問題描述

有N件物品和一個容量為V的背包．放入第i件物品．放入第i件物品耗費的容量是Ci，所獲得的價值是Wi．每件物品只有一個．求將哪些物品放入背包可使價值總和最大．

思考過程

一般來說求極值的問題可分為貪心，動態規劃，以及遍歷所有可能．在這三中方法中，動態規劃是最常見的，也是很難想出來的．其中最難的是定義子問題，寫出動態轉移方程．類似于將問題簡化，如何由較小的子問題，推到出較復雜的問題．類似的計算機的本質是極其簡單的二進制運算，但由無數二進制運算疊加在一起，組成了今天復雜的互聯網系統．

在上次面試中，由于沒想出思路，很緊張，之后寫最簡單的01背包也沒有寫出來．面試后，痛定思痛，之后要逐步加強的自己的算法思維能力，證明問題能力，找錯能力，工具應用能力．

思路

一般可從最簡單入手：

• １如果沒有物品，解是什么？顯而易見，由于沒有任何物體，得到的價值為０．這一般對應于動態規劃中的初始化．
• ２再復雜一點點，如果有一個物體，如何求解？直接比較物品體積和背包容量，如果小于，直接拿下，解就是物體的價值，否則還是０．
• 3 當有兩個物體時呢？如果先考慮第二個物體，那么有兩種選擇，裝或者不裝，兩種選擇之后，會產生新的容量，以及第一個物體，那么問題回歸到第二種情況．
• 如果有N個物體，如果放完第N個物體（選擇放或者不放）后，那么問題轉化為含有N?1個物體的子問題．這樣問題就逐漸分解了．

定義子問題

用F[i,v]表示前i件物品放入一個容量為v的背包所獲得的最大價值．

狀態轉移方程

在放與不放兩個子問題中選擇一個最大的解

F[i,v]=max(F[i?1,v],F[i?1,v?Ci]+Wi)

偽代碼

F[0, 0...V] = 0 for i = 1 to N for j = 0 to Vif(C[i] > j)F[i, j] = F[i - 1, j]elseF[i, j] = max(F[i - 1, j], F[i - 1, j - C[i]] + W[i])

優化

時間

時間復雜度已無法再優化,.

T=O(NV)

空間

這里使用的是二維數據，但求解第i行值時，只利用到i?1行的解，并未利用更久之前的解，由于有這種局限解的特性，可以利用一維的滾動數組模擬二維數據，另外由于這里由i?1的前面的解j?c[i]推導出i后面的解j，也就是利用一維的數據的話，舊解為前面的解，新解為后面的．那么就應該讓j從大到小進行循環遍歷，因為這樣第一次接觸的到為舊解i?1，新出來的新解j在此次遍歷也不會再用到．也就是當且僅使用了一次．如果是從小到大遍歷j，那么新求出的解j+C[i]在后面還會遍歷到，因此還會被重新用到，再次用到的話，還會選擇是否拿下這個物體，不符合題意每件物品只有一個（如果有無窮多個物品，就可以從小到大遍歷，之后的完全背包問題會提到）

S=O(V)

優化空間后的偽代碼 1

F[0...V] = 0 for i = 1 to Nfor j = V to C[i]F[j] = max(F[j], F[j - C[i]] + W[i]

代碼更將簡單優雅

初始化的細節

如果是求恰好要裝滿背包時的最優解，那么像上面的都初始化為０就不行了．這時候需要只有F[0, 0] = 0, F[0, 1…V] = INT_MIN(表示負無窮).可以理解只有０個物品，背包為０容量正好有解，其余解為無效解．如果手工畫出來子問題轉化圖示，這樣最基礎的子問題只能從F[0,0]出發，不會從其他無效子問題出發，因為初始化無效解是負無窮，兩者去較大的話，肯定不會選取負無窮．

一個常數的優化

可將偽代碼１再次優化為

for i = 1 to Nfor j = V to max(V - sum（C[i...N]), C[i])F[j] = max(F[j], F[j - C[i]] + W[i]）

由于只需要最后F[V]的值，倒推前一個物品，其實只要知道F[V-C[N]]即可。以此類推，對以第j個背包，其實只需要知道到F[v-sum{C[j…n]}]即可

求取最優方案

參照一般動態規劃問題輸出方案的方法：記錄下每個狀態的最優質是由狀態轉移方程的哪一項得到的，也就是記錄最優解時，是否選擇了這個物品．具體來說是利用path[i, j] 來記錄當前的轉移過程，path[i, j] = true表示選取物品i, path = False 表示未選取當前物品．(bool數組更加節省內存)．空間復雜度S=O(VN).

代碼庫(C++)

不輸出最優方案

void zeroOnePack(int c, int w, int V, vector<int> & F){for(int i = V; i >= c; i--)F[i] = max(F[i], F[i - c] + w); } int allZeroOnePack(vector<int>& C, vector<int>& W, int V){vector<int> F(V + 1, 0);for(int i = 0; i < C.size(); i++)zeroOnePack(C[i], W[i], V, F);return F[V]; }

輸出最優方案

void zeroOnePack(int i, int c, int w, int V, vector<int> & F, vector<vector<bool> > &path){for(int j = V; j >= c; j--){int choose = F[j - c] + w;if(choose > F[j]){F[j] = choose;path[i][j] = true;}} } int allZeroOnePackDetail(vector<int>& C, vector<int>& W, int V){vector<int> F(V + 1, 0);vector<vector<bool> > path(C.size(), vector<bool>(V + 1, false));for(int i = 0; i < C.size(); i++){zeroOnePack(i, C[i], W[i], V, F, path);}return F[V]; } void printMethod(vector<int>& C){int i = N - 1;int v = V;while(i >= 0){if(path[i][v]){cout<<i<<" ";v = v - C[i];}i--;} }

另一個小的常數時間優化

在利用dfs遞歸求解時，先將物品按照單位價格排好序，單位價格高的靠前，這樣如果某個物品超載時，沒必要再累積其后面物品的價格， 而是按照該物品的單位價格乘以剩余容量，這樣算出的總價格雖然比實際裝載的總價格略高些，如果這樣略高于實際值的解還低于當前的最優解，則可對后面剪枝，避免多余的計算．

Reference

背包九講

0-1背包問題（回溯結點類排序改進）

01背包問題：Charm Bracelet （POJ 3624）（外加一個常數的優化）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的背包问题九讲笔记-01背包问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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