既然提到了歐拉公式，就先感受一下他的令人著迷。

為什么說它是數(shù)學(xué)里最完美的一個(gè)公式，因?yàn)樗鼘?shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：

兩個(gè)超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π；

兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1；

以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。

數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。

這里面我們來著重介紹一下神奇的自然常數(shù)e。

e是自然常數(shù)(歐拉數(shù))，它是一個(gè)無理數(shù)，定義是

怎么理解呢，舉個(gè)栗子，假定有這樣一家銀行，它一年的存款利率是100% 。

如果只在年底結(jié)算一次利息，那么一年后我們可以連本帶利得到(1+1/1)^1=2塊錢。

如果每半年結(jié)算一次利息，那么一年后我們可以連本帶利得到(1+1/2)^2=2.25塊錢。

如果每一個(gè)月結(jié)算一次利息，那么一年后我們可以連本帶利得到(1+1/12)^12=2.61塊錢。

如果每一天結(jié)算一次利息，那么一年后我們可以連本帶利得到(1+1/365)^365=2.715塊錢。

這就是復(fù)利，利息結(jié)算次數(shù)越多，獲利也就越多。

如果每一小時(shí)、每一分鐘、每一秒鐘......結(jié)算利息的次數(shù)為無數(shù)次，那么我們能否得到無窮無盡的收入呢？

當(dāng)然是不可能的，原因就是這個(gè)自然常數(shù)e。

當(dāng)x驅(qū)于無窮時(shí)，e的大小為2.718281828…，是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。

所以，e就是復(fù)利的極限，就是增長的極限。

這么完美的公式拿什么來比呢？當(dāng)然是它自己。

哈哈，開玩笑的，我說的是一個(gè)可以畫出自己的公式：塔珀自指公式

這個(gè)公式是杰夫·塔珀（Jeff Tupper）發(fā)現(xiàn)的。

其中 ? ?表示取底符號，表示不大于 n 的最大整數(shù)，比如?3.1415926 ?=3，?-3.14 ?=-4。

mod表示模除，比如mod (a, b) 表示 a 除以 b 的余數(shù)， mod (8, 3) = 2。

它最奇妙的就是“自指”二字，公式的二維圖像與公式本身外觀一模一樣。

怎么實(shí)現(xiàn)的呢?

在直角坐標(biāo)系里劃出一系列小方格，小方格邊長為1，如下圖所示。

橫軸x的取值范圍是 [0, 105]，縱軸y的取值范圍是 [k, k+17), k的值由要畫的圖決定。

如果讓k=

960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719，

將每個(gè)方格的坐標(biāo)帶入塔珀自指公式中，如果不等式成立，則將方格涂色；如果不等式不成立，則不涂色。這樣就可以將塔珀自指公式畫出來了。

為什么能拿來和歐拉公式相比，因?yàn)楫?dāng)k=

235203593994965812214082964919796092930697481362502826329293

478195407359549554461414064845734246156488732522345562080420

479601143495511102237660163585321047663331899199046219268799

910930820947231541971365223818596751873135459698467669828802

5582563654632501009155760415054499960，

就可以畫出歐拉公式了，

是不是很神奇？其實(shí)仔細(xì)思考之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)一點(diǎn)都不神奇。就像魔術(shù)揭秘一樣，說穿了也就沒什么意思了。

在塔珀自指公式里，不等式右邊的式子可簡化為y div 17 * 2^(-17x – y mod 17) mod 2，

其中div是整除運(yùn)算，是在整數(shù)運(yùn)算中求一個(gè)整數(shù)a以另一個(gè)整數(shù)b時(shí)取整數(shù)商的運(yùn)算，且不考慮運(yùn)算的余數(shù)。

對于一個(gè)w位的二進(jìn)制數(shù)來說，它與2的k次方的乘積，等同于這個(gè)二進(jìn)制數(shù)左移k位。

所以z * 2^(-k) mod 2相當(dāng)于二進(jìn)制數(shù)z右起第k位上的數(shù)字。

對于某個(gè)自然數(shù)k，當(dāng)17k ≤ y < 17(k+1)時(shí)，指數(shù)-17x – y mod 17恰好對應(yīng)所有的負(fù)整數(shù)，于是位于17k和17k+16之間的圖象的每個(gè)像素和k的二進(jìn)制中的每一位數(shù)字一一對應(yīng)。

當(dāng)縱坐標(biāo)足夠大時(shí)，必然會(huì)出現(xiàn)一段高度為17的圖像，圖像和公式本身外觀一模一樣。

那么，我們的問題就在于如何找到k的值，可以將公式的單色位圖化成二進(jìn)制后乘以17：

1、選定一張像素為 106 × 17 的圖片。

2、考察每個(gè)像素，如果像素著色，標(biāo)記上 1，如果沒有著色，標(biāo)記上 0。

3、從左下角向上，將每個(gè)像素標(biāo)記的1或0依次寫下來，把標(biāo)記的1和0依次排列起來，依次記下第一列 1、0 序列，然后記錄第二列，也是從底部向上開始記錄。然后依同樣方法，依次記錄第三列、第四列、……，一直到第 17 列，最后得到一個(gè) 1802 位的二進(jìn)制數(shù)。

4將此 1802 位的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成 10 進(jìn)制數(shù)，將所得之?dāng)?shù)乘以 17，就是我們要求的 k。

編輯?∑Gemini

來源：數(shù)學(xué)職業(yè)家

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總結(jié)

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