2名数学家或发现史上最快超大乘法运算法，欲破解困扰人类近半个世纪的问题...
早在數(shù)千年之前，巴比倫人就已經(jīng)發(fā)明了乘法。而就在上個月，數(shù)學(xué)家們又對這一運(yùn)算方式進(jìn)行了優(yōu)化，使它越來越完美。
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3?月?18?日，兩位研究人員有可能發(fā)現(xiàn)有史以來最快的計(jì)算兩個超大數(shù)的乘法運(yùn)算方式。這篇論文的誕生，也意味著數(shù)學(xué)界最基本的運(yùn)算方式又有了更新更有效的運(yùn)算過程，有望破解了一個已經(jīng)存在近半個世紀(jì)的數(shù)學(xué)問題。
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法國國家科學(xué)研究中心數(shù)學(xué)家，這篇論文的共同作者之一?Joris?van?der?Hoeven?說道，“大部分人都以為自己在學(xué)校里面學(xué)到的方法就是最好的方法，但是實(shí)際上在研究界，有關(guān)乘法的計(jì)算方法領(lǐng)域一直是十分活躍的，而且不斷有著新的突破和優(yōu)化。”
圖丨?有史以來最快大數(shù)相乘算法的兩位發(fā)明人，上為法國國家科學(xué)研究中心的數(shù)學(xué)家?Joris?van?der?Hoeven?，下為新南威爾士大學(xué)教授 David Harvey。在計(jì)算超大數(shù)時(shí)，下圖中的傳統(tǒng)計(jì)算方法會變得十分吃力（來源：école Polytechnique）
許多數(shù)學(xué)計(jì)算領(lǐng)域的難題，從圓周率的計(jì)算到尋找最新的更大的素?cái)?shù)等等，其運(yùn)算復(fù)雜性最終都將由為基本的乘法的運(yùn)算速度決定。Van der Hoeven 認(rèn)為，許多其他類型的問題理論上可以達(dá)到的最快的被解決的速度極限，最終也都將由乘法的運(yùn)算速度決定。
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“物理學(xué)中也有一些十分重要的常量，比如光速就是決定許多其他物理現(xiàn)象的基本參數(shù)，”Van der Hoeven 說，“如果你想知道計(jì)算機(jī)解決各種數(shù)學(xué)問題的速度有多快，那么整數(shù)乘法的運(yùn)算速度也將是回答這一問題的一個基本參數(shù)，描述計(jì)算機(jī)的許多種運(yùn)算的速度都將會用到這個參數(shù)。”
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大多數(shù)人所學(xué)乘法的運(yùn)算方法都是以下這種方法。將兩個乘數(shù)排成兩行，用下面的乘數(shù)中的每一位數(shù)字分別去乘以上面的乘數(shù)的每一位數(shù)字，然后將所有的相乘結(jié)果相加。比如說，如果是兩個兩位數(shù)的乘法運(yùn)算，你需要進(jìn)行四次兩個一位數(shù)的相乘，然后將這四個相乘的結(jié)果相加。
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這個我們在小學(xué)就學(xué)過的乘法的算法，即豎式計(jì)算乘法的方法，在進(jìn)行 n 位數(shù)之間的相乘時(shí)，需要進(jìn)行大約 n 的平方次個位數(shù)的相乘，這里 n 是每個乘數(shù)的位數(shù)。所以，兩個三位數(shù)的乘法需要進(jìn)行 9 次個位數(shù)的相乘，而如果你要進(jìn)行的是兩個 100 位數(shù)的大數(shù)相乘，就需要 10,000 次個位數(shù)的相乘。
圖丨傳統(tǒng)的豎式計(jì)算方法（來源：互聯(lián)網(wǎng)）
上面說到的豎式計(jì)算方法，其實(shí)更適用于位數(shù)少的數(shù)字之間的相乘。當(dāng)我們需要進(jìn)行數(shù)百萬位數(shù)或數(shù)十億位數(shù)的乘數(shù)之間的相乘時(shí)，豎式計(jì)算方法就顯得無能為力了，例如計(jì)算圓周率或者尋找更大的質(zhì)數(shù)。
如果要將兩個?10?億位數(shù)的數(shù)字相乘，需要進(jìn)行十億的平方次個位數(shù)的相乘，這個運(yùn)算需要現(xiàn)代計(jì)算機(jī)花費(fèi)大約 30 年的時(shí)間。
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在過去的數(shù)千年以來，人們都認(rèn)為沒有比豎式計(jì)算方法更快的乘法的算法了。
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直到 1960 年，一位名叫 Anatoly Karatsuba 的 23 歲的俄羅斯數(shù)學(xué)家參加了由 20 世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一 Andrey Kolmogorov 領(lǐng)導(dǎo)的研討會。當(dāng)時(shí)，Kolmogorov 斷言，沒有一種方法可以以少于 n 的平方次個位數(shù)之間的相乘來完成兩個 n 位數(shù)之間的相乘。但是 Karatsuba 認(rèn)為有；然后僅僅經(jīng)過了一周的探索，他就找到了這種方法。
高能預(yù)警， Karatsuba 提出的算法思路如下 ：
計(jì)算25乘以63，?傳統(tǒng)的算法如下需要4次個位數(shù)之間的相乘以及幾次加法，如下：
Karatsuba 算法需要3次個位數(shù)之間的相乘以及幾次加法和減法，如下：
后者看似步驟比較多，但其優(yōu)勢在特大數(shù)相乘時(shí)就顯現(xiàn)出來了，主要體現(xiàn)在節(jié)省個位數(shù)之間相乘的次數(shù)上：當(dāng)乘數(shù)的位數(shù)很多時(shí)，可以重復(fù)進(jìn)行 Karatsuba過程，將原來的乘數(shù)拆分成更小的部分。所進(jìn)行的拆分的次數(shù)越多，相比傳統(tǒng)算法，你就節(jié)省了越多次個位數(shù)之間的相乘。
例如，計(jì)算 2531 乘以1467，傳統(tǒng)的算法需要進(jìn)行 16 次個位數(shù)之間的相乘，如下：
而 Karatsuba 算法只需要進(jìn)行 9 次個位數(shù)之間的相乘，如下：
（來源：quanta）
由此也可以看出，Karatsuba?的算法的主要想法是分治算法，也就是將大數(shù)的乘數(shù)分解成更小的部分，并以一種新穎的方式重新組合這些部分，這種方式可以用少量的加法和減法來代替大量的乘法。Karatsuba 算法節(jié)省了時(shí)間，因?yàn)檫@一運(yùn)算僅需 2 的 n 次方次個位數(shù)的相乘，而不是之前的 n 的平方次。
賓夕法尼亞州立大學(xué)數(shù)學(xué)家 Martin Fürer 說道：“另外，比起豎式計(jì)算方法，你可以在學(xué)校里提前一年學(xué)會這種方法，因?yàn)檫@種方法更容易，你可以在線性的時(shí)間內(nèi)快速完成運(yùn)算，這幾乎和從右到往左閱讀數(shù)字一樣快”。Martin Fürer 在 2007 年也創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上最快的乘法算法。
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在處理大數(shù)乘法時(shí)，可以重復(fù)進(jìn)行 Karatsuba 過程，將原始數(shù)字拆分為幾乎與數(shù)字的位數(shù)一樣多個部分。通過每一次拆分，你都可以將本需要許多許多次的乘法以需要的運(yùn)算次數(shù)少的加法和減法來替代。
新南威爾士大學(xué)的數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是這篇新論文的共同作者之一 David Harvey 說：“Karatsuba?算法可以把一些乘法變成加法，而對于計(jì)算機(jī)來說加法會更快。”
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使用 Karatsuba 的方法，可以達(dá)到在 n 的 1.58 次方次個位數(shù)的乘法后，完成兩個 n 位數(shù)的乘數(shù)之間的相乘。然后在 1971 年，Arnold Sch?nhage 和 Volker Strassen 發(fā)表了一種能夠以 n×log n×log（log n）次個位數(shù)的相乘來完成大數(shù)相乘方法，其中 log n 是 n 的對數(shù)。而利用 Karatsuba 的方法進(jìn)行兩個 10 億位數(shù)字之間的相乘時(shí)，則大約需要 165 萬億個額外的步驟。
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（來源：此次論文）
Sch?nhage?和?Strassen?的大數(shù)相乘的算法，對之后的大數(shù)相乘算法的發(fā)展產(chǎn)生了兩個重要的長期影響。
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首先，它頭一次在大數(shù)相乘領(lǐng)域?qū)⒁环N來自于信號處理技術(shù)領(lǐng)域的被稱為**快速傅立葉變換的方法引入了該領(lǐng)域。之后的每一次快速乘法算法都以這種方法為基礎(chǔ)。
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另外一個重要影響是，在同一篇論文中，Sch?nhage 和 Strassen 推測道，應(yīng)該有一個比他們所發(fā)現(xiàn)的算法更快的算法——一種只需要 n×log n 次運(yùn)算的方法，而且這種算法將會是最快的算法。他們的推測主要是基于一種預(yù)感，因?yàn)樗麄冇X得大數(shù)乘法的最少的基本操作次數(shù)應(yīng)該比 n×log n×log（log n）這個公式更優(yōu)雅。
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“這其實(shí)是一種很普遍的共識，人們都認(rèn)為既然乘法是一個如此重要的基本操作，那么從美學(xué)的角度來看，這樣一個重要的操作需要一個很優(yōu)雅的復(fù)雜性極限的描述公式，”Fürer?說，“從普遍經(jīng)驗(yàn)來看，最最基本的事物的數(shù)學(xué)描述總是十分優(yōu)雅的。”
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不過，在之后的 36 年里，都沒有人找到比 Sch?nhage 和 Strassen 這個不那么優(yōu)雅的需要 n×log n×log（log n）次基本運(yùn)算的算法更快的大數(shù)乘法的算法。
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（來源：quanta）
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直到 2007 年，Fürer 終于打破了這一領(lǐng)域一直沒有進(jìn)展的狀態(tài)，而這次發(fā)現(xiàn)仿佛打開了人類這在一領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)的閥門一般。在過去的十年中，數(shù)學(xué)家們不斷的相繼發(fā)現(xiàn)更快的乘法算法，而且每種算法都比之前更接近 n×log n，但是卻一直沒有完全達(dá)到它。直到上個月，Harvey 和 van der Hoeven 終于達(dá)到了。
他們的方法是對之前的主要方法的一種改進(jìn)和優(yōu)化。他們的方法也會分割數(shù)字，使用快速傅立葉變換的改進(jìn)版本，而且他們還利用了過去四十年間這一領(lǐng)域其他進(jìn)步的成果。van der Hoeven 說，“只不過我們以更激進(jìn)的方式來使用快速傅里葉變換，我們的方法要進(jìn)行多次快速傅里葉變換而不只是一次，而且也用加法和減法代替更多的乘法。”
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Harvey 和 van der Hoeven 的算法證明了乘法可以進(jìn)行 n×log n 次基本乘法來完成。但是，他們并不能證明沒有比這種方法更快的算法。要證明這種方法是最好的方法要比發(fā)現(xiàn)這一算法困難得多。2 月底，奧胡斯大學(xué)的一個計(jì)算機(jī)科學(xué)家小組發(fā)表了一篇論文，認(rèn)為如果另一個未經(jīng)證實(shí)的猜想成立的話，這一方法將可以被證實(shí)確實(shí)是乘法的最快的算法。
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雖然這一新的算法理論上將有著重大意義，但實(shí)際上比起之前的算法，它其實(shí)并沒有進(jìn)行太大的變化，它只比已經(jīng)在被我們使用的算法稍微好一些。
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“使用這種算法，最好的情況下也只比之前的算法最快三倍，”van der Hoeven 說。“這并沒有比之前快很多。”
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此外，計(jì)算機(jī)硬件的設(shè)計(jì)也在過去幾年間發(fā)生了許多變化。二十年前，計(jì)算機(jī)執(zhí)行加法要比乘法快很多。但是乘法和加法之間的運(yùn)算速度的差距在過去 20 年中已經(jīng)大大縮小，在某些芯片架構(gòu)中，乘法甚至比加法更快。在使用某些硬件時(shí)，“你甚至可以讓計(jì)算機(jī)通過做多次乘法來提高加法的運(yùn)算速度，這在之前簡直的不可想像的，”Harvey 說。
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不過，硬件隨時(shí)間在不斷發(fā)展，但是對于一種運(yùn)算的最佳算法的尋找卻是是永恒的沒有盡頭的。無論計(jì)算機(jī)在未來會變成怎樣，Harvey 和 van der Hoeven 的算法將一直會是最有效的乘法運(yùn)算方法之一。
圖丨新算法的長圖版（來源：quanta）
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-the-perfect-way-to-multiply-20190411/?
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778/document
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來源：DeepTech深科技
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的2名数学家或发现史上最快超大乘法运算法，欲破解困扰人类近半个世纪的问题...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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