数论的世界
說起數論，這是一個很神奇的學科——因為它的內涵會因不同的人而變得簡單或復雜。
對于小學生而言，數論就是整數、小數、分數和加減乘除，理解起來不費吹灰之力。
對于數學大家們而言，數論卻是諸如費馬定理、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等復雜而神秘的問題。一個不小心，到死也不知道答案。
那么，數論究竟是如何發展起來的呢？別著急，拿好小本本，給大家一一道來！
數論的起源，要追溯到古希臘時期。那時人們在擁有“數”的概念之后，自然而然地就會接觸到一些“數”的性質。而第一個研究這些“數”的性質的學者，是古希臘一位著名的哲學家——畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯：生得早就是好，什么事情都先講我
畢達哥拉斯和他的學派秉承著“萬物皆數”的哲學思想，為了研究眼前的世界，他們精力都放到了對正整數的研究上。（注意，畢達哥拉斯所指的“數”，只限于正整數）
他們將正整數分為奇數和偶數，研究了奇偶數之間四則運算的規律，還提出了“親和數”、“完全數”等概念，并給出了“220”和“284”這對親和數。
所謂的“親和數”，是指一對正整數，它們各自的全部約數之和（本身除外）與對方相等。畢達哥拉斯曾說：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密。”
至于“完全數”，則是指一個正整數，它的全部約數之和（本身除外）等于它本身。第一個完全數是6，第二個完全數是28，第三個完全數是496。
但是畢達哥拉斯對正整數的研究，還出于占卜等宗教活動的需要，因此具有較為濃厚的宗教神秘色彩，沒有嚴格的概念定義和數學論證——不過這個缺點，在后人的著作中得到了彌補。
歐幾里得是畢達哥拉斯之后，把對正整數的研究繼續往前推進的古希臘學者。
歐幾里得：結果爛攤子還是要我來收拾……
在自己的著作《幾何原本》中，歐幾里得首次給出了因數、倍數、素數、互素等基本概念的精確定義，并對所得到的結論進行了詳細的證明，從而使數論的研究嚴密化。
《幾何原本》中，歐幾里得提出了一些很重要的量化定理，比如說“完全數定理”：
如果2^n-1是素數，那么2^（n-1）·（2^n-1）是完全數。
后來的數學家歐拉證明了這個定理，并且據此給出了所有的偶完全數。
當然，歐幾里得對數論的貢獻并不止使數論的研究嚴密化，還有發現素數在整數理論中的重要價值和基礎地位。他不僅證明了關于自然數和素數之間的積性關系，還運用歸謬法證明了素數個數的無窮性，提出了計算最大公約數的算法——輾轉相除法。
輾轉相除法：設兩數為a、b(a≥b)，求a和b最大公約數 （a，b）的步驟如下：
(1)用a除以b(a≥b)，得?a/b=q……r1?。
(2)若?r1=0，則（a，b）=b；
(3)若 r1不等于0，則再用b除以?r1,：b/r1=q……r2。
(4)若?r2=0，則 （a，b）=r1；若 r2不等于0，則繼續用?r1除以?r2，......，如此下去，直到能整除為止。其最后一個余數為0的除數即為?（a，b）?的最大公約數。
歐幾里得的研究，形成了初等數論的雛形，同時也提出了一個貫穿初等數論的命題：素數的普遍公式——同時，這個命題也直接催生了解析數論。
現在，讓我們的目光繼續跟著時間來走吧。在歐幾里得之后，另一位數學家丟番圖，為初等數論開拓了一片新領域——不定方程問題。
所謂不定方程，是指未知數的個數多于方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。丟番圖將自己的研究寫成了一本書——《算術》，而這本書也開啟了中世紀的初等數論研究。
值得一提的是，在丟番圖提出不定方程問題的同時期，中國也挖掘了數論的另一個領域——同余理論。《孫子算經》里面記載的“物不知數”問題，就涉及到了同余理論的研究。而宋朝秦九韶所提出的“大衍求一術”，則是比后來的高斯早了幾百年，提出了具體且完備的求一次同余式組的方法。
所以說，中國古代在數論的研究上，也是輝煌一時啊。
好了，讓我們的視線再回到歐洲。在丟番圖之后，初等數論研究的大旗，就傳到了一位“業余”的數學家——費馬的手上。（怎么又是您老人家……）
費馬：真是不好意思，興趣愛好廣泛就是這樣的
費馬對于初等數論的研究兼有歐幾里得和丟番圖的影子。他一生提出了形形色色的定（cai）理（xiang），最著名的莫過于“費馬大小定理”：
費馬小定理：如果p是素數，a與p互素，那么a^p-a可以被p整除。
費馬大定理：方程x^n+y^n=z^n對于任意大于2的自然數n無整數解。
這兩個定理皆是在費馬閱讀丟番圖的《算術》時所提出的，尤其是費馬大定理，基本上延續了丟番圖從不定方程來發展數論的思想。但是費馬的其他猜想，卻也有歐幾里得的影子，如他給出的“費馬數”（一種“素數的普遍公式”）：
與歐幾里得對“完全數定理”的描述極為相似。可以說，初等數論在費馬手里，隱隱表現出一種成為一個體系的趨勢。
但遺憾的是，這種趨勢并未成為現實。費馬之后的歐拉，盡管推翻了“費馬數”的結論（“費馬數”即為素數的普遍公式），證明了費馬小定理的正確性，并在《代數指南》中使用“無限下降法”，使之成為數論研究中很重要的方法技巧之一，卻依舊未能將眾多理論統一起來，使初等數論成為一個完備的理論體系。
在18世紀快要結束的時候，數學家們發現，初等數論的研究似乎已經走到了盡頭：整數數域的性質已經被研究得差不多了，接下來該怎么辦？
一位天才的出現，讓數論的研究從死胡同中走了出來，他就是德國的數學王子——高斯。
高斯：終于輪到我出場了
而讓高斯帶領數論走出“死胡同”的，是他對于“二次互反律”的研究。
二次互反律，是一個用于判別二次剩余，即二次同余方程之整數解的存在性的定律。
高斯非常欣賞這個定律，他一生中至少給這個定律作了8種完全不同的證明，并且試圖將它推廣到三次和四次互反律。
但是經過研究后，高斯發現，如果要使三次和四次的剩余理論和二次剩余理論那樣簡潔優美，里面所涉及到的數就必須超出整數的范圍，引進復整數（即形如a+bi，其中a、b均為整數的復數）。
經過一番思考與研究之后，高斯決定將復整數引入到數論的研究當中，并且驚奇地發現，一些初等數論里面的定理，在復整數中依舊成立。如在初等數論中，每一個整數都能夠唯一地分解為素因子的乘積，這個定理依舊在復整數中成立。
如此一來，高斯打破了初等數論的困境，將數論帶到了一個更廣闊的天地——復整數中來。
在高斯之后，庫默爾和戴德金將高斯的研究成果成功地推廣為一個全新的數論——代數數論。
庫默爾
戴德金
在代數數論中，研究的對象從正整數變成了代數整數。關于一個數是不是代數整數，代數數論是這樣定義的：
如果α是一個有理數多項式：的根，則稱α為一個代數數。若P(x)的系數都是整數，則稱α為一個代數整數。
除去代數整數，代數數論的研究對象還有代數數域。
關于代數數論是如何具體研究的，超模君就不展開講了，不過模友們需要了解的一點是：直到1898年，德國數學家希爾伯特在對各代數數域的性質加以系統總結和發展后，前后經過了百多年的時光，經典代數數論才真正定型。
相比起初等數論，代數數論無疑涵蓋更廣，而且系統性更強，這是代數數論工作者們最值得自豪和被稱贊的地方。
如果說代數數論是數論廣度的一個拓展的話，那么解析數論可以說是對于數論研究方法的一次革新了。
解析數論的源頭，可以上溯到歐拉。
歐拉：終于可以露臉了
早在1737年的時候，歐拉在研究無窮級數和無窮乘積的收斂性時，發現對于大于1的實數s，有等式：
其中無窮乘積中p是所有素數，這個等式揭示了素數p和自然數n之間的積性關系，也就是歐幾里得所曾經證明過的，而且如果令s=1，則可以得出素數是無限多個的結論。這是數論第一次與解析形式相關聯起來的例子。
在歐拉之后，狄利克雷也做出了相類似的成果。他運用類似的方法，構建了一批新函數L，從它們的解析特性中，得到了這樣的結果：若l與k為互素的正整數，則算術級數l，l+k，l+2k……中一定有無限多個素數。
在歐拉和狄利克雷為解析數論打好基礎以后，1859年，有一個人發表了一篇文章，正式宣告解析數論的創立。
這個人，就是黎曼。
在這篇論文中，他把歐拉恒等式的右邊記作，并將其看做復變數。他認為，素數的性質可以通過復變函數來探討，如素數的分布研究關鍵是研究復變函數的零點性質。而現在依舊沒有解決的“黎曼猜想”，就是對復變函數零點性質的一個猜想——所有的復零點都在直線Re s=1/2上。
黎曼的論文，讓解析數論開始了迅猛的發展。1896年，阿達馬和瓦萊普桑，根據黎曼的方法與結果，應用整函數理論，成功地證明了素數定理，讓解析數論成為了二十世紀最活躍的數論分支之一。
整函數，即在整個復平面上處處解析的函數。
解析數論在中國的發展也是極為迅猛。從最早的楊武之先生，到后來的華羅庚先生，王元先生以及陳景潤先生，都在解析數論上有非常卓越的貢獻。單講陳景潤先生，他對于{1，2}的證明，就是運用解析數論的方法來完成的，是目前世界上最好的證明結果。
解析數論的創立，讓很多初等數論中很難證明的定理變得簡單，同時可以提出更多新的數論問題，讓數論這門學科的生命力得以延續。
好了，這就是有關數論歷史的大體輪廓了。不得不說，想在短短的一篇推送里塞下整個數論的歷史，簡直就是癡心妄想……（然而還是做到……了？）
不過數論本身還是很精彩的，套用一句高斯的話：“如果說數學是科學的女皇，那么數論就是數學中的女皇”。大家不妨花點心思，來領略一下數論女皇的絕美身姿吧！
注：
數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。整數可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關系，并且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。
按研究方法來看，數論大致可分為初等數論和高等數論。初等數論是用初等方法研究的數論，它的研究方法本質上說，就是利用整數環的整除性質，主要包括整除理論、同余理論、連分數理論。高等數論則包括了更為深刻的數學研究工具。它大致包括代數數論、解析數論、計算數論等等。
解析數論
借助微積分及復分析（即復變函數）來研究關于整數的問題，主要又可以分為乘性數論與加性數論兩類。乘性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討素數分布的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。
解析數論的創立當歸功于黎曼。他發現了黎曼zeta函數之解析性質與數論中的素數分布問題存在深刻聯系。確切的說， 黎曼ζ函數的非平凡零點的分布情況決定了素數的很多性質。黎曼猜測， 那些零點都落在復平面上實部為1/2的直線上。這就是著名的黎曼假設—千禧年大獎難題之一。值得注意的是，?歐拉實際上在處理素數無限問題時也用到了解析方法。
解析數論方法除了圓法、篩法等等之外， 也包括和橢圓曲線相關的模形式理論等等。此后又發展到自守形式理論，從而和表示論聯系起來。
代數數論
代數數論，將整數環的數論性質研究擴展到了更一般的整環上，特別是代數數域。一個主要課題就是關于代數整數的研究，目標是為了更一般地解決不定方程求解的問題。其中一個主要的歷史動力來自于尋找費馬大定理的證明。
代數數論更傾向于從代數結構角度去研究各類整環的性質， 比如在給定整環上是否存在算術基本定理等等。
這個領域與代數幾何之間的關聯尤其緊密， 它實際上也構成了交換代數理論的一部分。它也包括了其他深刻內容，比如表示論、p-adic理論等等。
幾何數論
主要在于通過幾何觀點研究整數（在此即格點， 也稱整點）的分布情形。最著名的定理為Minkowski定理。這門理論也是有閔科夫斯基所創。對于研究二次型理論有著重要作用。
計算數論
借助電腦的算法幫助研究數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的課題。
超越數論
研究數的超越性，其中對于歐拉常數與特定的riemann?ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。此外它也探討了數的丟番圖逼近理論。
組合數論
利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的復雜結論。這是由保羅·艾狄胥開創的思路。比如蘭伯特猜想的簡化證明。
算術代數幾何
這是數論發展到目前為止最深刻最前沿的領域， 可謂集大成者。它從代數幾何的觀點出發，通過深刻的數學工具去研究數論的性質。比如懷爾斯證明費馬猜想就是這方面的經典實例。整個證明幾乎用到了當時所有最深刻的理論工具。
當代數論的一個重要的研究指導綱領，就是著名的郎蘭茲綱領。
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