[滑模控制器淺述] （1） 二階系統(tǒng)的簡單滑模控制器設(shè)計(jì)

• [滑模控制器淺述] （1） 二階系統(tǒng)的簡單滑模控制器設(shè)計(jì)
• • 1 前言
  • 2 無人機(jī)位置環(huán)的滑模控制器設(shè)計(jì)

[滑模控制器淺述] （1） 二階系統(tǒng)的簡單滑模控制器設(shè)計(jì)

本博客需要一些現(xiàn)代控制理論中Lyapunov穩(wěn)定性的一些理論知識(shí)。
關(guān)于滑模控制的原理這里將不再贅述，讀者們可以參考別的理論文獻(xiàn)，會(huì)有很長的故事，這里將主要從數(shù)學(xué)和穩(wěn)定性的角度，利用筆者淺薄的知識(shí)，為各位讀者最通俗易懂的淺述滑模控制器的簡單設(shè)計(jì)。
這將會(huì)是一個(gè)系列博客（如果筆者不咕咕咕），后面還會(huì)對滑模控制的抗干擾原理介紹，以及介紹幾種筆者用過的近年來改良的滑模控制器。
[滑模控制器淺述] （2） 滑模控制抗干擾原理
[滑模控制器淺述] （3） 滑模控制抗系統(tǒng)參數(shù)不定原理
[滑模控制器淺述] （4） Terminal滑模簡述及其與普通滑模收斂速度比較
[滑模控制器淺述] （5） 基于分層滑模的吊車控制

1 前言

本文將針對二階系統(tǒng)，即輸入直接改變目標(biāo)的加速度（被控量的二階導(dǎo)數(shù)），控制目標(biāo)是位置狀態(tài)的跟蹤，如果你沒有一個(gè)合適的研究對象，可以選取多旋翼無人機(jī)，筆者的前文對其有較為詳細(xì)的介紹，本文將以無人機(jī)的位置控制為例，控制器設(shè)計(jì)的方法同樣可以推廣到別的系統(tǒng)上去：
MATLAB Simmechanics/Simscope四旋翼無人機(jī)控制仿真（3） 無人機(jī)控制器設(shè)計(jì)（非PID）

2 無人機(jī)位置環(huán)的滑模控制器設(shè)計(jì)

關(guān)于無人機(jī)的數(shù)學(xué)模型和控制原理邏輯可以參考前面提到的系列博客。
考慮無人機(jī)$x$方向位置狀態(tài)方程：
$$\{\begin{array}{c}\dot{x}=\dot{x}\\ \ddot{x}=\frac{u_x{u}_1}{m}\end{array}$$令$x_1=x$，$x_2=\dot{x}$：
$$\{\begin{array}{cc}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=\frac{u_x{u}_1}{m}\end{array}$$定義誤差：
$$e_1=x_1^d?x_1$$考慮滑模面，$c>0$：
$$s={\dot{e}}_1+c{e}_1$$求導(dǎo)：
$$\dot{s}={\ddot{e}}_1+c{\dot{e}}_1={\ddot{x}}_1^d?{\dot{x}}_2+c{\dot{e}}_1$$設(shè)計(jì)趨近律，$\epsilon >0$，$r>0$：
$$\dot{s}=?\epsilon sgn\left(s\right)?rs$$根據(jù)上面兩式，可以求解輸入：
$$\begin{array}{r}{\ddot{x}}_1^d?{\dot{x}}_2+c{\dot{e}}_1=?\epsilon sgn\left(s\right)?rs\\ {\ddot{x}}_1^d?\frac{u_x{u}_1}{m}+c{\dot{e}}_1=?\epsilon sgn\left(s\right)?rs\\ u_x=m\frac{{\ddot{x}}_1^d+\epsilon sgn\left(s\right)+rs+c{\dot{e}}_1}{u_1}\end{array}$$對于本滑模控制，其穩(wěn)定性分析不是考慮狀態(tài)量，而是考慮滑模面，考慮如下Lyapunov函數(shù)：
$$V=\frac{1}{2}{s}^2$$求導(dǎo)：
$$\begin{array}{rl}& \dot{V}=s\dot{s}\\ & =?\epsilon ssgn\left(s\right)?r{s}^2\\ & =?\epsilon \left|s\right|?r{s}^2<0\end{array}$$$s$是收斂的，而且這是在設(shè)計(jì)滑模趨近律$\dot{s}$的時(shí)候就已經(jīng)決定的，說明有$s\to 0$，即${\dot{e}}_1+c{e}_1\to 0$，這又說明了什么呢？說明${\dot{e}}_1$和$e_1$正負(fù)異號(hào)，最終必同時(shí)有${\dot{e}}_1\to 0$，$e_1\to 0$。從而實(shí)現(xiàn)狀態(tài)量的跟蹤，因此不用直接分析誤差的Lyapunov函數(shù)。
這里筆者就偷懶不放仿真曲線了，因?yàn)槭诌叕F(xiàn)在沒有現(xiàn)成的，不過效果當(dāng)然是會(huì)跟蹤上期望的狀態(tài)。
值得一提的是，這里的參數(shù)$c$能夠影響$e_1$和${\dot{e}}_1$的收斂速度，$c$越大，$e_1$收斂的相比較${\dot{e}}_1$而言是越快的，反之亦然。
還有別的常用趨近律：
$$\begin{array}{cc}\dot{s}=?\epsilon sgn\left(s\right)& \epsilon >0\end{array}$$
$$\begin{array}{cc}\dot{s}=?rs& r>0\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\dot{s}=?\epsilon {\left|s\right|}^{\alpha }sgn\left(s\right)& \epsilon >0,0<\alpha <1\end{array}$$他們其中的項(xiàng)也可以交叉使用。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[滑模控制器浅述] （1） 二阶系统的简单滑模控制器设计的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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