一、差分運(yùn)算

p階差分：前后兩期序列進(jìn)行一次差分—-1階差分；對1階差分后的序列再進(jìn)行1階差分—2階差分；……對一個(gè)序列進(jìn)行p次1階差分—-p階差分。
k步差分：相距 k 期的兩個(gè)序列之間相減

利用函數(shù) diff( ) 可進(jìn)行差分運(yùn)算

diff(x,lag= ,differences= ),lag指定步長（默認(rèn)1），后一個(gè)參數(shù)指定階數(shù)（默認(rèn)1）

那如何避免過差分呢？
過差分會導(dǎo)致信息損失過多，估計(jì)精度低
可以根據(jù)實(shí)際情況選擇p、k
1、對于有明顯的線性趨勢序列，1階差分就可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)
2、有明顯曲線趨勢—2~3階差分即可實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)
3、有固定周期的序列，需要進(jìn)行步長=周期的差分
4、既有線性趨勢又有周期的序列，需要做1階差分提取趨勢，再做步長=周期的差分提取周期

二、ARIMA模型

差分運(yùn)算與ARMA的結(jié)合—-對差分運(yùn)算后平穩(wěn)的序列擬合ARMA模型

ARIMA（p,d,q）:

???????????Φ(B)▽dxt=Θ(B)εtE(εt)=0,Var(εt)=σ2ε,E(εtεs)=0,s≠tE(xsεt)=0,?s<t{Φ(B)▽dxt=Θ(B)εtE(εt)=0,Var(εt)=σε2,E(εtεs)=0,s≠tE(xsεt)=0,?s<t
當(dāng)d=1,p=q=0時(shí)為隨機(jī)游走模型

性質(zhì)：

{平穩(wěn)性：當(dāng)d≠0時(shí)，不平穩(wěn)方差齊性{平穩(wěn)性：當(dāng)d≠0時(shí)，不平穩(wěn)方差齊性

建模：

對差分后平穩(wěn)的序列先進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若未通過則擬合ARMA模型

利用函數(shù) arima( ) 擬合

預(yù)測：

與ARMA模型預(yù)測方法類似

疏系數(shù)模型：

原 ARIMA（p,d,q）模型中的部分自相關(guān)系數(shù) or 移動平均部分系數(shù)缺省

利用函數(shù) arima( ) 擬合

arima(x ,order= ,include.mean= ,method= ,transform.pars= ,fixed= ) #order:order=c(p,d,q) #method:=“CSS-ML”為條件最小二乘與ML估計(jì)混合,默認(rèn)；=“ML”為ML；=“CSS”為條件最小二乘 #transform.pars:=T系統(tǒng)根據(jù)order=c(p,d,q)設(shè)置的值自動完成參數(shù)估計(jì)，默認(rèn)；=F擬合疏系數(shù)模型，不能讓系統(tǒng)根據(jù)模型的最高階數(shù)自動完成參數(shù)估計(jì) #fixed：對疏系數(shù)模型指定疏系數(shù)位置 c<-read.table("D:\\Backup\\桌面\\R\\時(shí)間序列分析--基于R\\data\\file18.csv",",",header = T) x<-ts(c$fertility,start = 1917) par(mfrow=c(2,2)) plot(x,lwd=3,col="blue",main="時(shí)序圖") #一階差分圖 plot(diff(x),main="一階差分圖",lwd=3,col="blue") acf(diff(x),lwd=2) pacf(diff(x),lwd=2)

從時(shí)序圖可見序列不平穩(wěn)，進(jìn)行一階差分后序列平穩(wěn)，從自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖可見均有截尾特征，可以擬合多個(gè)模型選取最優(yōu)模型，在此擬合疏系數(shù)模型。從自相關(guān)系數(shù)來看，2、3階=0，1、4不為0,構(gòu)造1階差分后AR（4）模型。

x.fit=arima(x,order = c(4,1,0),transform.pars = F,fixed = c(NA,0,0,NA)) x.fit #結(jié)果如下： Call: arima(x = x, order = c(4, 1, 0), transform.pars = F, fixed = c(NA, 0, 0, NA))Coefficients:ar1 ar2 ar3 ar40.2583 0 0 0.3408 s.e. 0.1159 0 0 0.1225sigma^2 estimated as 118.2: log likelihood = -221, aic = 448.01

白噪聲檢驗(yàn)

for(i in 1:2) print(Box.test(x.fit$residuals,lag = 6*i)) #結(jié)果如下： Box-Pierce testdata: x.fit$residuals X-squared = 4.0909, df = 6, p-value = 0.6644Box-Pierce testdata: x.fit$residuals X-squared = 5.3742, df = 12, p-value = 0.9443

p值大于0.05，所以可認(rèn)為殘差序列不是白噪聲序列

預(yù)測

for(i in 1:2) print(Box.test(x.fit$residuals,lag = 6*i)) x.fore<-forecast(x.fit,h=5) x.fore plot(x.fore,lwd=2.5,col="red")

季節(jié)模型：

簡單季節(jié)模型（即加法模型）–簡單的周期步長差分即可提取序列的相關(guān)信息
乘積季節(jié)模型：趨勢效應(yīng)、季節(jié)效應(yīng)、隨機(jī)波動之間存在相互影響

arima(x ,order= ,include.mean= ,method= ,seasonal=,transform.pars= ,fixed= ) #seasonal:=list(order=c(P,D,Q),period= ),P=0,Q=0加法模型；P、Q不全為0乘法模型 c<-read.table("D:\\Backup\\桌面\\R\\時(shí)間序列分析--基于R\\data\\file20.csv",",",header = T) x<-ts(c$unemployment_rate,start = c(1948,1),frequency = 12) par(mfrow=c(2,2)) plot(x) x.diff<-diff(diff(x),12) plot(x.diff) acf(x.diff) pacf(x.diff)

三、殘差自回歸模型

在ARIMA中，利用差分對確定性信息的提取比較充分，但是很難對模型進(jìn)行直觀解釋。所以提出殘差自回歸模型，它的思想就是先對序列中的確定性信息提取，擬合相應(yīng)的模型，再對模型的殘差進(jìn)自相關(guān)性檢驗(yàn)，若殘差存在自相關(guān)性那么再對殘差擬合自回歸模型。

殘差的自相關(guān)檢驗(yàn)：
DW檢驗(yàn)要求自變量獨(dú)立，所以在延遲因變量場合不適合用，需要用Durbin t和Durbin h統(tǒng)計(jì)量。

dw(fit,order.by= ) fit：模型 order.by:指定延遲因變量。進(jìn)行DW檢驗(yàn)時(shí)，不需要order.by

殘差的自回歸模型擬合
步驟與命令同ARIMA

四、異方差的性質(zhì)

通過觀察殘差平方圖看是否存在異方差。如果殘差的方差在某個(gè)值附近隨機(jī)波動則不存在異方差
存在異方差時(shí)，如何處理？
1、若已知異方差函數(shù)形式，則進(jìn)行方差齊性變換（如對數(shù)變換）
2、否則擬合條件異方差模型

五、方差齊性變換

例如：美國短期國庫券的月度收益率序列

d<-read.table("D:\\Backup\\桌面\\R\\時(shí)間序列分析--基于R\\data\\file21.csv",",",header = T) x<-ts(d$yield_rate,start=c(1963,4),frequency = 12) par(mfrow=c(2,2)) plot(x,main="序列值") plot((diff(x))^2,main="差分后殘差平方")

可見，1階差分后殘差序列的均值平穩(wěn)但是方差有遞增趨勢，從殘差的平方來看有異方差特性
下面進(jìn)行對數(shù)變換

lnx<-log(x) plot(lnx,main="對數(shù)序列") plot(diff(lnx),main="對數(shù)序列進(jìn)行一階差分") #殘差白噪聲檢驗(yàn) for(i in 1:2) print(Box.test(diff(lnx),lag = 6*i)) #白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果： Box-Pierce testdata: diff(lnx) X-squared = 3.4118, df = 6, p-value = 0.7557Box-Pierce testdata: diff(lnx) X-squared = 9.8323, df = 12, p-value = 0.6307

可見，對序列進(jìn)行對數(shù)變換之后，殘差序列顯示平穩(wěn)，也通過白噪聲檢驗(yàn)，說明殘差具有同方差性。

六、條件異方差模型

ARCH模型

利用歷史信息，得到條件方差信息

Var(εt|εt?1,εt?2,…)=E(ε2t|εt?1,εt?2,…)=ω+∑j=1qλjε2t?jVar(εt|εt?1,εt?2,…)=E(εt2|εt?1,εt?2,…)=ω+∑j=1qλjεt?j2

集群效應(yīng)：金融領(lǐng)域，有很多序列在大部分時(shí)間段都是平穩(wěn)的，但是在某一時(shí)期，序列波動較大

ARCH模型：自回歸條件異方差模型。用自回歸的方法提取殘差平方序列中的相關(guān)信息。ARIMA、殘差自回歸、確定性因素分解模型的區(qū)別是關(guān)注序列的水平擬合，而ARCH模型關(guān)注序列的波動擬合。

所以在分析一個(gè)序列時(shí)，應(yīng)該關(guān)注水平和波動2個(gè)方面：

先提取序列的水平相關(guān)信息

分析殘差序列中的波動信息

1、2綜合起來

擬合ARCH模型之前先進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)，要求殘差序列具有異方差性且這種異方差性是由某種自相關(guān)關(guān)系引起的。
ARCH檢驗(yàn)：

{PortmanteauQ檢驗(yàn)：殘差平方序列的自相關(guān)性檢驗(yàn)。用函數(shù)Box.test()函數(shù)即可LM檢驗(yàn)：需要加載FinTS包，但現(xiàn)在R中已沒有這個(gè)包{PortmanteauQ檢驗(yàn)：殘差平方序列的自相關(guān)性檢驗(yàn)。用函數(shù)Box.test()函數(shù)即可LM檢驗(yàn)：需要加載FinTS包，但現(xiàn)在R中已沒有這個(gè)包
利用函數(shù)garch( )擬合ARCH模型

garch(x,order= ) #order:=c(0,q)，擬合ARCH（q）模型=c(p,q)，擬合GARCH（p,q）模型

例如：在下面這個(gè)例子中，從時(shí)序圖來看，序列沒有顯示非平穩(wěn)特征，但某些時(shí)期波動較大，而且從方差（x^2,因?yàn)榫悼醋鍪?）來看，某些時(shí)期的方差大于期望方差，所以存在集群效應(yīng)，認(rèn)為序列是異方差序列

x<-ts(d$returns,start = c(1926,1),frequency = 12) par(mfrow=c(2,1)) plot(x) plot(x^2)

進(jìn)行殘差平方的自相關(guān)性檢驗(yàn)：

for(i in 1:5) print(Box.test(x^2,lag=i)) #結(jié)果： Box-Pierce testdata: x^2 X-squared = 55.545, df = 1, p-value = 9.137e-14Box-Pierce testdata: x^2 X-squared = 85.09, df = 2, p-value < 2.2e-16Box-Pierce testdata: x^2 X-squared = 126.06, df = 3, p-value < 2.2e-16Box-Pierce testdata: x^2 X-squared = 138.74, df = 4, p-value < 2.2e-16Box-Pierce testdata: x^2 X-squared = 141.9, df = 5, p-value < 2.2e-16

可見殘差平方序列存在自相關(guān)性
對序列擬合ARCH模型

library("tseries") x.fit<-garch(x,order=c(0,3)) summary(x.fit) #結(jié)果： Call: garch(x = x, order = c(0, 3))Model: GARCH(0,3)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -6.2420 -0.3985 0.1671 0.7501 4.4193 Coefficient(s): Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) a0 1.437e-03 6.903e-05 20.809 < 2e-16 *** a1 7.954e-02 2.821e-02 2.820 0.0048 ** a2 2.231e-01 2.587e-02 8.624 < 2e-16 *** a3 2.732e-01 4.384e-02 6.232 4.61e-10 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Diagnostic Tests: Jarque Bera Testdata: Residuals X-squared = 585.27, df = 2, p-value < 2.2e-16 Box-Ljung testdata: Squared.Residuals X-squared = 8.8831e-06, df = 1, p-value = 0.9976

可見ARCH（3）模型顯著，各參數(shù)也顯著,得到模型：

E(ε2t|εt?1,εt?2,…)=0.001473+0.07954ε2t?1+0.2231ε2t?2+0.2732ε2t?3E(εt2|εt?1,εt?2,…)=0.001473+0.07954εt?12+0.2231εt?22+0.2732εt?32

GARCH模型

ARCH缺陷：因?yàn)樗怯脷埐钇椒叫蛄械膓階移動平均擬合當(dāng)期異方差函數(shù)，因?yàn)橐苿悠骄Ｐ途哂衠階截尾，所以只適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程。

GARCH：適用于異方差長期自相關(guān)

在ARCH基礎(chǔ)上，考慮了異方差函數(shù)的p階自相關(guān)性。ARCH是GARCH的特例。

分析步驟：
當(dāng)確定性信息擬合模型不能充分提取序列的信息時(shí)，殘差{εtεt}可能具有自相關(guān)性，此時(shí)先對序列εtεt擬合自回歸模型，再看該模型的殘差序列{vtvt}是否具有異方差性，若是則對它擬合GARCH模型。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的非平稳序列的随机分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。