文章目錄

• 向量代數(shù)與空間解析幾何
• • 三維向量叉乘：
  • 平面方程：
  • 直線方程：
• 多元函數(shù)微分學
• • 多元函數(shù)連續(xù)的充分條件
  • 偏導數(shù)與連續(xù)的關系
  • 隱函數(shù)的導數(shù)
  • 方向導數(shù)
  • 梯度
• 多元函數(shù)微分學的應用
• • 空間曲線的切線與法平面方程
  • 空間曲線的切平面和法線方程
  • 有約束極值
• 多元函數(shù)積分學
• • 四個等價命題與格林公式
• 無窮級數(shù)
• • 幾個性質
  • 正項級數(shù)斂散性判別法
  • • 比較判別法
    • 部分和數(shù)列
    • 柯西判別法
    • 比值判別法
  • 交錯級數(shù)斂散性判別法
  • • Lebniz method
  • 任意項級數(shù)斂散性判別法
  • • 狄利克雷判別法
  • 傅里葉級數(shù)

向量代數(shù)與空間解析幾何

向量混合積：(a × b)· c

定義$Pr{j}_{x}a$為a到x的投影

可用于計算六面體體積。

另：

三維向量叉乘：

$(a_x,a_y,a_z)\times (b_x,b_y,b_z)=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$

平面方程：

點法式.$$A(x?x_0)+B(y?y_0)+C(z?z_0)+D=0$$，其中$(A,B,C)$為平面的法向量。

截距式: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$，其中$a,b,c$分別是$x,y,z$軸的截距。

平面一般方程$Ax+By+Cz+D=0$.

三點式：不常用.

直線方程：

點向式. 設直線的方向向量為$(m,n,q)$，其上有一點$(x_0,y_0,z_0)$，則可得直線方程
$$\frac{x?x_0}{m}=\frac{y?y_0}{n}=\frac{z?z_0}{q}$$

兩點式

$$\frac{x?x_1}{x_2?x1}=\frac{y?y_1}{y_2?y_1}=\frac{z?z_1}{z_2?z_1}$$

參數(shù)式. 設方向向量為$(m,n,q)$，有一點為$(x_0,y_0,z_0)$

$$?\begin{array}{c}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+qt\end{array}$$

一般式，兩平面方程聯(lián)立即可

多元函數(shù)微分學

多元函數(shù)連續(xù)的充分條件

（1）$f(p)$在$p$有定義

（2）$f(p)$在$p$有極限

（3）極限值等于函數(shù)值

偏導數(shù)與連續(xù)的關系

簡單來說，偏x和偏y只是兩個方向，表示在這對正交方向上可導，但只有在二維平面上每個方向都有導數(shù)，才能說這個函數(shù)是連續(xù)的。

隱函數(shù)的導數(shù)

單方程情形：$F(x,y)=0$，則
$$\frac{dy}{dx}=?\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$$
方程組情形：對于方程組$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)=0.\end{array}$$

若$u=u(x,y),v=v(x,y)$，
$$\frac{?(F,G)}{?(u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|$$

方向導數(shù)

偏$x$和$y$的導數(shù)實際上是兩個方向的方向導數(shù)。一般化后，得到公式：
$$\frac{?f(P_0)}{?l}=(\frac{?f(P_0)}{?x},\frac{?f(P_0)}{?y})?{\mathbf{e}}_{\mathbf{l}}$$

其中${\mathbf{e}}_l$是沿$l$方向的單位向量。

梯度

例如，當$f(x,y)$是某二元函數(shù)時，梯度
$$\text{grad}f(p)=(f_x^{\prime }(p),f_y^{\prime }(p))$$

多元函數(shù)微分學的應用

空間曲線的切線與法平面方程

若直線$l$上的點滿足$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$t\in I$，對于直線上一點$P(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$，有過$P$的切線為$\frac{x?x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y?y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z?z_0}{z^{\prime }(t_0)}$.

法平面方程為$x^{\prime }(t_0)(x?x_0)+y^{\prime }(t_0)(y?y_0)+z^{\prime }(t_0)(z?z_0)=0$.

空間曲線的切平面和法線方程

直接求梯度即可，各系數(shù)為切平面系數(shù)/法線方程系數(shù)。

有約束極值

拉格朗日函數(shù)

若約束為$\phi (x,y,z)=0$，可設$(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$，最后解方程組，四維導數(shù)分別等于0.

多元函數(shù)積分學

四個等價命題與格林公式

${\oint }_{l}Pdx+Qdy=0$

${\int }_{l}Pdx+Qdy$與積分路徑無關

是某個函數(shù)的全微分. 即存在$u,du=Pdx+Qdy$

$$\frac{?Q}{?x}=\frac{?P}{?y}$$在$D$內處處成立

格林公式：
$$\oint Pdx+Qdy=(?\frac{?Q}{?x}?\frac{?P}{?y})dxdy$$
原函數(shù)與全微分方程

若$D$單連通，$P(x,y),Q(x,y)\in C(D)$，且有$\frac{?Q}{?x}=\frac{?P}{?y}$，則存在函數(shù)$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$，使得$du=Pdx+Qdy$.

高斯公式：
$$?Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=?(\frac{?P}{?x}+\frac{?Q}{?y}+\frac{?R}{?z})dxdydz$$
斯托克斯公式：
$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz=?(\frac{?R}{?y}?\frac{?Q}{?z})dydz+(\frac{?P}{?z}?\frac{?R}{?x})dzdx+(\frac{?Q}{?x}?\frac{?P}{?y})dxdy$$
（可以直接計算，改變積分次序，一般用不上這個公式）

散度：
若向量場$F=(P,Q,R)$，則稱
$$\frac{?P(x_0,y_0,z_0)}{?x}+\frac{?Q(x_0,y_0,z_0)}{?y}+\frac{?R(x_0,y_0,z_0)}{?z}$$
為$F$在$M(x_0,y_0,z_0)$的散度，簡記為$divF(x,y,z){|}_M$

則高斯公式的場形式：

$?\mathbf{F}?dS=?div\mathbf{F}dv$.

環(huán)流量與旋度

$$\text{rot}\mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{?}{?x}& \frac{?}{?y}& \frac{?}{?z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$.

Stokes formula 場形式：

$\oint \mathbf{F}?ds=?\text{rot}\mathbf{F}?dS$

無窮級數(shù)

幾個性質

若級數(shù)收斂，則項的極限為0.

調和級數(shù)發(fā)散.

收斂級數(shù)滿足線性運算。即乘以一個常數(shù)或者加上有限個項/一個常數(shù)，級數(shù)仍然收斂.

收斂級數(shù)結合后仍然收斂，但收斂級數(shù)去掉某些括號后不一定仍然收斂.

正項級數(shù)斂散性判別法

比較判別法

若有$A={\lim }_{x=0}^{\infty }{u}_n,B={\lim }_{x=0}^{\infty }{v}_n$均為正項級數(shù)，$?N>0,c>0$,當$n>N,u_n\le v_n$，則：

（1）當$B$收斂時，$A$也收斂；

（2）當$A$發(fā)散時，$B$也發(fā)散.

部分和數(shù)列

對于正項級數(shù)，若部分和數(shù)列有上界，則原級數(shù)一定收斂。

柯西判別法

對于${\lim }_{x=0}^{+\infty }{u}_n$，若$?N>0$，當$n>N$，有$\sqrt[n]{u_n}\ge 1$，則原級數(shù)發(fā)散. 若$\sqrt[n]{u_n}\le q<1$（q為確定的常數(shù)），則原級數(shù)收斂.

比值判別法

若$?N>0$，當$n>N$，$\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$，則原級數(shù)發(fā)散；

若$?N>0$，當$n>N$，$\frac{u_{n+1}}{u_n}\le q<1$（$q$為確定常數(shù)），則原級數(shù)收斂.

交錯級數(shù)斂散性判別法

Lebniz method

若交錯級數(shù)${\sum }_{n=1}^{+\infty }(?1{)}^{n+1}{u}_n$滿足：

（1）$u_{n+1}\le u_n$；

（2）${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0$.

則原級數(shù)收斂，且和$S\le u_1$.

任意項級數(shù)斂散性判別法

考慮絕對級數(shù)，絕對級數(shù)收斂則原級數(shù)絕對收斂，否則不為絕對收斂，但原級數(shù)也可能收斂。絕對級數(shù)不收斂而原級數(shù)收斂的級數(shù)稱為條件收斂。

充分性： 絕對收斂$?$原級數(shù)收斂

狄利克雷判別法

（1）$u_n$單調減少且極限為0；

（2）$|{\sum }_{k=1}^n{v}_k|\le M$，$M>0$且為與$n$無關的常數(shù).

則級數(shù)${\sum }_{n=0}^{+\infty }{u}_n{v}_n$收斂.

傅里葉級數(shù)

對任意一個函數(shù)$y=f(x)$進行傅里葉展開，

公式：
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx,n=0,1,2...;$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx,n=1,2...$$

$$A=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学期末复习——知识点梳理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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