解題方法提示

小Hi：本周的題目其實就是給定一個字符串S，要求出S的所有不同子串的數目。小Ho你知道如何快速求解么？

小Ho：我們最近在討論后綴自動機，所以肯定是和后綴自動機有關！根據上周學習的SAM的基本概念和性質，SAM的每個狀態st都包含了一部分S的子串，記作substrings(st)，并且(1)對于兩個不同狀態u和v，包含的子串substrings(u) ∩ substrings(v) = ∅; (2)每個子串都恰好被一個狀態包含。所以我們只要構造出來S對應的SAM，再對所有狀態st求Σ(maxlen(st)-minlen(st))就是子串的數目。

小Hi：沒錯。上周我們提到SAM有O(length(S))的構造法。這周我們就來講一講如何構造。

小Hi：首先，為了實現O(length(S))的構造，我們對于每個狀態不能保存太多數據。例如substring(st)肯定是沒法保存下來了。對于狀態st我們只保存如下數據：

小Hi：其次，我們用增量法構造S對應的SAM。我們從初始狀態開始，每次添加一個字符S[1], S[2], ... S[N]，依次構造可以識別S[1], S[1..2], S[1..3], ... S[1..N]=S的SAM。

小Hi：假設我們已經構造好了S[1..i]的SAM。這時我們要添加字符S[i+1]，于是我們新增了i+1個S[i+1]的后綴要識別：S[1..i+1], S[2..i+1], ... S[i..i+1], S[i+1]。 考慮到這些新增狀態分別是從S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)通過字符S[i+1]轉移過來的，所以我們還要對S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)對應的狀態們增加相應的轉移。

小Hi：我們假設S[1..i]對應的狀態是u，等價于S[1..i]∈ substrings(u)。根據上周的討論我們知道S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)對應的狀態們恰好就是從u到初始狀態S的由Suffix Link連接起來路徑上的所有狀態，不妨稱這條路徑(上所有狀態集合)是suffix-path(u->S)。

小Hi：顯然至少S[1..i+1]這個子串不能被以前的SAM識別，所以我們至少需要添加一個狀態z，z至少包含S[1..i+1]這個子串。

小Hi：首先考慮一種最簡單的情況：對于suffix-path(u->S)的任意狀態v，都有trans[v][S[i+1]]=NULL。這時我們只要令trans[v][S[i+1]]=z，并且令slink[st]=S即可。

小Hi：例如我們已經得到"aa"的SAM，現在希望構造"aab"的SAM。如下圖所示：

小Hi：此時u=2，z=3，suffix-path(u->S)是桔色狀態組成的路徑2-1-S。并且這3個狀態都沒有對應字符b的轉移。所以我們只要添加紅色轉移trans[2][b]=trans[1][b]=trans[S][b]=z即可。當然也不要忘了slink[3]=S。

小Ho：那要是suffix-path(u->S)上有一個節點v，使得trans[v][S[i+1]]!=NULL怎么辦？

小Hi：好問題。我們以下圖為例，假設我們已經構造"aabb"的SAM如圖，現在我們要增加一個字符a構造"aabba"的SAM。

小Hi：這時u=4，z=6，suffix-path(u->S)是桔色狀態組成的路徑4-5-S。對于狀態4和狀態5，由于它們都沒有對應字符a的轉移，所以我們只要添加紅色轉移trans[4][a]=trans[5][a]=z=6即可。面對S時我們遇到了小Ho你提出的問題，trans[S][a]=1已經存在，怎么辦？

小Ho：怎么辦呢？

小Hi：不失一般性，我們可以認為在suffix-path(u->S)遇到的第一個狀態v滿足trans[v][S[i+1]]=x。這時我們需要討論x包含的子串的情況。如果x中包含的最長子串就是v中包含的最長子串接上字符S[i+1]，等價于maxlen(v)+1=maxlen(x)，比如在上面的例子里，v=S, x=1，longest(v)是空串，longest(1)="a"就是longest(v)+'a'。這種情況比較簡單，我們只要增加slink[z]=x即可。

小Hi：如果x中包含的最長子串 不是 v中包含的最長子串接上字符S[i+1]，等價于maxlen(v)+1 < maxlen(x)，這種情況最為復雜，不失一般性，我們用下圖表示這種情況，這時增加的字符是c，狀態是z。

小Hi：在suffix-path(u->S)這條路徑上，從u開始有一部分連續的狀態滿足trans[u..][c]=NULL，對于這部分狀態我們只需增加trans[u..][c]=z。緊接著有一部分連續的狀態v..w滿足trans[v..w][c]=x，并且longest(v)+c不等于longest(x)。這時我們需要從x拆分出新的狀態y，并且把原來x中長度小于等于longest(v)+c的子串分給y，其余字串留給x。同時令trans[v..w][c]=y，slink[y]=slink[x], slink[x]=slink[z]=y。

小Ho：好像比較復雜。

小Hi：我們來舉個例子。假設我們已經構造"aab"的SAM如圖，現在我們要增加一個字符b構造"aabb"的SAM。

小Hi：當我們處理在suffix-path(u->S)上的狀態S時，遇到trans[S][b]=3。并且longest(3)="aab"，longest(S)+'b'="b"，兩者不相等。其實不相等意味增加了新字符后endpos("aab")已經不等于endpos("b")，勢必這兩個子串不能同屬一個狀態3。這時我們就要從3中新拆分出一個狀態5，把"b"及其后綴分給5，其余的子串留給3。同時令trans[S][c]=5, slink[5]=slink[3]=S, slink[3]=slink[6]=5。

小Hi：整個過程的代碼如下，其中狀態0代表初始狀態S；狀態u, v, x, y, z的意義如上文所述；-1代表slink或者trans不存在。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define MAXL 1000000

#define MAXC 26

char s[MAXL+10];//文本串

int len/*文本串長度*/;

struct SAM{

	int n/*狀態數0~n-1*/,maxlen[2*MAXL+10],minlen[2*MAXL+10],trans[2*MAXL+10][MAXC],slink[2*MAXL+10];

	int new_state(int _maxlen,int _minlen,int _trans[],int _slink){

		maxlen[n]=_maxlen;

		minlen[n]=_minlen;

		for(int i=0;i<MAXC;++i){

			if(_trans==NULL){

				trans[n][i]=-1;

			}

			else{

				trans[n][i]=_trans[i];

			}

		}

		slink[n]=_slink;

		return n++;

	}

	int add_char(char ch,int u,int pos){

		if(u==-1){

			return new_state(0,0,NULL,-1);

		}

		int c=ch-'a';

		int z=new_state(maxlen[u]+1,-1,NULL,-1);

		int v=u;

		while(v!=-1 && trans[v][c]==-1){

			trans[v][c]=z;

			v=slink[v];

		}

		if(v==-1){//最簡單的情況，suffix-path(u->S)上都沒有對應字符ch的轉移

			minlen[z]=1;

			slink[z]=0;

			return z;

		}

		int x=trans[v][c];

		if(maxlen[v]+1==maxlen[x]){//較簡單的情況，不用拆分x

			minlen[z]=maxlen[x]+1;

			slink[z]=x;

			return z;

		}

		int y=new_state(maxlen[v]+1,-1,trans[x],slink[x]);//最復雜的情況，拆分x

		slink[y]=slink[x];

		minlen[x]=maxlen[y]+1;

		slink[x]=y;

		minlen[z]=maxlen[y]+1;

		slink[z]=y;

		int w=v;

		while(w!=-1 && trans[w][c]==x){

			trans[w][c]=y;

			w=slink[w];

		}

		minlen[y]=maxlen[slink[y]]+1;

		return z;

	}

}sam;

int m;

ll ans;

int main(){

//	freopen("hihocoder1445.in","r",stdin);

//	freopen("hihocoder1445.out","w",stdout);

	char T[MAXL+10];

	scanf("%s",s);

	len=strlen(s);

	int U=sam.add_char(0,-1,0);

	for(int i=0;i<len;++i){

		U=sam.add_char(s[i],U,i);

	}

	for(int i=1;i<sam.n;++i){

		ans+=(ll)(sam.maxlen[i]-sam.minlen[i]+1);

	}

	cout<<ans<<endl;

	return 0;

}