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抽象代数学习笔记二《群：群的例子》

發布時間：2024/8/1 编程问答 36 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了抽象代数学习笔记二《群：群的例子》小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

抽象代數學習筆記二《群：群的例子》

學習筆記參考：《近世代數初步》第2版高等教育出版社——石生明編著
注：本篇筆記根據博主個人數學的掌握情況整理

課后習題
1、平面取定坐標系 $O x y$ ，則平面仿射（點）變換 $φ:(x,y)T?(x′,y′)T\varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^T$ （這里 $T$ 表示矩陣的轉置， $x,y)^T$ 是一列的矩陣，即列向量）可寫為： ${x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2\left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right.$ 其中行列式： $∣a11a12a21a22∣≠0\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \neq 0$ 證明平面上全體仿射變換對于變換的乘法成一個群，稱為平面的仿射變換群。
2、平面上取定直角坐標系 $O x y$ ，任意平面正交（點）變換 $φ:(x,y)T?(x′,y′)T\varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^T$ 可寫為： ${x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2\left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right.$ 其中矩陣： $(a11a12a21a22)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix}$ 是正交矩陣。用這種表示式證明平面上全體正交變換對于變換的乘法成為一個群，它是平面的正交變換群。
3、設 $G$ 是一個幺半群。若 $G$ 的每個元 $a$ 有右逆元，即有 $b∈Gb\in G$ ，使 $a b = e$ ，則 $G$ 是一個群。
4、設 $G$ 是一個群。若 $?\forall$ $\in G$ 皆有 $ab)^2=a^2b^2$ ，則 $G$ 是交換群。
5、設 $G$ 是非空的有限集合， $G$ 上的乘法滿足： $?\forall$ $\in G$ 有：
（1） $(a b) c = a (b c)$
（2） $ab=ac?b=cab=ac\Rightarrow b=c$
（3） $ac=bc?a=bac=bc\Rightarrow a=b$
則 $G$ 是群。
6、證明任一個群 $G$ 不能是兩個不等于 $G$ 的子群的并集。
7、令： $ρ=(123456654321)\rho=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$ $σ=(123456231564)\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix}$ $τ=(123456621354)\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \\ \end{pmatrix}$ 計算 $ρσ\rho\sigma$ ， $στ\sigma\tau$ ， $τρ\tau\rho$ ， $σ?1\sigma^{-1}$ ， $σρσ?1\sigma\rho\sigma^{-1}$ 。
8、設： $σ=(12?nσ(1)σ(2)?σ(n))\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix}$ $τ=(12?nτ(1)τ(2)?τ(n))\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ \end{pmatrix}$ 問： $σ=(τ(1)τ(2)?τ(n)????)\sigma=\begin{pmatrix} \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix}$ $τ?1=(????i1i2?in)\tau^{-1}=\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\ \end{pmatrix}$ $τστ?1=(σ(1)σ(2)?σ(n)????)(12?nσ(1)σ(2)?σ(n))(????12?n)=?\tau\sigma\tau^{-1}=\begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ \end{pmatrix}=?$ 9、確定置換 $σ=(12?n?1nnn?1?21)\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$ 的奇偶性。
10、把 $(147)(7810)(3109)(942)(356)(1\ 4\ 7)(7\ 8\ 10)(3\ 10\ 9)(9\ 4\ 2)(3\ 5\ 6)$ 分解成不相交的輪換的乘積。

參考答案如下：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记二《群：群的例子》的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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