導語：作為理科生或者程序員，引以為傲的除了身上的格子襯衫外，我們還有一樣很重要的就是邏輯思維，對于很多事，譬如一些女生的流行觀點，我們似乎天然地就喜歡拋出一句“真沒邏輯”的評價，這也為我們自己掙得了“憑實力單身”的美譽。如果你也是這樣的，那么你需要好好了解一下貝葉斯公式的基本思想。

貝葉斯公式的基本思想

樸素貝葉斯由兩部分組成，“樸素”是一種帶有假設的限定條件，“貝葉斯”則指的是貝葉斯公式。合起來，樸素貝葉斯指的就是在“樸素”假設條件下運用“貝葉斯公式”。

顯然，“樸素貝葉斯”是一條偏正短語，核心和重點是貝葉斯公式。貝葉斯公式與其說是一條公式，更不如說是一種思想。統(tǒng)計學中有兩座山頭，分別叫頻率學派和貝葉斯學派，而這兩座山頭都有各自龐大的學識體系。這里本著現(xiàn)學現(xiàn)用的原則，只揀我們馬上就能用的講。

我們一般會把符號說明安排在數(shù)學解析部分，不過這里有兩個概率符號需要提前介紹，它們是本章的主角。

● P(X) ：這是概率統(tǒng)計中最基本的符號，表示X出現(xiàn)的概率。如在擲骰子的游戲中，P(6)就是指骰子出現(xiàn)數(shù)字“6”的概率。這個概率顯然為1/6。

● P(X|Y) ：這是條件概率的符號，比上面的概率符號中間多了一豎，代表條件。P(X|Y)的意思是在Y發(fā)生的條件下，X發(fā)生的概率。它是貝葉斯公式的主角。

是不是覺得距離完全了解條件概率還差那么一點點兒？上文我們一起了解了出題老師的心路歷程，現(xiàn)在還是繼續(xù)請這位出題老師補上這最后的一點點吧。

我們用P(D)代表選項D為錯誤選項的概率，在正確答案均勻分布時，概率值為25%。那么P(D|C)就代表選項C為錯誤選項時，D為錯誤選項的概率。這與單純的P(D）有什么不同呢？別忘了，這位老師有一點癖好，選擇了C為錯誤選項之后，會順手把D也作為錯誤選項?，F(xiàn)在的已知條件是選項C已經(jīng)確定是錯誤選項了，在這種前提條件下，選項D是錯誤選項的概率，也即P(D|C)的值就遠遠超過了25%。這就是條件概率的意義。

對于條件概率，我還要多說一點兒。前面我們說線性模型是“鋼鐵直男”的典范，相比之下，條件概率以及后面的貝葉斯公式就是“直男們”理解少女之心的一把鑰匙。

貝葉斯的基本邏輯

作為理科生或者程序員，引以為傲的除了身上的格子襯衫外，我們還有一樣很重要的就是邏輯思維，對于很多事，譬如一些女生的流行觀點，我們似乎天然地就喜歡拋出一句“真沒邏輯”的評價，這也為我們自己掙得了“憑實力單身”的美譽。如果你也是這樣的，那么你需要好好了解一下貝葉斯公式的基本思想。

貝葉斯公式的核心是條件概率，譬如P(B|A)，就表示當A發(fā)生時，B發(fā)生的概率，如果P(B|A)的值越大，說明一旦發(fā)生了A,B就越可能發(fā)生。兩者可能存在較高的相關性。

相關性就是貝葉斯公式要表達的哲學，明白了這一哲學，對于很多事情，特別是女生的流行觀點，我們將豁然開朗。譬如很多男生都曾經(jīng)被女朋友要求在節(jié)日送禮物，而理由多半是這么一句話：“我不是在乎禮物，而是在乎你用不用心?！焙芏嗄猩氩幻靼?#xff1a;你要我送禮物，又說不在乎禮物，這是什么邏輯？

那么這里我要說：女生說的是有邏輯的！只不過與男生不一樣，男生的邏輯偏重因果性，女生的邏輯偏重相關性。因果性很簡單，就是A→B，但如果A和B滿足相關性，情況則要復雜一些，譬如最經(jīng)典的數(shù)據(jù)挖掘案例“尿布和啤酒”，年輕的爸爸會在買尿布的時候順便買啤酒，這時尿布和啤酒就呈相關性，如果我們用P(尿布)來表示買尿布的概率的話，一旦P(尿布)的值增加，那么P(啤酒|尿布)的值也會增加。其意義是，當尿布的銷量增加時，啤酒的銷量也會增加，這就是相關性，但相關性不是因果性，二者雖然同時增長，但并不存在因果關系。

明白了這一點，男生就能明白女生的邏輯。對于“我不是在乎禮物，而是在乎你用不用心”這句話，我們用公式可以表達如下：

P(用心|送禮物)

那么，根據(jù)貝葉斯公式，當送禮物的發(fā)生概率越大，也即P(送禮物)的值越大， P(用心|送禮物)的值也就越大，也就表示你對這個女生越用心。這就是女生怎樣利用相關性，通過送禮物來考察你是否用心。

好了，我們大致解釋了貝葉斯公式。最后要說的是，相關性是建立在統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎之上的，所以“送禮物”和“用心”到底是否具有相關性，還需要進行社會學的調(diào)查。

用貝葉斯公式進行選擇

如果你已經(jīng)熟悉機器學習算法的套路，一定已經(jīng)從上面對條件概率的描述中“聞”到了預測的味道。貝葉斯公式預測的核心思想就5個字——“看起來更像”。

在貝葉斯看來，世界不是靜止和絕對的，而是動態(tài)和相對的，希望利用已知經(jīng)驗來進行判斷。用“經(jīng)驗”進行“判斷”，經(jīng)驗怎么來？有了經(jīng)驗怎么判斷？一句話實際包含了兩輪過程。

第一輪的分級：是已知類別而統(tǒng)計特征，即某一特征在該類中的出現(xiàn)概率，是把類別分解成特征概率的過程。

第二輪的還原：是已知特征而推測類別，這里將第一輪的結果用上，是把知道統(tǒng)計情況的特征還原成某一類的過程。

說到這里，就不能不提“先驗”和“后驗”了，這兩個詞兒看起來相當哲學，也確實是康德的《純粹理性批判》中的主角。對于這里的“驗”，主張認知的人將其解釋成經(jīng)驗，主張實踐的人將其解釋成“實驗”，在我看來，先驗和后驗不妨認為是兩位諸葛亮，先驗這位是事前諸葛亮，后驗這位是事后諸葛亮。就以空城計來說，諸葛亮布陣的時候，是根據(jù)司馬懿一貫的個性，斷定他不敢進城，這是先驗。等到司馬懿真的來了，在城下猶豫不決，要退不退，諸葛亮一看就知道事妥了，這是后驗。

貝葉斯版的預測未來

先驗和后驗是怎么用于預測的呢？這里我想展示一下我在中學時學會的看發(fā)型猜女同學的“技術”。假設我的班上一共有10位女同學，其中一位叫安吉利，中學時女生個子都差不多高，又穿著一樣的校服，光看背影猜中誰是安吉利的概率是10%，基本靠蒙了，這就是先驗概率，先記作P(安吉利)。但是有一天我突然發(fā)現(xiàn)，安吉利同學特別喜歡扎馬尾，不過扎馬尾又不是什么獨占的發(fā)明專利，而且這個年齡階段的女孩子又都愛扎馬尾，所以，不是所有扎馬尾的女同學都叫安吉利。

怎么辦呢？我又利用上課的時間統(tǒng)計了一下，班上女同學一共有三種發(fā)型，扎馬尾的概率大概為30%，記作P(馬尾)。而安吉利同學真的非常喜歡扎馬尾，她扎馬尾的概率高達70%，記作P(馬尾|安吉利)。這里我們用上了前面介紹的條件概率，P(馬尾|安吉利)的意思是，在女同學是安吉利的前提條件下發(fā)型是馬尾的概率，在貝葉斯公式中這又稱為似然度（Likelihood）。有了這三個統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我心里就有底了，往后見到扎馬尾的女同學，有兩成多的概率就是我們的安吉利。

其中的奧秘就是貝葉斯公式。也許你已經(jīng)察覺，扎馬尾的女同學中她是安吉利的概率也是一種條件概率，記作P(安吉利|馬尾)，這就是后驗概率。根據(jù)貝葉斯公式，我們有：

P(馬尾)·P(安吉利|馬尾)= P(安吉利)·P(馬尾|安吉利)

代入我們犧牲寶貴的上課時間得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，則可算出：

P(安吉利|馬尾)=10%×70%/30%=23.3%

前面我們說，用先驗和后驗進行選擇判斷要分成兩個階段，現(xiàn)在有了似然度就好解釋了。先驗概率是已經(jīng)知道的，而我們通過經(jīng)驗或?qū)嶒炓私獾木褪沁@個似然度，知道似然度再加上先驗，我們就能知道后驗概率了。

可惜的是，雖然貝葉斯公式能夠告訴我誰是安吉利，但是它沒辦法告訴我。為什么安吉利同學會對馬尾如此執(zhí)迷。

下次再聊。

以上內(nèi)容摘自《機器學習算法的數(shù)學解析與Python實現(xiàn)》一書，經(jīng)出版方授權發(fā)布。

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總結

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