馬小定理的逆命題

根據我們在高中數學選修2-1學習的內容，真命題的逆命題不一定是真命題....

似乎出現了一些問題呢x

所幸的是，這種思路大部分時間是正確的，因為根據某個奇怪的性質，費馬小定理只有對于少數數才會出現逆命題不成立的情況，而這類數就被稱為卡邁克爾數(Carmichael number)

卡邁克爾數在正整數中很少，并且隨著數的增大會變的越來越少，在1e8范圍內只有255個，1e17范圍內也才只有不到6e5個，因此可以直接多次應用上述的算法來提高準確性

不過作為有追求的oier，我們怎么能這么沒有夢想呢？

我們引入新工具：

二次探測定理 如果p是一個素數，且0

下面給出簡單的證明：

x^2≡1(mod p)

→x^2-1≡0(mod p)

→(x-1)(x+1)≡0(mod p)

那么我們將二次探測定理轉換成

(a(p-1)/2)2≡1(mod p)

應用上面這兩個定理可以使失誤率達到最劣2-t，而實際遠遠達不到這個數，因此一般3~5次即可保證正確性

該算法就是Miller_Rabin算法，期望復雜度O(tlog3n)

代碼：(還有些許唐突的地方，待補全)題目為洛谷線性篩模板

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define N 10000001

typedef long long ll;

const int inf=0x3fffffff;

const int maxn=2017;

using namespace std;

inline int read()

{

int f=1,x=0;char ch=getchar();

while(ch>'9'|ch

{

if(ch=='-')

f=-1;

ch=getchar();

}

while(ch<='9'&&ch>='0')

{

x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';

ch=getchar();

}

return f*x;

}

ll qmulti(ll a,ll b,ll c)

{

ll tem=a,sum=0;

while(b)

{

if(b&1)sum=(sum+tem)%c;

tem=(tem+tem)%c;

b>>=1;

}

return sum;

} //防止乘的時候過大爆掉

ll qpow(ll a,ll b,ll c)

{

ll k=1;

while(b>0)

{

if(b&1)k=(k*a)%c;

a=(a*a)%c;

b>>=1;

}

return k;

}

bool witness(int a,int x,int k,int q)

{

ll v=qpow(a,q,x);

if(v==1||v==x-1)return 0;

while(k--)

{

v=v*v%x;

if(v==x-1)return 0;

}

return 1;

}

bool miller(ll n)

{

int time=5;//隨機time次

if(n==2)return 1;//特判2

if(n<2||n%2==0)return 0;

ll a=0,t=0,b=n-1;

while(!(b&1))

{

t++;

b>>=1;

}

for(int i=0;i

{

a=rand()%(n-1)+1;

if(witness(a,n,t,b))return 0;

}

return 1;

}

int main()

{

srand(time(0));

ll n=read(),m=read();

for(ll i=1;i<=m;i++)

{

ll a=read();

printf(miller(a)?"Yes\n":"No\n");

}

}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

來源：https://www.cnblogs.com/tsunderehome/p/7517658.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的费尔马小定理素数java_利用费马小定理判断素数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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