若問金庸江湖中哪套劍法最厲害，十有八九都會(huì)想到“獨(dú)孤九劍”。那位儼如神話的劍魔獨(dú)孤求敗，終其一生欲求一敗而不得，大抵是所有劍客們心向往之的至高境界。其實(shí)在數(shù)學(xué)江湖中也有一套“獨(dú)孤九劍”，那便是被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)圣經(jīng)”的《九章算術(shù)》

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關(guān)于數(shù)學(xué)家劉徽的故事

（一）劉徽簡介

劉徽，魏晉南北朝時(shí)期人物，出生日期大約是在公元225年前后，他卒于295年，是當(dāng)時(shí)世界上最杰出的數(shù)學(xué)家。他在這方面的著作，對后世數(shù)學(xué)的發(fā)展有著至關(guān)重要的影響，同時(shí)也奠定了他在數(shù)學(xué)界不可動(dòng)搖的地位，也為數(shù)學(xué)界留下了最為寶貴的文化遺產(chǎn)。他的杰作《九章算術(shù)》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。

（二）個(gè)人成就

劉徽思維敏捷又刻苦好學(xué)，在數(shù)學(xué)上有著許多的成就，而這些成就大致可以分為兩個(gè)方面的內(nèi)容。

其一是他研究了古代中國的數(shù)學(xué)理論，從而整理出了一套數(shù)學(xué)體系，而他這方面的這就從他的數(shù)學(xué)著作中就可以看出來。他那一套比較完整的數(shù)學(xué)理論又包括了通分、約分以及各運(yùn)算法則，同時(shí)又從理論方面證明了無理方根的存在；劉徽還給了率一個(gè)明確地定義，再通過“率”來定義“方程”；同時(shí)他對勾股理論也做出了一定的發(fā)展。

其二就是面積與體積理論。他提出了劉徽原理，并將多種面積或體積的問題加以解決。另外，他還在自己的著作中，給出了對幽州率的計(jì)算方法，使圓周率又成為“徽率”。

劉徽一直都在數(shù)學(xué)的海洋中遨游，不斷地專研和學(xué)習(xí)，并提出新的見解和理論，對數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。鑒于劉徽的巨大貢獻(xiàn)，所以不少書上把他稱作“中國數(shù)學(xué)史上的牛頓”。

（三）數(shù)學(xué)家劉徽的故事

劉徽是魏晉時(shí)期有名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上有著極大的成就，在數(shù)學(xué)界中占據(jù)著極其重要的位置。他在十分簡陋的環(huán)境中，冥思苦想，提出了一個(gè)又一個(gè)令人振奮的理論。接下來，讓我們來看一看與劉徽有關(guān)的故事吧。

劉徽是中國古代歷史上，乃至世界知名的數(shù)學(xué)家，他通過自己不斷地研究，在十分簡陋的環(huán)境下，提出了“割圓術(shù)”，進(jìn)而得出了更精確地圓周率。這在當(dāng)時(shí)是一個(gè)十分偉大的發(fā)現(xiàn)，也使中國對圓周率的計(jì)算在世界上一直處于領(lǐng)先的地位。

劉徽在他的著作中，提出了割圓術(shù)的理論，可以利用它來計(jì)算圓周率。《九章算術(shù)》中提到“周三徑一”，這句話的意思就是說圓周率的近似值為三。但是，劉徽認(rèn)為這個(gè)數(shù)字太籠統(tǒng)，不夠準(zhǔn)確，所以指出這個(gè)數(shù)字不能作為圓周率。后來，在一次偶然的事件中，劉徽發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)增加得越多，那么多邊形的周長就與圓的周長越來越接近，這也就是割圓術(shù)的由來了。利用割圓術(shù)，劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始切割，然后就是十二邊形等一直計(jì)算下去，直到計(jì)算到九十六邊形為止，能夠得出的圓周率的近似值是3.14。然而劉徽對此并不滿意，他后來又繼續(xù)深入計(jì)算，得出了當(dāng)時(shí)世界上最精確的圓周率為3.1416。

劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上的成就對后世數(shù)學(xué)的發(fā)展，形成了十分深遠(yuǎn)的影響。

（四）劉徽在海島算經(jīng)

劉徽是實(shí)至名歸的世界數(shù)學(xué)界的泰斗，他利用了各種優(yōu)秀的理念，使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)得到了轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)研究也步上了一個(gè)新的臺階。他留下的數(shù)學(xué)著作對數(shù)學(xué)界來說是珍寶一般的存在，《海島算經(jīng)》就是其中的一部。

263年，劉徽著作了《九章算術(shù)注》，而《海島算經(jīng)》就是其中的第十卷。直到唐朝時(shí)，《海島算經(jīng)》才開始單獨(dú)作為一部著作出現(xiàn)。這部書是中國最早的一部測量學(xué)著作，測量的都是與高和距離的問題。因此，有人說它是三角法的起源，但這其中并未涉及相關(guān)的理論和知識點(diǎn)。這部書一共有九個(gè)關(guān)于測量計(jì)算高遠(yuǎn)深廣的問題，且都是采用表尺從不同的位置測望，然后取得這些測望值的差距，通過這些差距再來計(jì)算山高等距離問題。而在這些計(jì)算中，所運(yùn)用的方法是籌算。因?yàn)檫@些問題中的第一個(gè)問題與海盜有關(guān)，所以這部書被取名為《海島算經(jīng)》。

這部書，在唐初時(shí)單獨(dú)成冊，后來又被收錄進(jìn)了一部百科全書式的文獻(xiàn)集中。幸運(yùn)的是，經(jīng)歷了千年的顛簸，這部書沒有消逝在時(shí)間的長河里，如今被妥善的保管著。遺憾的是，雖然這部書沒有失傳，但是卻沒能留存于國內(nèi)，而是被保存于英國劍橋大學(xué)圖書館。

有人曾指出，《海島算經(jīng)》讓中國的測量學(xué)達(dá)到了巔峰，其測量術(shù)比歐洲早了整整一千四百年左右，可見古代中國測量學(xué)的先進(jìn)。

（五）九章算術(shù)

《九章算術(shù)》作者不詳，師承不明，無門無派，身世神秘，仿佛天外飛仙般突然降臨江湖，一出現(xiàn)便驚艷了眾生，引得歷代名家盡折腰，甘愿殫精竭慮，紛紛為之作注，九章之學(xué)，遂成大宗。

劍有劍招，算有算題，“獨(dú)孤九劍”須得從一招一招練起，《九章算術(shù)》也得從一題一題做起。整部《九章算術(shù)》說到底就是一本算題集，共列舉了二百四十六道算題，每題皆有問有答有解。這又好比二人對劍，一人出招，一人接招，至于如何見招拆招，則全賴“九術(shù)”之妙用。

看來欲有所進(jìn)境，是非動(dòng)手不可了。不妨就從每章各抽一題，以期略盡管窺之責(zé)。

例一箕田求積

今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步，問為田幾何？（方田章）

這正是方田術(shù)最擅長的面積計(jì)算問題，由于常跟“田”打交道，故而“田”也就自然成為了各類圖形的代稱，諸如：“方田”指矩形，“圭田”指等腰三角形，“邪田”指直角梯形，“箕田”指等腰梯形，“圓田”指圓形，“宛田”指球冠形，“弧田”指弓形，“環(huán)田”指環(huán)形等等。不同的“田”有不同的面積計(jì)算公式，遂又衍生出種種專語，諸如：“廣”為長，“從”為寬，“正從”為高，“舌”為上底，“踵”為下底，“周”為周長，“徑”為直徑等等。通曉了這些行話般的代稱專語，修煉起方田術(shù)來，才能事半而功倍。

箕田術(shù)示意圖

本題所求為箕田面積，“箕田術(shù)曰：并踵舌而半之，以乘正從”，翻譯過來即：

等腰梯形面積＝1/2×（上底＋下底）×高

這個(gè)公式是不是很親切？遙想幼學(xué)當(dāng)年，稚氣猶未了，強(qiáng)記硬背，百遍后，倒也滾瓜爛熟。在此直接套用即可：

箕田面積＝1/2×（20＋5）×30＝375步

漢制二百四十步為一畝，故答曰：“一畝一百三十五步。”

例二以粟換米

今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？（粟米章）

國以農(nóng)為本，民以食為天，糧食在古代不但是賦稅的大宗，交易時(shí)更堪比金銀等硬通貨，因此糧食的兌換和折算問題，一直是朝廷和官府的頭等大事。〈粟米章〉開篇就明示“粟米之法”，列出了二十種谷物及米飯的換算比率，相當(dāng)于一份漢代的糧食換算表，即以本題而言，粟率五十，糲米率三十。

粟是中國北方主要的糧食作物，俗稱“谷子”，去殼后俗稱“小米”，糲米就是糙米。本題的意思是，根據(jù)“粟米之法”所列的比率，問一斗谷子能換多少糙米？

那么，具體該如何換算呢？這就要借助“今有術(shù)”。所謂“今有術(shù)”，其實(shí)就是四項(xiàng)比例算法，因每問開頭常冠以“今有”二字，故得此諢號。其修煉口訣曰：“以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一。”以公式表示即是：

所求數(shù)＝所有數(shù)×所求率／所有率

本題是以粟來兌換糲米，粟數(shù)為所有數(shù)，糲米數(shù)為所求數(shù)，粟率為所有率，糲米率為所求率。依今有術(shù)之法：

糲米數(shù)＝粟數(shù)×糲米率／粟率＝1斗×30／50＝0.6斗

漢制十升為一斗，故答曰：“為糲米六升。”

例三五爵分鹿

今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？（衰分章）

古代以爵級為賜，大夫、不更、簪裊、上造、公士都是戰(zhàn)國之初已有的官爵名稱，爵數(shù)各有等差，依次為大夫五，不更四，簪裊三，上造二，公士一。本題要求將獵得的五只鹿，按爵級予以賞賜，分配比例即為爵數(shù)，問五爵各得多少？

今有術(shù)解決的雖是按比例交換問題，但同樣可以適用于此處的按比例分配問題，由此便形成了衰分術(shù)。衰（cuī）即差別之意，衰分即按差別來分配。本題所給出的算法是：“列置爵數(shù)，各自為衰，副并為法。以五鹿乘未并者各自為實(shí)，實(shí)如法得一鹿。”

所謂“列置爵數(shù)，各自為衰，副并為法”，就是把分配比例依次列出，以各率相加之和作為除數(shù)：

5：4：3：2：1

5＋4＋3＋2＋1＝15

所謂“五鹿乘未并者各自為實(shí)，實(shí)如法得一鹿”，就是用五鹿之?dāng)?shù)乘以五爵各自在分配總率中所占的比例，即可求得各自應(yīng)得鹿數(shù)：

大夫應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×5／15＝1又2／3鹿

不更應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×4／15＝1又1／3鹿

簪裊應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×3／15＝1鹿

上造應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×2／15＝2／3鹿

公士應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×1／15＝1／3鹿

故答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分鹿之一，簪裊得一鹿，上造得三分鹿之二，公士得三分鹿之一。”

本題中還涉及到了分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則，這在〈方田章〉中有更為詳盡的論述，包括約分（分?jǐn)?shù)化簡法）、合分（分?jǐn)?shù)加法）、減分（分?jǐn)?shù)減法）、乘分（分?jǐn)?shù)乘法）、經(jīng)分（分?jǐn)?shù)除法）、課分（分?jǐn)?shù)比較大小）、平分（分?jǐn)?shù)求平均值）及大廣田（帶分?jǐn)?shù)乘法）——千萬別被它們古奧的名字唬住，其實(shí)都不過是最基本的分?jǐn)?shù)加減乘除四則運(yùn)算罷了，當(dāng)代的初中生人人皆會(huì)。

例四積步開方

今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？（少廣章）

少廣術(shù)是已知面積或體積，而反求邊長，相當(dāng)于方田術(shù)和商功術(shù)的逆向運(yùn)算，這就必然會(huì)涉及到開平方和開立方的問題。《九章算術(shù)》的開方術(shù)極為精彩，采用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)幾何上“出入相補(bǔ)”的原理，“析理以詞，解體用圖”，顯示了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特色，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形，“若開之不盡者，為不可工”，并給這種不盡根數(shù)起了一個(gè)專門的名字——“面”。

本題是一道簡單的開平方題，欲求55225的平方根。《九章算術(shù)》用的是古老的算籌，先擺出開方數(shù)式，再通過移動(dòng)算籌而借位，比之普通的加減乘除四則運(yùn)算要復(fù)雜得多。本題答曰：“二百三十五步。”

例五陽馬求積

今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何？（商功章）

陽馬不是馬，而一種特殊的錐體，本題所要求的就是這種錐體的體積，這正是商功術(shù)的看家本領(lǐng)。在動(dòng)手計(jì)算之前，先得介紹一下立體圖形家族的諸位成員。

最熟悉的當(dāng)然是長方體，在家族中排行最大，輩份最高，許多錐體和柱體都是由它演變而來的。

將長方體沿對角面斜分為二，得到兩個(gè)一模一樣的三角棱錐，稱為“塹堵”，其體積是長方體的一半。

塹堵

再沿塹堵某一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得四角棱錐和三角棱錐各一個(gè)。四角棱錐以矩形為底，另有一棱與底面垂直，稱為“陽馬”；余下的三角棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”（biē nào）。

合兩鱉臑而成一陽馬，合三陽馬而成一立方。故本題解法是：“廣袤相乘，以高乘之，三而一。”也就是以陽馬矩形底面的長乘以寬，再乘以陽馬的高，得出未剖分前長方體的體積，除以三即為陽馬的體積。答曰：“九十三尺少半尺。”

商功術(shù)天天應(yīng)對的都是建房、造屋、筑城、修堤、挖溝、開渠等土木水利工程問題，所遇到的怪咖自然不止以上幾位，還有“芻童”、“芻甍”、“曲池”、“盤池”、“冥谷”等等。“芻童”指的是上下底皆為矩形的擬柱體，芻甍指的是上底為一棱、下底為一矩形的擬柱體，至于“曲池”、“盤池”、“冥谷”則都是長方臺體，計(jì)算方法大同小異。

例六四縣均輸

今有均輸粟，甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦，當(dāng)輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠(yuǎn)近、戶數(shù)多少，衰出之，問粟、車各幾何？（均輸章）

所謂“均輸”，就是平均分配運(yùn)輸負(fù)擔(dān)。本題中縣戶有多少之差，行道有遠(yuǎn)近之異，欲其均等，故各令行道日數(shù)約戶為衰分，行道多者少其戶，行道少者多其戶。

甲縣衰分＝10000戶／8日＝125

乙縣衰分＝9500戶／10日＝95

丙縣衰分＝12350戶／13日＝95

丁縣衰分＝12200戶／20日＝61

已知衰分，就可以運(yùn)用前已熟悉的衰分術(shù)，很容易地計(jì)算出各縣當(dāng)輸?shù)乃跀?shù)和當(dāng)用的車數(shù)了，答曰：“甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。”

這只是均輸術(shù)最正經(jīng)的應(yīng)用，事實(shí)上，它還可以解決一些不大重要卻很有趣的小問題，例如數(shù)學(xué)史上著名的“鳧雁相逢”問題：

今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？（均輸章）

鳧即野鴨，雁即大雁，野鴨從南海飛到北海需要七天，大雁從北海飛到南海需要九天。野鴨和大雁同時(shí)分別從南海和北海出發(fā)，問多少天可以相遇？

鳧雁相逢

本題雖然簡單，卻包含了均輸術(shù)中的時(shí)日、路程、速度等幾乎所有的元素，是典型性非典型題，反映了中國古代在處理與比例分配相關(guān)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)的基本思維——“齊同”，化異分母為同分母叫“同其母”，要保持分?jǐn)?shù)值不變，還必須“齊其子”，母同子齊以后才可以進(jìn)行加減運(yùn)算。所以，“鳧雁相逢”的解法是：“并日數(shù)為法，日數(shù)相乘為實(shí)，實(shí)如法得一日。”也就是說，以各自需要的天數(shù)之和為除數(shù)，以各自需要的天數(shù)之積為被除數(shù)，這樣就得到日數(shù)。答曰：“三日十六分日之十五。”

例七人共買物

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？（盈不足章）

題目意思是幾人合買一物，每人出錢八塊，則多三塊，是為盈余；每人出錢七塊，則少四塊，是為不足。問人數(shù)和物價(jià)各是多少？

這是典型的盈不足問題，自然必須用盈不足術(shù)。盈不足術(shù)跟衰分術(shù)一樣，也是由今有術(shù)衍生而來。由于往往要面對盈和虧兩種情形，需要通過兩次假設(shè)來求得結(jié)果，所以在歐洲又被稱為“雙假位法”，亦譯作“迭借互征”。盈不足術(shù)能處理各種隱而不見、雜亂無章的數(shù)量關(guān)系問題，因此又被譽(yù)為“萬能算法”，稱霸數(shù)壇。

《九章算術(shù)》所給出的盈不足術(shù)公式相當(dāng)繁復(fù)啰嗦，反而劉徽的注更為簡捷，在此無暇贅述，還是直奔主題為上。

首先計(jì)算人數(shù)。每人兩次出錢，相差為8－7＝1，這是所謂“一人之差”。而“盈不足為眾人之差”，也就是說由于每人兩次出錢都差一點(diǎn)，導(dǎo)致了最后有3個(gè)“眾人之差”，大家相差的就是盈余的3塊錢和不足的4塊錢之和，“眾人之差”是7塊錢。“以一人之差約眾人之差，故得人數(shù)也”，以7除以1，即得知人數(shù)是7人。

再來計(jì)算物價(jià)。每人出錢8塊，買1物，多錢3塊；若買4物，則需出錢8×4＝32塊，多3×4＝12塊。每人出錢7塊，買1物，少錢4塊；若買3物，則需出錢7×3＝21塊，少4×3＝12塊。兩次盈虧等同，可以互相抵消。兩次出錢之和＝8×4＋7×3＝53塊，共計(jì)買得4＋3＝7物。前已算得人數(shù)是7人，可知物價(jià)是53塊錢。故答曰：“七人，物價(jià)五十三。”

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來源 | 校苑數(shù)模

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總結(jié)

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