下面的問題來自姚期智教授的理論計算機的授課內容——我是其助教之一：

現假設你在PIE上征友，或者以其它方式，選定了某些約會對象，比如?n=20?個。約會當然得一個一個來，那么假設

可以將所有已約會的對象按優劣排序，但無法得知他們在所有的人里面的排名。在約會過程中，你知道某人是你目前已見到的最好的，但當時還不能確定是不是所有人里面最好的。

如果你在約會當時決定放棄某人，后面再沒有機會和此人和好——好馬不吃回頭草。

選定意中人后，約會結束——騎驢找馬是不道德的。

OK，現在目標當然是找到你心目中最喜歡的人。關系定得太早，會因為第2條假設——精彩的還在后頭，定得太晚，會因為第3條——而后悔莫及。所以，什么策略才能讓你以最大概率找到你最滿意的那個人呢？

一個簡單而且自然的方法是，待定?k?，與前?k?個人約會，不做任何選擇。繼續約會直到遇到比這前k個人還好的那個人為止。

通過概率計算得出，這個方法比我們想象中要好得多。通過選取合適的?k=n/e～0.37n～7，有接近40%的機會選中最好的那位，有幾乎70%的機會選中最好或者次好的那位。

可以證明，上面的策略已經是最優的了。

這個問題在日常生活中有更多應用。比如你打算在30歲前結婚，現在20歲。那么在24歲前先別確定目標，24歲以后遇到比之前都好的就可以定下來。這幾乎就是你能達到最好的結果了——假設你的候選人在這十年是均勻或者隨機出現的。

這種策略也許能說明為何初戀成功率低？

以上所用都是愛情和婚姻的簡化模型，沒有考慮愛情中的主觀因素。所以，請只把它當作一個腦力游戲。

下面將證明：最佳約會策略里提到策略，忽略前37%的對象，然后在剩下的對象里挑第一個比前37%都好的對象，這個策略是最優的。更準確地，我們將證明：任何約會策略的成功概率都不可能超過?un∑n?1i=u1i?，其中?u?為滿足?∑n?1i=u1i≥1?的最大值。這個?u?大約為37%，最后成功的概率大約為40%。

首先定義一些符號，?∏n?表示?{1,2,?,n}?的排列的集合。

我們可以定義排列之間的半有序關系。對于任何兩個排列?α∈∏a?和?β∈∏b?，如果?a≤b?并且?α?的前a項的大小順序和?β?一樣(即對任意?1≤i,j≤a?都有?αi<αj?βi<βj?)，我們則認為α≤β?，我們也可以用另外一種說法，滿足這樣的條件的?α?被認為是?β?的字排列。

對任意?α∈∏n?，令

Fk(α)=β∈∏ks. t.β≤α

下面開始證明。

隨機策略是確定性策略的隨機組合，所以任何一個隨機策略的勝率都不會超過其中最好的確定性策略的勝率。所以我們只需要對確定性策略證明上述勝率上屆。

而首先，我們需要對一個約會策略建模。任何一個策略面對一個約會對象的序列，這個序列可視作一個排列組合。策略一項一項檢驗這個排列組合，并且決定在什么時候停止。假設這個策略在檢查?α?時停止在第?k?項，那么該策略只知道?α?的前?k?項的相對順序，也就是Fk(α)?，便決定停止。令?Sk∈∏k?為所有這樣的?Fk(α)?，并令sk=|Sk|?。我們也稱S=S1∪S2∪?∪Sn?為策略的停止集。

顯然，對于任意?α∈Sk?, 都有?n!k!?個排列比它大。這其中，有?(n?1)!(k?1)!?個排列被策略成功找出最大值(即第?k?項為?n?)。所以策略在第?k?項停止并成功的概率為：

P=1n!∑k(n?1)!(k?1)!?sk

從上面概率等式看，一個策略的停止集越大越好。現在我們需要指明一個事實，這是證明我們結論的關鍵。一個策略的停止集?S?并不能無限制的大，它必須滿足其中的任意一個排列都不能是另外一個排列的字串，即對任意?i<j?,?α∈Si?且?β∈Sj?,?α?不可能是?β?的自排列。

如果同為停止集元素的排列?α?是另一個停止集元素?β?的子排列，那么當策略在遇到?β?時，策略將直接停止在第i?個元素，不會等到第?j?個元素才停止，從而?β?不可能也是停止集合的成員。

從上面的事實，我們計算?{1,2,?,i}?的最后一位為?i?的排列個數。任何一個屬于?Sj?的排列都可以擴充為?(i?1)!j!個這樣的排列，并且所有這些這樣擴充后的排列都互不相同。因此：

∑j=1j?1sj(i?1)!j!+si≤(i?1)!

令?ti=si/i!?，上式轉化為對任意?i

∑j=1i?1tj+iti≤1

令?u?為滿足?∑n?1i=u1i≥1?的最大值，以下有：

P==≤=1n∑k=1nktk1n∑i=1n(∑j=1i?1tj+iti)(1?∑j=in?11j)1n∑i=u+1n(1?∑j=in?11j)un∑i=un?11i

等號成立時必須有??i≤u?都有?ti=0?，亦即策略需忽略前?u?項，并且??i>u?有∑i?1j=1tj+iti=1?，遞推可知最佳約會策略是唯一的最優的策略。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的最佳约会策略及其证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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