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【离散数学】图论第七章(6) 图的结点着色和Welch Powell法、平面图着色、希伍德五色定理、四色定理

發布時間：2024/8/1 编程问答 45 豆豆

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本文屬于「離散數學」系列文章之一。這一系列著重于離散數學的學習和應用。由于內容隨時可能發生更新變動，歡迎關注和收藏離散數學系列文章匯總目錄一文以作備忘。此外，在本系列學習文章中，為了透徹理解數學知識，本人參考了諸多博客、教程、文檔、書籍等資料。以下是本文的不完全參考目錄，在后續學習中還會逐漸補充：

（國外經典教材）離散數學及其應用第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇義譯，機械工業出版社
離散數學第二版，武波等編著，西安電子科技大學出版社，2006年

文章目錄

7.6 圖的著色
- 7.6.1 圖的結點著色
- 7.6.2 平面圖的著色

7.6 圖的著色

與平面圖密切相關的一個重要問題是圖的著色問題：

歷史簡介：

1852年，英國大學生格思里 Guthrie 通過觀察地圖著色，提出了四色猜想，即僅用四種顏色就能對地圖著色、使得相鄰國家著色不同。
1879年，肯普 Kemple 發表了一篇論文，宣稱自己完成了四色猜想成立的證明?？掀盏淖C明方法很巧妙，人們普遍相信此問題已圓滿解決。
1890年，希伍德 Heawood 發現肯普的證明是錯誤的，但借用肯普的技巧證明了五色定理。
此后的幾十年時間里，雖然不少人在四色猜想上耗費了大量精力，但依然一無所獲。
直到1976年，美國伊利諾伊大學的肯尼斯·阿佩爾 Kenneth Appel 和沃爾夫岡·哈肯 Wolfgang Haken 給出了四色猜想為真的機器證明，該證明過程在計算機上運行了1200多個機時，完成了一百多億次邏輯判斷。

圖的著色分為結點著色和邊著色兩種，下面僅介紹關于圖的結點著色的概念和基本理論。

7.6.1 圖的結點著色

定義6.1.1 設 $\lang V, E\rang$ 是無向圖，給圖 $G$ 中的每個結點指定一種顏色，若滿足兩個鄰接的結點著色不同，則稱為圖 $G$ 的結點正常著色 proper coloring 。如果可以用 $k$ 種不同的顏色給圖 $G$ 的結點正常著色，則稱 $G$ 是結點可 $k$ -著色的 k-colorable 。對圖的結點正常著色所需要的最少的顏色數，稱為 $G$ 的頂著色數，簡稱為色數 chromatic number ，記為 $χ(G)\chi (G)$ 。色數為 $k$ 的圖稱為 $k$ 色圖。

用韋爾奇·鮑威爾 Welch Powell 法，可對任意圖 $G$ 的結點進行正常著色，該方法的步驟如下：

將圖 $G$ 中的結點按度數遞減的次序進行排列。當然，如果有相同度數的點，這種排列是不唯一的，但不影響算法的最終結果。

用一種與已著色結點所著顏色不同的、新的顏色

C

，對排列最靠前的、尚未著色的結點著色。再按排列次序，對與前面已著上顏色 $C$ 的結點均不鄰接的每一結點，著同樣的顏色

C

。

反復重復步驟2，直到所有結點全部著色為止。

【例1】分別對圖7.6.1所示的圖 $G$ 和 $H$ 中的結點進行正常著色。

解：（1）用韋爾奇-鮑威爾法對 $G$ 進行著色，整個過程如圖7.6.2所示。
首先將 $G$ 中結點按照度數由大到小排序，得到序列 ${ b, c, d, e, f, a, g\}$ 。然后，將結點 $b$ 著上紅色，并且將與 $b$ 不鄰接的結點 $f$ 也著上紅色，注意 $g$ 與 $b$ 不鄰接、但與 $f$ 鄰接， $f$ 已著上紅色，所以 $g$ 不能著上紅色；其次，將結點 $c$ 著上黃色，并將與 $c$ 不鄰接的 $e$ 著上黃色；接下來，將結點 $d$ 著上藍色，并將與 $d$ 不鄰接的 $a$ 著上藍色， $g$ 與 $d$ 和 $a$ 均不鄰接，因此它也可以著上藍色。這樣，整個著色過程就結束了， $G$ 是可 $3$ -著色的。

（2）對于圖 $H$ 可用與 $G$ 同樣的著色過程，只是在對結點 $g$ 著色時，因為 $g$ 與 $a$ 鄰接，所以它不能著藍色，必須使用一種新的顏色對其著色，因此 $H$ 是可 $4$ -著色的。

利用圖的色數可以解決很多現實問題，例如，學校期末考試安排各門課程的考試時間時，不能把同一位學生選修的兩門課，安排在同一個時間考試。我們可將每門課程抽象為一個結點，如果兩門課程有同一個學生選修，則在這兩個結點間連上一條邊，構成圖 $G$ 。如果 $G$ 的色數為 $k$ ，那么相同顏色的課程可以在同一時間開考，所需考試的最小次數即為 $k$ 。不難發現，考試次數的上界是「學生選修的最多課程數+1」。

定理7.6.1 任何圖 $\langle V, E\rangle$ 均滿足 $χ(G)≤Δ(G)+1,Δ(G)=max?{deg(u)∣u∈V}\chi(G) \le \Delta(G) + 1,\ \Delta(G) = \max \{ deg(u) \mid u\in V\}$ 。
定理7.6.2 無向圖 $G$ 的色數 $χ(G)=2\chi(G) = 2$ ，當且僅當 $G$ 是一個二部圖。
以上定理的證明留作練習。

7.6.2 平面圖的著色

地圖著色問題，實質上就是對一個平面圖中的面進行著色，它可以通過對偶圖轉換為與之等價的、平面圖的結點著色問題。

定義7.6.2 設 $\langle V, E\rangle$ 是平面圖， $G^{'}$ 是 $G$ 的一個平面嵌入， $F (G^{'})$ 是 $G^{'}$ 的面集合。構造圖 $G^*$ ，若 $G^*$ 的結點集合 $V(G^*) = F(G')$ ，且任取兩個結點 $f1,f2∈V(G?)f_1,\ f_2 \in V(G^*)$ ， $f_1$ 和 $f_2$ 之間存在邊 $e$ 當且僅當 $f_1$ 和 $f_2$ 在 $G^{'}$ 中有一條公共邊，則稱 $G^*$ 是 $G$ 的對偶圖。

求平面圖 $G$ 的一個平面嵌入 $G^{'}$ 所對應的對偶圖 $G^*$ 的一般步驟如下：
（1）對于圖 $G$ 的每個面 $r_i$ ，在 $r_i$ 的內部作一個結點 $vi?∈V(G?)v_i^* \in V(G^*)$ ；
（2）對于任何兩個面 $r_i,\ r_j$ 的每一條公共邊界 $e_k$ ，都作一條與 $e_k$ 相交的邊 $ek?={vi?,vj?}∈E(G?)e^*_k = \{ v_i^*,\ v_j^*\} \in E(G^*)$ ；
（3）當 $e_k$ 僅是面 $r_i$ 的邊界時，給 $v_i^*$ 作一條與 $e_k$ 相交的自回路 $ek?={vi?,vi?}∈E(G?)e^*_k = \{ v_i^*,\ v_i^*\} \in E(G^*)$ 。

圖7.6.3給出了由圖 $G$ 構造其對偶圖 $G^*$ 的一個實例，其中，圖 $G$ 的結點和邊分別用 $°\circ$ 和實線表示，而它的對偶圖 $G^*$ 的結點和邊分別用 $?\bullet$ 和虛線表示：

由對偶圖的定義可知，一個連通平面圖 $G$ 的對偶圖 $G^*$ 也是平面圖， $G^*$ 的對偶圖是 $G$ ，并且一個平面圖的不同平面嵌入，可能得到不同的對偶圖。

1890年，希伍德就證明了，任何連通簡單平面圖都是可 $5$ -著色的。下面給出其證明過程——定理7.6.3和定理7.6.4。

定理7.6.3 設 $\langle V, E\rangle$ 是一個連通簡單平面圖，且 $\ge 3,\ |E| = m$ ，則 $G$ 中必存在結點 $\in V$ ，滿足 $\le 5$ 。
證明假設 $G$ 中所有結點的度均大于等于 $6$ 。因為 $∑vi∈Vdeg(vi)=2m\displaystyle \sum_{v_i \in V} deg(v_i) = 2m$ ，故 $\ge 6|V|$ ，所以 $\ge 3|V| > 3|V| - 6$ 。這與定理7.5.3的結論矛盾。因此， $G$ 中必存在結點 $\in V$ ，滿足 $\le 5$ 。

定理7.6.4（希伍德五色定理）任一連通簡單平面圖 $\langle V, E\rangle$ 都是可 $5$ -著色的。
證明對圖 $G$ 中的結點數進行歸納。
（1）當 $\le 5$ 時，結論顯然成立。
（2）假設當 $∣ V ∣ = k$ 時結論成立， $\ge 5$ 。
（3）考察 $∣ V ∣ = k + 1$ 時的情況。由引理知， $G$ 中必然存在結點 $\in V$ ，滿足 $\le 5$ 。將結點 $u$ 從圖中刪去得到圖 $G ? u$ 。由歸納假設知， $G ? u$ 可用 $5$ 種顏色正常著色。現將 $u$ 放回從而恢復原圖 $G$ ，分情況討論：
① $d e g (u) < 5$ ，或 $d e g (u) = 5$ 但與 $u$ 鄰接的 $5$ 個結點所著顏色的數目小于 $5$ ，則在 $G ? u$ 所用 $5$ 種顏色中，只要選擇一種 $u$ 所鄰接的結點未著的顏色進行著色即可；
② $d e g (u) = 5$ ，且與 $u$ 相鄰的 $5$ 個結點著了 $5$ 種不同的顏色。不妨設使用紅色、黃色、藍色、白色、黑色這五種顏色，對圖進行著色，如圖7.6.4所示：

約定圖 $G ? u$ 中所有著紅色或黃色的結點集為紅黃集， $G ? u$ 中所有著黑色或白色的結點集為黑白集，有以下兩種情況：

$v_1, v_3$ 屬于紅黃集導出的、 $G$ 的子圖的、兩個不同的連通分支。如圖7.6.5所示，將 $v_1$ 所在分圖中的紅、黃色對調，并不影響 $G ? u$ 的著色；再將結點 $u$ 著上紅色，即可對圖 $G$ 進行正常著色，如圖7.6.6所示：
$v_1, v_3$ 屬于紅黃集導出的、 $G$ 的子圖的、同一個連通分支，則 $v_1, v_3$ 之間必有一條由紅黃集中結點構成的路 $P$ ，它加上 $u$ 可構成一個回路 $C (u, P, u)$ 。由于 $G$ 是平面圖，因此，回路 $C$ 會將黑白集分成兩個子集，一個在 $C$ 內，另一個在 $C$ 外，如圖7.6.7所示。這樣，黑白集導出的子圖至少有兩個分圖，從而將問題轉換為上一類問題——將 $v_2$ 所在分圖中的黑白色對調，并不影響 $G ? u$ 的著色；然后將結點 $u$ 著上白色，即可對圖 $G$ 進行正常著色。

定理7.6.5（四色定理）平面圖的色數不超過 $4$ 。
關于該定理的證明，可參考相關文獻。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【离散数学】图论第七章(6) 图的结点着色和Welch Powell法、平面图着色、希伍德五色定理、四色定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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