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線性代數拾遺（一）：線性方程組、向量方程和矩陣方程

線性代數拾遺（二）：線性方程組的解集及其幾何意義

線性代數拾遺（三）：線性變換以及矩陣的意義

線性代數拾遺（四）：線性方程組的應用

上一章用了一個經濟學的例子，介紹了現實中的線性方程組，那個例子里，我們借助矩陣“封裝”的作用，將解三個方程組的問題轉換為解Ax=0。而我們知道，矩陣不僅可以封裝數據，還可以表示線性變換，那這一章就來介紹一下矩陣變換在現實生活中的應用。

一、社會學例子

這個例子同樣來自于《線性代數及其應用》這本書。

假如我們要研究一個城市的人口遷入、遷出的問題。用ci和ri分別表示第i年該城市市區和郊區的人口數，c0和r0就是初始年（最開始進行觀測的那一年）市區和郊區的人口數。再用xi表示第i年的人口向量：

設人口統計學研究表明，每年有 5% 的城市人口遷移到郊區（其余 95% 繼續留在城市），有 3% 的郊區人口移居城市（其余 97% 繼續留在郊區），如下圖所示：

城市人口遷移示意圖

這個研究結果，用數學表示就是，第i年的城區人口經過一年后，在城區和郊區的分布為：

第?ii?年的郊區人口經過一年后，在城區和郊區的分布為：

這時（第i+1年），城區人口有來自一年前城區人口的 95%，以及一年前郊區人口的 3%；同樣，郊區人口有來自一年前城區人口的 5%，以及一年前郊區人口的 97%。用向量表示就是，第i+1年的城市人口分布：

也就是每年人口分布是由上一年人口分布左乘一個矩陣（這個矩陣表示線性變換）得到的，我們用?MM?表示這個矩陣，就是：

從這個例子，我們可以發現，當我們假設人口遷移的規律比較簡單時（每一年的人口只與上一年人口有關，且是線性關系），人口的遷移就可以通過線性變換來表示。又由于矩陣可以表示一個線性變換，所以每一年的人口都可看作是上一年人口左乘一個變換矩陣（又叫轉移矩陣）。

二、馬爾可夫鏈

有同學可能已經意識到了，這個例子實際上就是馬爾可夫鏈嘛！對，這個就是馬爾可夫鏈。

（馬爾可夫鏈）為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程。該過程要求具備 “無記憶” 的性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關。

中文維基百科/馬爾可夫鏈zh.wikipedia.org/zh-cn/馬爾可夫鏈

在我們的例子里，城市每一年人口只與上一年人口有關，滿足馬爾可夫性質，所以人口的遷移可以看作是一個馬爾可夫鏈。這個鏈中表示狀態的節點就是xi，節點中的轉換關系就是轉移矩陣?M。

這個例子展示了我們借助線性變換解決幾何之外的問題時的思路：- 首先，在我們將每年的人口建模為一個二維向量xi?的時候，這個實際問題就已經轉換到二維的空間中了。從這個空間的角度來看，每年人口的變化情況，就是二維向量不斷變換的過程。- 由于我們假設人口變化是一個線性變換（比如每年城區人口是上一年城區人口和郊區人口的線性組合），所以這個變換可以用矩陣來描述。- 又因為我們進一步簡化問題，任務每年的變化是穩定的，所以這個線性變換只需要一個矩陣就可以了。

未來關于這個例子還會進一步展開，對馬爾可夫鏈的平穩分布進行更深入的分析。

# 參考文獻

• 線性代數及其應用：第3版/（美）萊（Lay, D.C.）著；沈復興等譯. ——北京：人民郵電出版社，2007.7

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總結

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