圆周率的诞生
在三國兩晉南北朝時代，我國的數學科學已閃爍著耀眼的光芒，出現了歷史上杰出的數學家劉徽和祖沖之。這兩個不朽的人物為我國數學奠定了牢固的基礎。
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先說劉徽，他是三國時代魏國人。關于他的身世和生平事跡，由于資料有限，我們了解得很少。他的活動區域大致在山東半島和江蘇北部一帶。
劉徽
劉徽自幼熟讀《九章算術》，在魏陳留王景元四年(263)前后，為我國古代數學經典著作《九章算術》作注，做了許多創造性的數學理論工作，對我國古代數學體系的形成和發展影響很大，在數學史上占有突出的地位。
《九章算術》體現了中國古代自先秦到東漢以來的數學成就。但當時沒有發明印書的方法。這樣好的書也只能靠筆來抄寫。
在輾轉傳抄的過程中，難免會出現很多的錯誤，加上原書中是以問題集的形式編成，文字過于簡單，對解法的理論也沒有科學的說明。這種狀況明顯地妨礙了數學科學的進一步發展。
劉徽為《九章算術》作注，在很大程度上彌補了這個重大的缺陷。在《九章算術注》中，他精辟地闡明了各種解題方法的道理，提出了簡要的證明，指出個別解法的錯誤。
尤其可貴的是，他還做了許多創造性的工作，提出了不少遠遠超過原著的新理論。可以說，劉徽的數學理論工作為建立具有獨特風格的我國古代數學科學的理論體系，打下了堅實的基礎。
劉徽在《九章算術注》中，最主要的貢獻是創立了“割圓術”，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，開創了圓周率研究的新階段。
圓周率即圓的周長和直徑的比率，它是數學上的一個重要的數據，因此，推算出它的準確數值，在理論上和實踐上都有重要的意義和貢獻。
在世界數學史上，許多國家的數學家都曾經把圓周率作為重要研究課題，為求出它的精確數值作了很大努力。在某種意義上說，一個國家歷史上圓周率精確數值的準確程度，可以衡量這個國家數學的發展情況。
《九章算術》原著中，沿用自古以來的數據，即所謂“徑一周三”取π=3，這是很不精確的。到了后來，三國時期的王蕃(230～266)采用了3.1566，這雖然比“徑一周三”有了進步，但仍不夠精密，而且也沒有理論根據。
怎樣才能算出比較精密的圓周率呢?劉徽苦苦地思索著。
一天，劉徽信步走出門去，去大自然呼吸新鮮的空氣。在他的眼前，群山綿綿不斷地伸展開去，好像數學哲理似的奧妙莫測。
劉徽的思路仿佛進入群山的巍峨中，鑒證著大自然的不可思議的創造。劉徽抬眼望去，遠處一個高聳入云的頂峰上，有一座小小的廟宇，他猜測著，數學的殿堂是不是也和這廟宇一樣，風光而又曲折。
一陣叮叮當當的響聲引起了劉徽的注意，他朝著響聲走去，原來這是座石料加工場。這里的石匠師傅們正把方形的石頭打鑿成圓柱形的柱子。
圓的啟發
劉徽頗感有趣，蹲在石匠師傅的身邊認真地觀看著。只見一塊方石，經石匠師傅砍去四角，就變成一塊八角形的石頭，再去掉八角又變成十六角形，這樣一鑿一斧地干下去，一方形石料加工成光滑的圓柱了。
劉徽恍然大悟，馬上跑回家去，認真地在地上比劃著，原來方和圓是可以互相轉化的。
他把一個圓周分成相等的6段，連接這些分點組成圓內正六邊形，再將每一分弧二等分，又可得到圓內接正12邊形，如此無窮盡地分割下去，就可得到一個與圓完全相合的正“多邊形”。
劉徽由此指出：圓內接正多邊形的面積小于圓面積，但“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”。
這段話包含有初步的極限思想，思路非常明晰，為我國古代的圓周率計算確立了理論基礎。
劉徽使用了這個方法，從圓內接正6邊形算起，邊數依次加倍至正192邊形的面積，得到的圓周率π的近似值是157/50，這相當于π=3.14。
他還繼續計算，直到求出了正3072邊形的面積，進一步得到π的近似值是3927/1250，這相當于π=3.1416。
3.14和3.1416這兩個數據的準確程度比較高，在當時世界上是很先進的數據。
劉徽還明確地概括了正負數的加減法則，提出了多元一次方程組的計算程序，論證了求最大公約數的原理，對最小公倍數的算法也有一定地研究。
這些都是富有創造性的成果，因此可以說，劉徽通過注解《九章算術》，豐富和完善了中國古代的數學科學體系，為后世的數學發展奠立了基礎。
劉徽撰寫的《重差》，原是《九章算術注》的第十卷，后來單獨刊行，被稱為《海島算經》。這是一部說明各種高度或距離的測量和計算方法的著作，即關于幾何測量方面的著作。
有一次，劉徽和朋友們到海邊去散步，劉徽抬眼望去，那是一片偉麗而寧靜的、碧藍無邊的海。它在眼光所及的遠處，與淡藍色的云天相連。
微風愛憐地撫摸著海的綢緞似的胸膛，太陽用自己的熱烈的光線溫暖著它。而海，在這些愛撫的溫柔力量之下睡夢似的喘息著，使沸熱的空氣充滿了蒸發的鹽味。
淡綠的波浪跑到黃沙上來，拋擲著雪白的泡沫，吻著劉徽及朋友們的腳，劉徽心曠神怡，索性坐在沙灘上，讓那微咸的海水潤濕著褲腳。
這時，一個朋友指著茫茫大海中聳立著的一座孤島問道：“誰知道小島有多高?多遠?”另一朋友想了想：“只要準備一只小船和足夠的繩子，我就能量出小島的距離和高度。”
眾人哄地笑了起來，這得需要多少繩子，即使給你繩子，你也量不出小島的距離和高度。因為繩子有伸縮性，而小島有斜坡。再說，這辦法也太笨了。
這時，劉徽在一旁沉默不語，有人請他發表意見。劉徽說：“我根本不需要到小島去，只需兩根竹竿，即可量出它的高和遠。”
朋友們睜大雙眼愣愣地望著劉徽。劉徽見朋友不相信他，便在海灘上畫出圖來，解釋道：“在岸邊垂直豎立兩根一樣長的桿子GH和EF，使它們與小島AB位于同一方向上，然后分別在與兩桿頂E、G與島尖A成一直線的地面C和D點作記號便可以了。”
這樣一來CF、DH、HF、EF的長度我們都可量出來，現在來算出島的距離BF和島的高度AB，劉徽算出的結果是：
AB=EF×HF/DH-CF+EF
BF=CF×HF/DH-CF
具體怎樣計算，我們就不再一一贅述了，讀者如有興趣的話，不妨一試，來證明劉徽的公式。
劉徽在《九章算術注》的自序中說：“事類相類，各有攸歸。故枝條雖分，而同本干者，知發其一端而已。”
劉徽的研究方法和研究成果對我國古代數學的發展產生了非常深刻的影響，為我國數學科學史增添了光輝的一頁。
近年來，劉徽的《九章算術注》和《海島算經》被翻譯成許多國家的文字，向世界顯示了中華民族燦爛的古代文明。
劉徽之后約200年，我國南北朝時期又出現了一位大科學家祖沖之。他認為劉徽采用割圓術只算到正3072邊形就停止了，得出的結果還是不夠準確。
如果能在劉徽3072邊形的基礎上割之又割，作出6144、12288……邊形，不就可以求出更精確的圓周率嗎?
祖沖之
祖沖之不滿足于前人的成就，決定攀登新的高峰。他通過長期刻苦鉆研，在兒子祖暅的協助下，反復測算，終于求得了精確度更高的圓周率。《隋書?律歷志》中記載了他的成就：
“宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽(3.1415927丈)，朒數3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒6忽(3.1515926丈)，正數在盈肭之間。密律：圓徑113，圓周355。約律：圓徑7，周23。”
從上述文字記載來看，祖沖之對圓周率貢獻有三點：
（1）計算出圓周率在3.1415926到3.1415927之間，即3.1415926<π<3.1415927，在世界數學史上第一次把圓周率推算準確到小數點后7位。這在國外直到1000年后，15世紀阿拉伯數學家阿爾?卡西計算到小數16位，才打破祖沖之的紀錄。
（2）祖沖之明確地指出了圓周率的上限和下限，用兩個高準確度的固定數作界限，精確地說明了圓周率的大小范圍，實際上已確定了誤差范圍，這是前所未有的。
（3）祖沖之提出約率20/7和密率355/113。這一密率值是世界上第一次提出，所以有人主張叫它“祖率”。在歐洲，德國人奧托和荷蘭人安托尼茲得到這一結果，已是16世紀了。祖沖之是怎樣得出這一結果的呢?他應該是從圓內接正6邊形、12邊形、24邊形……一直計算到12288邊形和24576邊形，依次求出它們的邊長和面積。
這需要對有9位有效數字的大數進行加減乘除和開方運算，共一百多步，其中近50次的乘方和開方，有效數字達17位之多。
當時，數字運算還沒有用紙、筆和數碼，而是用落后的籌算法。通過縱橫相間的小竹棍來演算，可見祖沖之付出多么艱巨的勞動，需要具備多么嚴肅認真的精神。
祖沖之和他的兒子祖暅還用巧妙的方法解決了球體積的計算問題。在他們之前，《九章算術》中已經正確地解決了圓面積和圓柱體體積的計算問題。
但是在這本書中，關于球體積的計算公式卻是錯誤的。劉徽雖然在《九章算術注》中指出了這個錯誤，但是也未能求出球體積的計算公式。200年后，祖沖之父子繼續劉徽的工作，在我國數學史上第一次導出了正確的球體積公式。值得注意的是，祖暅在推算求證的過程中，得出了“等高處的橫截面積相等，那么二個立體的體積必然相等”的結論。
這個問題在1000年后才由意大利數學家卡瓦列利提出，被人稱為“卡瓦列利定理”，其實我們完全有權利稱它為“祖暅定理”。
祖沖之父子的研究成果匯集在一部名叫《綴術》的著作中，被定為“十部算經”之一。可惜的是，到了宋朝以后，這部偉大的著作就失傳了。
祖沖之的科學成就，在我國以至世界科學技術發展史上，將永遠放射光芒。為了紀念這位偉大的科學家，國際上把月球背面的一個山谷，命名為“祖沖之”，可見世界對祖沖之的敬仰。
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來源：數學吧主，編輯：nhyilin
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—THE END—
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