外星人的算術(shù)

多年以前，華羅庚先生曾寫過一段意味深長(zhǎng)的話，他說：

“如果我們的宇宙航船到了一個(gè)星球上，那兒也有如我們?nèi)祟愐粯拥母呒?jí)生物存在，那么我們用什么東西作為我們之間的媒介，帶幅畫去吧，那邊風(fēng)景殊，不了解；帶一段錄音去吧，也可能溝通，我看最好帶兩個(gè)圖形去一個(gè)“數(shù)”一個(gè)“數(shù)形關(guān)系"。”

青少年們喜歡閱讀科學(xué)幻想小說，這對(duì)發(fā)展他們的想象力大有好處，當(dāng)然也得防止一些盜墓故事的泛濫，那可是十足的歪門邪道，其實(shí)我國(guó)著名作家老舍先生也曾寫過科幻小說名叫《貓城記》，有趣的是在那個(gè)奇怪的星球上，數(shù)目也達(dá)十幾億之多的”人“同我們大不一樣，他們不是從猿到人，而是從“貓”進(jìn)化到“人”的！

外星人像人嗎？對(duì)于這個(gè)重大問題，不論在科幻小說、電影、電視里頭從來就有兩派意見，即“人形”（humanoid）與非人形（non-humanoid）之爭(zhēng)，人為萬物之靈，為了更好的獲取外界信息，視覺，聽覺，嗅覺器官必須安置在身體的最高點(diǎn)，為了有立體感，必須平行的朝前方；……；說到底，人形的結(jié)構(gòu)理應(yīng)是任何高等智慧生物的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)，上述觀點(diǎn)，你們認(rèn)為言之有理嗎？

“非人形”派的擁護(hù)者則認(rèn)為，這種推論是“人類中心主義”的典型例子，實(shí)在不值一笑，生命的形式是變化多端的，生物進(jìn)化過程中充滿著無數(shù)偶然因素，在別的星球上，”人“可能由“蟲”進(jìn)化而來，甚至生著千手千眼，總之在浩瀚的銀河系里，這是一片完全未知的領(lǐng)域，它帶來了無窮的可能性。

但科幻小說家們幾乎都有一種共識(shí)，有著高度智慧的外星人——天龍八部（金庸先生精通佛學(xué)，所以取此作為他的一部名著的書名。實(shí)際上，天龍八部在“六道”中屬于“阿修羅道”，其智慧神通與壽命都大大超過人類）必然精通數(shù)學(xué)。他們的算術(shù)與代數(shù)不見得同我們一樣，也許并不采用十進(jìn)制，但他們所使用的進(jìn)位制中，照樣能夠發(fā)展出一套近乎完美的計(jì)算方法，同樣能夠反映宇宙中客觀存在的普遍自然規(guī)律。

眾所周知，在世界各國(guó)，現(xiàn)在幾乎已經(jīng)是十進(jìn)制的一統(tǒng)天下，就連最保守的英國(guó)人也不得不適應(yīng)世界的潮流，改革了他們長(zhǎng)達(dá)幾百年的貨幣制度。從前，在丘吉爾做首相的時(shí)代，規(guī)定一英鎊=20先令，一先令=12便士，所以一英鎊=240便士，如今卻變成1英鎊=100便士了。

但也不能認(rèn)為，十進(jìn)位已經(jīng)排斥了其他的一切進(jìn)位制度，由他一家打天下了，君不見:一年分四季，一晝夜有二十四小時(shí)，一星期有七天，十二生肖每十二年周而復(fù)始，一小時(shí)有六十分鐘，一分有六十秒，以及“紅透半邊天”，在電腦里頭唱主角的二進(jìn)位數(shù)0與1，它們都不是十進(jìn)位。看來，即使再過幾百年，在地球上，十進(jìn)位制，也未必能夠把別的所有進(jìn)位制通通“吃”掉。

在我們的中、小學(xué)里，除角度時(shí)間等少數(shù)自然常識(shí)課里略微提到的例外：幾乎不講其他進(jìn)位制，這種做法有著很大缺點(diǎn)，造成學(xué)生缺乏想象力，目光短淺，淡化了對(duì)客觀世界多樣性與自然規(guī)律的認(rèn)識(shí)與理解，在這方面做些改進(jìn)，既是需要的，也是可以做到的。

為了做出有趣對(duì)比，讓我們把一個(gè)意義深長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)七分之一，在其他進(jìn)位制里所表現(xiàn)出來的不同面貌列舉如下:

十進(jìn)位：0.142857…，（1,7循環(huán)，循環(huán)節(jié)7位）

九進(jìn)位：0.125125…（仍是循環(huán)小數(shù)，但循環(huán)節(jié)只有三位了），

八進(jìn)位：0.111…（循環(huán)節(jié)只剩一位了），

七進(jìn)位：0.1，（不是循環(huán)小數(shù)，竟變成有限小數(shù)了），

六進(jìn)位：0.0505…，（循環(huán)節(jié)只有兩位了，0，5循環(huán)），

到此地步，6及其因子，3，2，1，都可作為循環(huán)節(jié)的節(jié)數(shù)，各種情形均已出現(xiàn)。

現(xiàn)在干脆來個(gè)“一不做二不休”，索性放開手，繼續(xù)做下去：

五進(jìn)位：0.032412（循環(huán)節(jié)也有六位置多，同十進(jìn)位的情形極為類似，5是一只手的手指數(shù)，而10是雙手的手指數(shù)，對(duì)此你或許會(huì)若有所悟）。

四進(jìn)位：0.021021…，（循環(huán)節(jié)三位，0，1循環(huán)）

三進(jìn)位：0.010212…，（循環(huán)節(jié)六位，0,2循環(huán)）

二進(jìn)位:0.001001…，（循環(huán)節(jié)三位，0,1循環(huán)）

由于許多算數(shù)課本、雜志、輔導(dǎo)書:“一課一練”……一遍又一遍地不斷重復(fù)，許多人都知道在十進(jìn)制中，1/7有一個(gè)非常奇妙的“車輪轉(zhuǎn)”性質(zhì)，或者換一種說法，1/7是個(gè)“走馬燈數(shù)”，試看來源于1/7,又從它“搖身一變”，從“侏儒”變作“巨人”的六位數(shù)142857似乎更神奇，更玄乎:

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=571428

142857×5=714285

142857×6=857142

不難看出，乘積還是這6個(gè)數(shù)字，甚至各數(shù)相互之間的順序也未改變，好像正月十五元宵節(jié)時(shí)，走馬燈里的人物在團(tuán)團(tuán)打轉(zhuǎn)！

那么，在其他進(jìn)位制中，這樣的怪異性質(zhì)是否也存在呢呢？對(duì)比是要有共同基礎(chǔ)的，上面已經(jīng)說過，在五進(jìn)位中，1/7的循環(huán)節(jié)也有六位，現(xiàn)在就以五進(jìn)位為例來認(rèn)真考慮一下。

為了看清楚轉(zhuǎn)圈子的循環(huán)規(guī)律，首位的0不可以丟，需要加以保留，銀行帳號(hào)，電話號(hào)碼，郵政編碼早已如此，讀者們恐怕也習(xí)慣了:

032412×2=120324

032412×3=203241

032412×4=241203

032412×5=324120

032412×6=412032

“走馬燈”不是照舊團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)嗎？

還有一項(xiàng)奇妙性質(zhì)也不能忽視，那就是142857×7=999999

結(jié)果接連出現(xiàn)6個(gè)9,我們知道，在十進(jìn)位里，9是“老大哥”，不過，在別的進(jìn)位里，“老大哥”這把太師椅是要由別的數(shù)字來“坐”了，譬如說:在九進(jìn)位中，8是“老大哥”，而四進(jìn)位里，連原來的小三子居然也變成了“老大哥”。

讓我們用“倒計(jì)時(shí)”的辦法在各種進(jìn)位制里做一做相應(yīng)的“乘法”，于是得到:

九進(jìn)位:125125×7=888888,

八進(jìn)位:111111×7=777777,

七進(jìn)位中，1/7不是循環(huán)小數(shù)，所以從略，

六進(jìn)位:050505×7=555555,

五進(jìn)位:032412×7=444444,

四進(jìn)位:021021×7=333333,

三進(jìn)位:010212×7=222222,

二進(jìn)位:001001×7=111111,

大家都在“輪流坐莊”，足見自然界并不是特別偏愛十進(jìn)位，自然規(guī)律如此美妙，普適性無處不在，讓我們大開眼界了。

最后略為交代幾句，因?yàn)槲覀兤綍r(shí)太習(xí)慣于做十位數(shù)的加、減、乘、除，對(duì)其他進(jìn)位制中的運(yùn)算（除了二進(jìn)位，因?yàn)殡娔X現(xiàn)已十分普及）非常生疏，所以一些人會(huì)對(duì)1/7的不同面孔有點(diǎn)看不太懂，這是情有可原的。

*文章摘自《數(shù)學(xué)不了情》，談祥伯著，科學(xué)出版社。

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總結(jié)

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