2021年12月29日-31日，由中國科學院科學傳播局主辦，中國科學院物理研究所、抖音承辦的“復興路上的科學力量——中國科學院2022跨年科學演講”在北京舉行。

12月31日晚19:30，中科院物理所曹則賢研究員現(xiàn)場開講《從一元二次方程到規(guī)范場論》，央視創(chuàng)造傳媒藝術(shù)副總監(jiān)王雪純受邀擔任現(xiàn)場主持。

點擊下方鏈接可下載曹老師演講的PPT：

https://bytedance.feishu.cn/docs/doccnvNNYumJ2uAKjlBM8B3AeOd

（以下內(nèi)容根據(jù)現(xiàn)場速記內(nèi)容整理，時間倉促，未經(jīng)主講人審核，內(nèi)容難免有誤；部分公式受限于微信編輯器，格式可能有不規(guī)范之處，敬請諒解）

尊敬的各位朋友，在講完了相對論與量子力學之后，我想說我們應該進階去講規(guī)范場論，但是去年透露這樣的一個題目的時候有人說不行，太難了，能不能講點簡單的。

但是我一想，其實我們學過所有的數(shù)學與物理的領域，我實在沒想出哪個是簡單的，如果大家真認為簡單，可能大家誤以為小學學過的加減乘除那個簡單，我負責任地告訴大家這是一個誤解。加法你說學會了，我告訴大家門都沒有；我提醒大家一句，乘法在1844年格拉斯曼《擴展的學問》這本書里面，提供了16種不同的乘法。我不知道許多人聽過過嗎，乘法有這么多種乘法？所以加減乘除要排除，實在太難了。

所以，如果要挑一個簡單的一元二次方程，大家可以看一下題目下面的洋文——“De Equazione Algebrica zur Eichtheorie”前半段是意大利語，后半段是德語，因為一元二次方程后邊發(fā)展出來的一元三次方程、一元四次方程，都是發(fā)生在意大利那個地方，規(guī)范場論是來自說德語的地方，就是德國、瑞士與奧地利。我提醒大家注意一下，我們學的物理里面，流體力學、規(guī)范場論等產(chǎn)自于一個很小的國家，這個國家叫瑞士，待會兒會給大家講細節(jié)。

今天這樣的講座，希望花2-3小時時間給大家理清楚從一元二次方程，大家誤以為是最基礎的地方，如何一路走到規(guī)范場論理論物理的天花板。這樣安排我的講座，確實受到我的朋友們的批評，說我講座的題目特別不友好，為什么我這么不友好呢？我覺得因為我們現(xiàn)在處于一個技術(shù)超越神話的時代，而且這也是一個科學已經(jīng)深入人心的時代。今天的我們尤其我看現(xiàn)在十幾歲二十歲的年輕朋友們，我覺得再也不能像我這代人讀小學、讀中學，讀到大學，突然有一天明白自己什么也沒學著，這個不可以再有了，我希望我們現(xiàn)在的青少年朋友們，能夠早早地接觸到真正的學問，接觸到深刻的學問。

我非常高興的看到，在我們的國家今天進入到一個科學深入人心的時代。

今天一個剛上學的小朋友都知道不會科學要被人欺負，今天國家發(fā)展過程當中更知道沒有掌握最頂尖技術(shù)，沒有掌握頂尖技術(shù)下面深厚的數(shù)學物理知識，我們可能要被人欺負的。所以今天我們應該好好學科學。

提及學科學的時候提醒大家請當真，學習科學的細節(jié)、思想、方法、體系，學科學如何構(gòu)建、如何批判、如何表述，這個過程當中我們可能也要學科學家，我們學科學家什么呢？我們應該學科學家是如何學習與創(chuàng)造的，說句大白話，就是今天真要學習的話，吃雞腿，不要喝雞湯。

近代科學發(fā)展我們都知道它的基礎是數(shù)學的語言，這一點在我們數(shù)學書里面有一個不太提及的人，是意大利人斐波那契(Fibonacci)。他是一個商人孩子，他在1202年的時候把印度阿拉伯人創(chuàng)造的一套字母，就是0123456，我們現(xiàn)在都管它叫阿拉伯數(shù)字，這套阿拉伯數(shù)字再加上西方的拉丁字母和希臘字母，這三套加在一起就是今天自然科學的語言。

所以我提醒我們的中小學教育的時候一定要把這三個基本語言教清楚，不管是純數(shù)學的歐拉公式，這是被譽為人類最美的公式，沒有之一，或者庫倫公式，元素都是包括阿拉伯數(shù)字、拉丁語字母、希臘字母，這些西方科學在明朝、清朝都傳入我國，我們曾經(jīng)試圖用漢語寫它，大家如果見過用漢語寫矩陣組乘法的時候就知道，寫了一頁你根本不知道這一頁是什么東西，極大的阻礙了科學的傳播。今天我們?nèi)嗣褚欢ㄒ幸粋€特別開放的心態(tài)，要把所有人類知識都當做自己的。

剛才說的是最開始的，我們很快要學到最高深的，這里面我一定要提及一位非常受人尊敬的先生，剛過了虛歲誕辰一百周歲。很多人在短視頻中都說楊先生最引以為傲的成績不是1953年獲得諾貝爾獎的宇稱不守恒，而是1954年的Yang-Mills，這是第一個非阿貝爾規(guī)范場論第一篇，什么意思？我待會會講。我想說的一句話是什么呢？我認為我們對這些科學巨擘如果要想表達稍具一點誠意尊敬的話，請去弄懂他到底做了什么，我相信如果你樂意的話其實是可以做到的。

所以今天我的報告內(nèi)容大概就是有這些內(nèi)容，先聊兩句閑話，從一元二次方程開始，接下來是一元三次方程、一元四次方程，到一元五次方程的時候發(fā)現(xiàn)不可解了，發(fā)現(xiàn)不可解去理解這樣一個不可解就會引出很多學問。

解到一元三次方程就會引進虛數(shù)，虛數(shù)就有人把它擴展成復數(shù)，就是二元數(shù)，將來就有人擴展成四元數(shù)、八元數(shù)，這是數(shù)字體系的框架發(fā)展。一元五次方程不可解得出一個學問，這個學問叫做群論，有了群論，有了四元數(shù)和復數(shù)表達，終于有一天我們會發(fā)展出規(guī)范場論，說從最基礎的一元二次方程到這個地方邏輯的鏈條或者邏輯的臺階，我會給大家講清楚。

一句話，我們注意到中小學老師經(jīng)常會教孩子們說記住知識點，但是知識點如果都是散點的話，是記不住的，知識就像螞蚱，你得把它串成串就好記了。有一個人說我聽不懂，不知道線上朋友是不是有時候三兩句聽不懂轉(zhuǎn)頭就走了，我想說不要擔心，請你一定要堅持聽完，我都堅持站著講三個小時，你還不能堅持躺著刷三個小時的手機嗎？所以請大家耐心一點，我不敢保證這里的內(nèi)容你能夠聽懂，但是我一定努力讓你今天聽到的東西會對你有啟發(fā)。這個講座是人類里面最頂尖的向思想者致敬之旅，內(nèi)容聽不懂沒有關系。

還是回答主持人問的問題，為什么老講不太友好的課題，為什么講那么難的數(shù)學和物理？這是因為我自己上了快50年的學，我深切感覺到我們應該學一些數(shù)學和物理，以及我們作為一個受人尊重的民族，應該努力為人類貢獻一點數(shù)學和物理。關于這樣一個問題，我們建國領袖毛主席1942年在延安文藝座談會上講話說的很清楚了，中國人要對世界文明做出自己應有的貢獻。

數(shù)學和物理的歷史我個人認為主要是由一些天才的頭腦創(chuàng)造的，在中國有14億人口基數(shù)，青少年2億左右，他們中間一定不缺乏特別有天分的青少年。我特別想提醒他們，作為一個很有頭腦的青少年尤其是天才，沒有創(chuàng)造，天才是不可原諒的，所以我提醒有天分的青少年朋友們，不要浪費你們的天分。

哪些天才呢？大家學這項人物，比如近代科學之父、物理之父伽利略，牛頓大家都知道，這是科學大神瑞士人歐拉。

關于數(shù)學，數(shù)學該學到什么程度呢？或者什么樣的人是數(shù)學家呢？數(shù)學界非常有趣有一個判據(jù)，說一個人他如果睡著了，你上去咣當踢他一腳把他弄醒了，問龐加萊引理是什么，他如果說不上來一定不是數(shù)學家，他如果說上來，那也不一定是數(shù)學家。但是這是一個必要條件，就是一個人睡夢中被踢醒了一定要知道什么是龐加萊引理。

關于物理學家，數(shù)學家是物理學家的語言，物理學家是用方程唱歌的人。

回顧一下我們上大學學過所謂的那些物理，其實都總結(jié)到這些公式里面了，比如這是簡單的牛頓第二定律，力學下一步發(fā)展就到這個方程，叫做歐拉-拉格朗日方程，再往上到哈密頓-雅可比方程，這樣的方程把它改造一下，求波動解的話就會得出量子力學方程。這是電磁學方程，電磁學和量子力學結(jié)合將來就會有電動力學。這是第一次工業(yè)革命最根本的公式，這叫熱力學主方程。理解了這樣一個公式才能理解人類第一次工業(yè)革命。

從一元二次方程到規(guī)范場論，如果大家沒有耐心聽的話，只要看這張圖就能理解它說的什么。

從一元二次方程到二次、三次、五次方程這是解方程，解三次方程就會解不下去，就會讓你們不得不引入虛數(shù)和復數(shù)，然后就有了復變函數(shù)。接下來就有四元數(shù)、八元數(shù)，這是數(shù)學發(fā)展。五次方程不可解就會得出群論，這些數(shù)學準備好了以后學物理就簡單了，所謂量子力學會用到群論和四元數(shù)，學電動力學要用這里面的矢量分析和四元數(shù)。

這里有一個東西叫做微分幾何，微分幾何和群論學好了以后學相對論就簡單了，群論、微分幾何、電動力學、量子力學都學會了以后你學規(guī)范場論就齊了，這中間邏輯關系是非常清楚的。我再強調(diào)一遍，我們之所以當年在大學讀研究生讀這些課讀不懂，是因為他相應需要的數(shù)學物理基礎都沒有教，我們課本有一個特別不好的印象，給人一種誤解，就是那一門學問只是這些書本里面的內(nèi)容，其實不是。

一元二次方程概述

從一元二次方程到規(guī)范場論里面到底有哪些內(nèi)容呢？大家比較熟悉的一元二次方程，它其實是一個平方項和線性項這兩個怎么湊到一起的問題，是二次和一次型怎么加的問題，所以最難理解的問題恰恰是加法，現(xiàn)在你知道做到加法不容易了吧。接下來當有復數(shù)的時候，你會發(fā)現(xiàn)復數(shù)不光是我們學的a+bi，復數(shù)可以有七八種不同的表示，這些表示包括四元數(shù)都有不同表示，運算法則和表示就出來了。

當我們用群的語言討論一個代數(shù)方程為什么不可解的這套語言的時候，這個地方涉及到結(jié)構(gòu)和表示，等我們學規(guī)范場論的時候發(fā)現(xiàn)這不過是微分二次型和一次型，和如何解一元二次方程是一回事，結(jié)構(gòu)上是相同的，這就提示我們學數(shù)學、物理不是課堂做幾加幾，你需要學的是最重要的法則、結(jié)構(gòu)、表示，這些才是數(shù)學最威猛的地方，也是讓你理解物理和發(fā)展出物理的地方。

今天學兩個關鍵詞：

第一個詞兒叫置換，這個可能比較簡單，如果大家喜歡打牌的話，拿一手牌換一種放法，這就叫置換。置換是今天的主題，比方說這是123456，你把1換成4，2換成3，3換成2，4換成5…得出123456另外一種排列方式，這是置換比較好理解。

第二個要學習交替，交替特別重要，這是三維空間里面的多邊形，關于多邊形有一個歐拉定理，頂點數(shù)V減去邊數(shù)E，加上面數(shù)F，減去體數(shù)S，體數(shù)S始終等于1，所以這個公式應該是V-E+F=2，其實我把它寫成V-E+F-S=1。

大家看這個地方涉及到的不是減號，還是加號，只是加上一個負的東西，前面的符號是加減始終交替出現(xiàn)，交替這個東西非常重要，而這個地方作為幾何對象，幾何對象沒有頂點數(shù)減邊數(shù)，這個負號是告訴你幾何對象有取向。大家想想如果繞著小公園遛一圈，你當時就明確路徑有取向，可以順時針繞，也可以逆時針繞。學幾何的時候，幾何里面從來沒有教大家?guī)缀斡腥∠颉?/p>

明白這個道理的時候現(xiàn)在開始學方程，許多人以為會，讓我們看會到哪。一般的一元二次方程寫ax²+bx+c=0，這里a、b、c可以是整數(shù)，如果不要求a、b、c是整數(shù)，其實就應該是這樣一個方程，x²+bx+c=0，也就是說這里參數(shù)只有b、c兩個。

老師教大家配平方就能夠得出兩個根：

根號下得出b²-4c這一項，如果b²-4c大于0，開根號，就得出兩個根；如果b²-4c小于0，我們叫方程無解，就是它不合理，或者說我不懂我不知道該怎么辦。這時候許多人會誤以為說b²-4c根號下是負的，可以利用：

我們在中學里面學過，老師教過，我想說的是你想多了，人們解一元二次方程的時候遇到根號下是負的，因為不了解，不了解哪個數(shù)平方等于負，所以說直接取無解，這是最合理的做法。

這個地方你會注意到什么呢？注意到這個地方有b²-4c，它是判別式，它到底是什么意思？我們不解具體方程，把求的方程兩個根，x_1，2要表示成x₁+x₂和(x₁+x₂)²-4 x₁x₂，這是什么意思？在解這之前，大家肯定覺得這個方程太簡單了，老師也給出解法了。

我現(xiàn)在告訴你，事情沒有那么簡單，不僅關于這個方程一般理論一元二次方程你還沒有學，就是特殊的挑幾個例子，這幾個數(shù)學你大概都沒有學過，解x²-x-1=0的方程，這個方程的根等于：

這個數(shù)就是黃金分割數(shù)，它和10次轉(zhuǎn)動有關。

x²-2x-1，它的根：

這是白銀分割數(shù)，和8次轉(zhuǎn)動有關系。而x²-4x+1=0，它的根：

是白金分割數(shù)，和12次轉(zhuǎn)動有關。而人生活的三維物理空間允許準晶的轉(zhuǎn)動就是18、12次。

隨便挑出一個黃金分割數(shù)能夠有多少內(nèi)容呢？關于黃金分割數(shù)我知道的至少有三本專業(yè)的雜志，關于這一個數(shù)就有專門三本數(shù)學雜志，最早的Fibonacci季刊專門發(fā)表有關黃金分割數(shù)的內(nèi)容，這個雜志已經(jīng)發(fā)行了一百多年了，請同學們再想想，你還敢說你會嗎？這本雜志你隨便看哪頁都不懂，而這僅是關于特殊的一元二次方程一個根的故事。

現(xiàn)在深入研究一下一元二次方程，把一元二次方程改成x²-bx+c=0，為什么這么改呢？這是因為這么改的時候x、b和c都可以理解成長度，就可以用幾何法研究這個方程了。

我們用幾何法研究方程如上圖所示，做一個直徑是b的圓，從底下點A做一個切線段，切線段長度是c，如果b²-4c>0，就是說c比較短，從c的另一端做一個垂線RT的時候，與圓有兩個交點，這就是我們常說的方程有兩個根。

如果c再大一點，使得b²-4c=0，垂線RT與圓相切，只有一個接觸點，這個方程只有一個根。這個地方又遇著了數(shù)學書里面一個錯誤概念，當b²-4c=0的時候，是這個線剛剛搭上去，只有一個交點，漢語把它翻譯成相切，不對，這不叫切，這是剛摸著、碰著，而不是切，這就是我們?yōu)槭裁蠢蠈W不會的問題，這是一個錯誤的概念。

現(xiàn)在回到剛才提到的b²-4c<0的時候是什么樣的，說明c比較長，從這里做垂線不與圓相交，剛才說b²-4c<0沒意義，好像有意義了。有人肯定要說怎么錯過去叫有意義呢？

我給你舉一個英語課上的例子，什么是錯過是有意義的。這是我們常見的表達，我想你。大家還記得英語i miss you，miss就是錯過。不管是英語i miss you還是法語Tu me manques，是我錯過你，我錯過你才想你，錯過是有意義的。所以這告訴我們b²-4c<0是有意義的，但是什么意義，別著急，我們等待接下來的講解。

我們看研究x²+bx+c=0這個方程，你會注意到，如果一個方程有兩個根的話，永遠可以把方程寫成(x-x₁)(x-x₂)=0的形式，這才是一元二次方程。那么這個方程的標準形式為x²-s₁x+s₂=0。

你會發(fā)現(xiàn)這里的符號很有意思，就是+、-、+、-，交替出現(xiàn)了，請大家記住交替是重要的東西。由以上可知，x₁+x₂=s₁，x₁*x₂=s₂。我從?x₁+x₂和?x₁*?x₂，就一定能得出?x₁-x₂。有了x₁+x₂和?x₁-x₂，就可以得出??x₁、?x₂各自的表達式。于是我們知道一個方程根?x₁、?x₂應該由它本身來表達——

請記住不是加減，是正負，代數(shù)方程里面沒有減法，請同學們一定記住。

這個方程就很有意思了，很多人不明白這個道理，你看我求的方程是兩個根，怎么用它本身來表達，你在繞我嗎？不對，這個道理我是沒弄明白，我發(fā)現(xiàn)金融界的人士就明白了，他們用明天可以掙到錢，在今天掙你的錢，這個哲學可重要了。

用根自身來表示，這是一種哲學的轉(zhuǎn)變，我用要被尋找的根來表示這個根。如果大家再不明白這個道理的話，就是參照一下金融行業(yè)人員，他們一直都是這樣干的，用他們明天才會擁有的錢，今天來掙你的錢，只有這樣的話我們才能理解金融學，我們也才能理解什么是一元二次方程，這些東西沒教，不著急，接下來往下說。

加法和乘法的兼容

x²+bx+c=0，到底是一個什么樣的方程呢？其實我們注意到就是x²=c₁、bx=c₂這二者如何疊加和兼容的問題。大家可能會有疑問加法與乘法有什么兼容的問題？比如說數(shù)學里面最難的費馬大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ，這就是一個乘法與加法相融的問題。當n大于等于3的時候，你找不出整數(shù)x、y、z，使得這樣的算式成立。也就是說當n大于等于3的時候，這里面的乘法加法不相容。所以一元二次方程重要的是乘法與加法怎么揉到一起去的問題。

既然這樣的話，我們來看，我們來理解x²=c₁這個問題，c₁這個數(shù)只有兩種可能，要么是正數(shù)，要么是負數(shù)。所以我們需要理解的是x²等于正負1的問題，你會發(fā)現(xiàn)x²=1好理解，x²=-1算是怎么回事？

如果x²=-1存在的話，你會發(fā)現(xiàn)x²=1和x²=-1絕對是兩個不聯(lián)通的世界。這兩個世界是怎么回事？或者我們來看物理的看x²+bx+c=0這個方程是什么樣，我把x理解成距離，x移動b/2，把它改造成x²=c₁的問題。然后，兩邊同除c₁的絕對值，就變成x²=1的問題。

所以，一元二次方程說到底就是要解x²=1的問題，也就是說一元二次方程所有的內(nèi)容，是讓你理解加法與乘法怎么湊到一起，當然x²=1你理解了，問題就剩下x²=-1是怎么回事。

一元三次方程

再看一元三次方程，物理情景很少有，將來大家上到大學物理的時候會求矩陣本征值。比如說發(fā)動機怎么轉(zhuǎn)動的，轉(zhuǎn)動慣量問題會有這樣的方程，這是一元三次方程。或者說學實際氣體的狀態(tài)方程——Van der Waals方程。

一元三次方程怎么解呢？書里面有這樣的表達式：

公式不太好記，我特別反對寫數(shù)學公式腦子里面沒有物理圖像，所以我始終記為：

因為這時候你就知道這里面的3、2來自于物理的維度或者量綱，是有物理意義的東西，而不是隨便寫27，27你覺得可以寫成26，不對，他是3的3次方，而這個3是物理的維度。

這個方程怎么解呢？我們知道x³+px+q=0，也就是說有p、q兩個自由參數(shù)。為什么題目一開始用意大利語呢？因為這些學問一開始都是意大利人先做的，一位意大利人Cardano給出這樣的解法，假設我的方程解是：

將其代入方程，可以得出另一個方程：

我可以分別令：

消元可以得到：

這個方程是一元二次方程，而一元二次方程我是會解的。所以我只要解出一元二次方程，我就可以得出來一元三次方程的解。

這就是一般書上的一元三次方程根的表達式。我們仔細看一下根表達式里面就有故事了。第一，始終是根號套根號的表達；第二，表達式中1，ω，ω²是x³=1的根。你解一元三次的根要用到x³=1的東西，以及根號套根號，這是我們要記住的，里面包含的內(nèi)容。

對于x³你會發(fā)現(xiàn)很有意思，剛才說x²=1很好理解，x²=-1是什么還不知道。但是你發(fā)現(xiàn)x³=1，與x³=-1，沒有什么隔閡。因為你只要將x替換為-x，這兩者就是一回事。所以x³=1和x³=-1，沒帶來什么困難，這好像是世界又值得留念了，但是不對，我們繼續(xù)往下看。

如果設x=u+v也可以，還是這樣的一套方法，就可以得出它的解。這個地方關鍵要把一元三次方程約化成一元二次方程，所以這個地方有一個關鍵詞是“約化”，就是我們經(jīng)常講的你手里有一個問題或者有一個工程，先把它分解任務，先做成不同的單元，以及放到簡單的層面上解決了，這就不解決了嗎？

但是問題是這么約化都好使嗎？你會發(fā)現(xiàn)不太好使，為什么呢？解一元三次方程的時候出事了。大家看解一元三次方程的時候，我們有公式，把具體方程的p、q帶進去，經(jīng)常會遇到根號下等于負，剛才說的解根號下是負的，不合理，不存在，扔了就完了。可是解一元三次方程遇到根號下是負的，麻煩了，為什么？我們不能扔下了。

我們看這個方程x³-15x-4=0，我們都知道，有一個根x=4，分明是有解的。可是將p、q的值代到表達式里面就變成了：

如果你說根號下是負的不合理，把它扔了，扔了就沒有解了，可是你分明看到x=4。

這怎么辦？憋了很久的時間，到了1572年的時候L’Algebra說實在沒辦法了，就接受它的存在，我們假設他是有意義的，到底什么意義，我們不知道，我們就假設它是有意義。我們閉著眼睛往下算，怎么算呢？

你會發(fā)現(xiàn)：

兩項相加抵消后等于4，你看，根出來了。也就是說請大家記住了，我們接受根號下負數(shù)這個東西不是我們愿意接受，是它把我們逼得沒辦法了，萬不得已我們才接受下面是負數(shù)的存在。

一元四次方程與一元五次方程

接下來有人去解一元四次方程，一元四次方程哪兒有呢？倒是航天部門經(jīng)常遇到，你看橢圓軌道與雙曲軌道，前兩天大家知道空間站被人碰瓷了。兩個軌道相交，始終有四個點，所以求雙曲線的交點問題可以得到一元四次方程。

一元四次方程怎么解，就是硬配平方，假設兩邊都能配成平方的話，得到一元三次方程的條件，這好辦了，一元三次方程我會解了。我解一元三次方程，回頭就可以解一元四次方程，這樣的話，我們大家都知道了一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程都會解決。

人稍微有一點成就就怎么樣，就膨脹，那人類一定會解五次。所以有人就去解五次方程，但是你如果稍微頭腦清晰的話，你應該分析一下剛才的一元四次方程解是怎么行的。這兒出現(xiàn)一個大神Lagrange，他研究一元四次方程的時候發(fā)現(xiàn)，假設四個根，x1、x2、x3、x4，可以湊成這樣的一個四個表達式，這是對稱式：

而這個表達式，如果我們數(shù)學學的多，一定會和中國古人聯(lián)系在一起，就是我們老祖宗楊輝三角，你發(fā)現(xiàn)這里面楊輝三角出現(xiàn)了。

我們知道了這樣的一個對稱表達式，如果我再用根組合成別的表達式：

這個方程就能夠倒回來與這個方程距離系數(shù)c、d、e聯(lián)系在一起，我就能解出s₁，s₂，s₃，s₄這四個數(shù)，與四個根是線性聯(lián)系的，就可以得出來四個根。也就是說Lagrange從一個體系的角度，看清楚了四次方程為什么能解，以及這個方法到底是什么意思。

這個大神太厲害了，給我們留下了很多的書，比如說關于代數(shù)方程的思考，因為他發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程里面的學問太大了，還有算術(shù)研究，還有分析力學請大家記住，這是大學物理系都要學的學問，分析力學又叫Lagrange力學，這本書太經(jīng)典了，我曾經(jīng)開玩笑發(fā)誓將來有空把它翻譯出版了，穿著紅色高跟鞋繞物理所跑一圈。

這本書實在是太經(jīng)典了，為什么呢？從我們?nèi)祟悮v史上從數(shù)學與物理角度來說，絕對是大神級的人物。而且也是牛頓之后唯一的一個白紙黑字表達出對牛頓不服氣的人。他是這樣說的，牛頓當然是最偉大的天才，但是人家也是最幸運的，為什么他是最幸運的？因為構(gòu)造世界體系這件事情只能干一次。那意思就是如果當初牛頓不干的話，我也把它干出來的，多大點事情。這是白紙黑字有記錄，對牛頓不服氣的，這是唯一的一個人。

我們再看一眼一元四次方程的表達式，對稱多樣性的表達，你看它的符號，比如說表述成“-b+c”“-d+e”，又是正負、正負、負正、負正交替，始終與交替有關系，你用這樣的一個四個根來湊別的幫助解的方程的時候，這種結(jié)構(gòu)未來有群的結(jié)構(gòu)。所以Lagrange的工作就是告訴我們，把解方程求方程根的過程變成對方程本身的認識，這是他最偉大的地方。

四次方程不管怎么著，反正是可以解，因為我現(xiàn)在不知道到底哪個場合會出現(xiàn)一元五次方程，所以我認為一元五次方程怎么解，肯定是人吃飽了撐的的結(jié)果。

努力去解的時候發(fā)現(xiàn)不對了，英國人有一個人叫Bring，有能力把一元五次方程的4次方、3次方、2次方項都消了，能表達成x⁵+px+q=0。你如果把x項都消了，這個解就有了，但是這一步根本過不去。

Euler發(fā)現(xiàn)方程寫成x⁵-5px³+5p²x-q=0的形式的時候可以找出一個解，但同樣也找不到通解。所以這個事情忙活了100多年的時候，人類有一天突然服氣了，一元五次方程是不是沒有解？差不多到18世紀末的時候，像法國人Vandermonde與Waring就懷疑了，一元五次方程沒有解，或者沒有看起來的通解。

Lagrange揀起這樣的思想，才去寫代數(shù)方程的書，才理解方程的結(jié)構(gòu)，他認為方程可解不可解，找到某種方程根的置換不變的函數(shù)。你看這里面又隱含著一個思想，就是我們數(shù)學書里面從來沒有告訴我們，當我們解一個方程，這個方程有幾個不同的根，如果你不知道根等于幾的時候，這些根之間都是等價的。比如說方程里面有一個根，一個是4，一個是3，許多人很容易誤解4大于3，但是就這個方程本身來說，如果3、4都是這個方程的根，是一樣的，是等價，我們沒有這個思想。

你看Lagrange有這樣的思想，就認識到代數(shù)方程的一般形式就是(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n)=0,要從他的角度來理解到底有幾項的時候這個是有解的。但是你要證明一個方程有解容易，找到一個解就行了，就像證明天鵝不都是白的，你要逮著一只黑的就行了，可是如果你要證明天鵝是白的，你不管逮出多少只天鵝，都不能證明天鵝是白的。所以證明這個方程也是，就是你證明它有解容易，只要搞出一個解就行了，但是證明無根式解就特別難了。

這個難從理論上研究，發(fā)現(xiàn)所有方程形式應該是，連乘的形式，你把它展開這就是Lagrange展開的形式，展開對象就有(-1)ⁱ的問題，i等于奇數(shù)的時候等于-1，i等于偶數(shù)的時候就等于+1，所以這就是為什么始終有正一負一交替的問題，這也是出現(xiàn)交替群要理解的原因。

這是一個未知數(shù)和根的差，如果把不同的根之間的差乘起來，再平方，這就是所謂的判別式，就是一元二次方程里面學到的兩個根值差平方問題，所以把它擴展到一般情況下。擴展到一般情況下，Lagrange突然明白為什么五次方程不可解，為什么？他把一個可能的方程根和xⁿ=1方程的根給做成這樣一個組合：

把這個地方的根，x1、x2、x3互換，看互換以后有多少結(jié)果，他發(fā)現(xiàn)非常有意思，對于二次方程把2個根有兩種互換得出一個值，也就是問題變簡單了，這可以解。一元三次方程有3個根，有6種置換，但是只有兩個值，就是3變成2了。一元四次方程，4個根有24種置換，但是只能得出3個值，所以也是簡化了。

但是5次方程就麻煩了，5次方程5個根，有120種置換方式，結(jié)果得出24種值，事情變復雜了。這個提醒大家有一個非常重要的東西，就是所有的事情比方說某件事情牽扯到數(shù)量增加的時候，會逐漸變得復雜。

講一個簡單的例子，別人請客吃飯你去了，你去了沒有問題，人家請你了，你說對不起今天還有一個朋友一起來，也想認識你，說能不能一起來，一般情況下也行，但是帶兩個朋友，人家咬牙忍了，但是帶三個朋友四個朋友一定這事兒不行了。所以對于方程，二次行，三次行，四次行，到五次事情變復雜了，變復雜了就不能解了。

不可解理論與“群”的提出

所以有人開始研究它的不可解理論，1799年意大利人Ruffini寫了516頁的代數(shù)方程理論說不行，但是大家不理他，為什么？因為證明太長了，516頁，審別人數(shù)學論文這是太苦的一件事情，沒有人干。

1824年挪威人Niels Abel，大家記住這個名字，這個名字非常重要，證明五次代數(shù)方程通用根不存在，但是因為他太年輕，沒有名氣，被人家不得不要求將論文修改簡單，最后這個論文才6頁，中間就有縫隙，在生前也很難被認可。但是大家都知道了，今天我們有Abel -Ruffini定理，說基于五次以上的一般多元式方程沒有根式解，不能表現(xiàn)成根式套根式的解。

真正解決這個問題的是誰解決的呢？是一個法國的數(shù)學家天才叫做伽羅華，他證明了一元五次方程沒有解。但是大家看他有多慘，1830年解決這個問題，1832年去世，他這個論文提交法國科學院，被法國大科學家弄丟了，他去世14年的時候他的成果才有人幫他發(fā)表出來了。所以作為天才你們一定要有心理準備，要承受這樣的命運。

伽羅華首次提出了“群”（Groupe）這個詞兒的概念，并且利用“群”解決這個世界難題，但是“群”為了這個問題一經(jīng)發(fā)明，它將來就不只限于這個問題，“群”將來會在整個數(shù)學領域、物理領域有它的作用。

這個理論出來以后，數(shù)學也好，物理也好，有時候就是一層窗戶紙，重要的是捅破窗戶紙的那個人，窗戶紙一旦捅破了，這個理論就會迅速發(fā)展。1870年的時候一個法學數(shù)學家Camille Jordan就寫出了這本很著名的書《論置換與代數(shù)方程》，后來歐洲數(shù)學家里面年紀輕輕有成就的基本都會讀這本書，我甚至有一個建議，這本書一定要進到中學里面成為中學教材。

我們提到剛才的天才伽羅華，伽羅華1830年解決一元五次方程不可解的問題，請他看出生于哪一年，他出生于1811年，他引入“群”解決問題的時候才19歲，還沒有考上大學呢，但是到1834年的時候小伙子因為某些事情要和別人決斗，決斗前一天晚上匆匆忙忙寫了一堆亂紙，這是人類文化史上最重要的一頁，一堆亂麻。

用他自己話說是他希望將來有人能夠看懂，并且他請求他的弟弟，這些亂紙不要交給法國科學家，交給德國數(shù)學家，不要問他們我解的對不對，只要問他們我干的值得不值得。這小伙子給別人決斗，又不會決斗，結(jié)果在菜地里被人一下撂倒了，被傷了以后躺在菜地上，第二天早晨他弟弟才找到他。

除了請別人破解他的亂碼，特別著名的就是“我沒時間了”，當他弟弟把他送往醫(yī)院的時候，他說了這句特別傷感的話，說弟弟你別哭，我在20歲上死去用盡了我所有的勇氣，這是一個天才的隕落。

當然在法來西這個國家也是特別盛產(chǎn)天才，1832年至少隕落了三位天才，都是數(shù)學家，第一個是破解了A級黑色羅塞塔石碑的語言學家Champollion，第二個是奠定了群論21歲去世的Galois，第三位是1832年去世的熱力學奠基人，寫出熱力學第一篇文章的 Sadi Carnot。

關于這個問題我特別有感慨，我想說什么呢？就是如果一塊土地長不出天才的土地是尷尬的，但是長出了天才也要敬重，要讓天才存在下去。我想說的第二句容不得天才的人群是猥瑣的，特別希望我們的社會未來在每一個局域的小環(huán)境都能夠形成一個容忍我們身邊天才成長的小環(huán)境，讓我們未來的青少年中間能夠出現(xiàn)真正的給中華民族帶來榮光的天才。

現(xiàn)在回頭看代數(shù)方程的事情，代數(shù)方程從原先用系數(shù)求具體的根，現(xiàn)在變成了系數(shù)經(jīng)對稱多項式到根的表達，到研究對稱多項式到根的關系的問題，用的就是剛才這位小伙子得出的群論，所以這條理論就叫伽羅華理論。

但是比較好理解，我給大家念一念，一般n次多項式伽羅華群是置換群S_n，置換群最大的正規(guī)子群叫做交替群，交替就很重要了，這樣一直做它的最大正規(guī)子群一直往下，要求合成列中的指數(shù)始終是素數(shù)，2、3、5、7、11、13這樣的數(shù)。如果是這樣的數(shù)，就稱這個方程可解。

從這個道理可看四次方，它的置換群是12個元素，這兒的A4置換群最大正規(guī)子群是四個元素，12÷4=3這是素數(shù)，所以這個方程可解。可是如果n大于5就麻煩了，交替群An總是簡單的，也就是說它的子群只有一個，元素數(shù)等于1，An這個數(shù)非常大，是一個偶數(shù)，是一個大的偶數(shù)，肯定不是素數(shù)，證明一元五次方程不可解。沒有關系，一般聽眾不需要知道這些。

俄羅斯，我作為一個學物理的，學一點點數(shù)學的人，這一位特別帥氣的大神阿諾爾德是繞不過去的，你看到1963年的時候，人家這樣的一個數(shù)學大神竟然還研究x²+bx+c=0。人家從哪個角度研究的呢？從拓撲學研究，什么叫拓撲學研究呢？他說我現(xiàn)在我當然知道B和C可以當做復數(shù)，復數(shù)的話是可以表現(xiàn)為平面一點，所以說在平面上選擇一點代表B和C的話，那么相應地在另外一個復平面就有兩個根x₁、x2。這個沒問題，他說我發(fā)現(xiàn)有一個問題，如果我改動一下B。怎么改動呢？就是繞一個小圈子回到原來的地方，那么這個C也改動一點繞到一個地方。那么大家知道這個BC如果有點改動的話，那相應地兩個根應該有一點變動，這可以理解，他發(fā)現(xiàn)如果我這兩個參數(shù)繞一個小圈子的時候，這兩個根繞一個小圈子也回到自己那個地方，這個比較合理。他說但是如果BC自己繞的圈子大了，發(fā)現(xiàn)這邊出的是x1變成x2，x2變成x1了，這叫置換。也就是說這個地方的參數(shù)，就是這個方程這個系數(shù)僅僅是走了一段路，走的路就是離家遠了一點，繞的圈子大了一點，造成了兩個根之間的置換。他說這個地方可能會告訴我，這個就能提供代數(shù)方程的一般理論。

所以他從這個角度就證明了：一元五次方程為什么不可解呢，就是因為他發(fā)現(xiàn)這個兩條路徑的乘積再倒過來走，倒過來走就相當于回家嘛。就是這樣的一個閉合路徑，他用這個證明發(fā)現(xiàn)一元五次方程的五個根有120個置換，這120個置換就有120×120的這個表達式，叫對易式。他發(fā)現(xiàn)120×120個對易式里面有60個還是原來對易的結(jié)果，也就是說求這個地方對易的根的時候，要求你的根式套一個根式。可是這60個置換操作，再用60×60去求它的表達式，還是這樣表達式。也就是說如果對應根，你用根號下表達的數(shù)，外面得再套一層，結(jié)果就陷入一個死胡同了。如果這個根要用根號表示的話，就得根號套根號套根號，就套到無窮了。

這樣的話他就證明了一元五次方程的表達式，如果表達成根號套的話，就一定要有無窮多個嵌套，這就證明它不可解。大家看看一點：都說數(shù)學家聰明，數(shù)學家總是坐在桌子前面冥思苦想，大家看看算120×120個這樣的對易表達式，大家想象一下得多辛苦。所以說今天也借此，向我們的社會，尤其向管理科學的領導們指出一個事實：科學家首先是個體力活兒。大家千萬別誤以為科學家光是聰明，科學家首先是一個體力活兒。

一元五次方程既然有人說不可解了，當然總有人不服氣，說一定是可解的。英國科學家有一個叫杰拉爾的，寫論文說一元五次方程一般可解。結(jié)果愛爾蘭的著名數(shù)學家哈密頓給他審這個文章，花了一晚上給出報告說認為這篇方程很聰明，但是沒有解。沒有解讓提交文章的杰拉爾很生氣，又寫了一篇文章，干脆說我不僅能解一元五次方程，我能解一元任意次方程的解。結(jié)果這個論文又交到哈密頓手里審稿了，結(jié)果可能把哈密頓給惹著了。結(jié)果大家看什么叫神人，什么叫科學家，首先是體力活兒。哈密頓在1836年5月31號這一天，給這位杰拉爾用筆寫了124頁的長信，這一天用筆寫出124頁的審稿意見。告訴他你這個方法是錯的，是不對的。

那么為什么哈密頓能夠評價這個問題寫了124的頁長信告訴他這個不對呢？是因為哈密頓本人也研究一元五次方程，也有專門的專著研究一元五次方程。這個哈密頓，叫做威廉·盧云·哈密爾頓，請大家記住，這是我們這個世界上產(chǎn)生的一個最珍貴的名字，這個名字比牛頓這個詞兒更珍貴。這是唯一的一個在這個世界上任何一個時刻都有人在輸入的名字。就是哈密頓這個姓，是這個世界上任何一個時刻都有人在書寫這個名字的，這就是因為他。這也是我們學數(shù)學、學物理都繞不過去的一個人。那么這個事情的感慨，就是說一元五次方程不可解，為什么有人還要研究這個問題呢？就是我提醒大家的一件事情：做明知不可能的事情會有大收獲。這又讓我想起了我們的許多基金申請，賭咒發(fā)誓說這個事情可行，這個事情有意義的。好像不對。做明知不可能的事情會有大收獲。就是做不可能，你要怎么證明它的不可能，不可能里面往別的方向要蹚出路來，這也是做科學的一個很重要的方式。

我們既然說一元五次方程沒有一般的解，但并不表示一個特殊的一元五次方程沒有解。所以說對于一個特殊的方程怎么解，還是要有人在做這件事情。比方說給大家舉個例子，這個方程的解表達成這個樣子:

再舉個例子，這個方程x⁵=2625x+61500它的解表達成這個事情；

你看這些具體的解都不容易。還是那句話，請大家一定要記住：當科學家首先它是個體力活兒。

那么這個地方，同樣是解方程，解方程的層次可就不一樣了，這個大神來自德國哥廷根的一個大神Felix Klein。他專門的一本書研究一元五次方程，但是他把這個一元五次方程的解和正三角形組成的正二十面體具有五次對稱性的這個幾何聯(lián)系在一起了，然后這個嘗試就會帶出一門新的學問。待會我們會知道，后來當有一天我們的科學家在研究團簇、研究碳60、碳72、碳74的時候，突然發(fā)現(xiàn)人家這個學問早就準備了。

還有人更神，他不僅研究一元五次方程，研究一元六次方程，他研究一元無窮次方程。這是誰呢？就是來自瑞士那個小鎮(zhèn)子的歐拉。他研究一元無窮次方程，什么意思呢？他說一元無窮次方程應該表達成這樣，f(x)=(1-x/_?x₁)(1-x/x₂)…，一直乘下去。大家看：你取x=x1的話，那么第一項等于0，這個方程就等于0，這就成立了。你看多聰明，我看這個我就感慨我怎么沒有想到。

那么按照剛才的表達式，這個1/x1+1/x2+…+1/xn加起來，就等于我們的方程中一次的x的系數(shù)，這個沒有問題。他說我現(xiàn)在給你舉個例子，舉個什么例子呢？由sin√x除以√x，得出的這樣一個代數(shù)方程，就是1-x/3!+x²/5!-x³/7!…這就是無窮多次方程了，對不對？無窮多次方程要讓它等于0呢，這就是x根。讓這樣一個sin√x等于0簡單，只要√x等于nπ，這個表達式就等于0，也就是說nπ一定是這個方程的解。所以說用這個表達式1/x1+1/x2+…+1/xn呢，就等于-(1/π²+1/4π²+1/9π²+…),就等于x這一項的系數(shù)。這一項是1/3!就等于1/6。兩邊同乘以π，結(jié)果就能得出來1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+…，一直加到無窮大，等于π²/6，而這個竟然是著名的巴塞爾問題。他的老家就是巴塞爾。

請大家記住這個瑞士的小鎮(zhèn)巴塞爾，巴塞爾小鎮(zhèn)里面誕生了流體力學、剛體力學，和數(shù)學上那個嚇死人的“貝努里家族”。貝努里家族是我們學數(shù)學學物理人的一個噩夢，因為你當寫出一個貝努里方程的時候，你不知道這個貝努里是他爺爺是爸爸這一輩還是他孫子這一輩的，你也弄不清他是哪個貝努里。歐拉的爸爸是和貝努里家族交好，他投的是貝努里家族中約翰貝努里的門下，所以才年紀輕輕就成名的。這個點再再地提醒我們大家記住：天才是天生的是沒錯的，天才的第二步就是一定要遇到好老師。

那么我想看歐拉，不是我感慨了，很多人都感慨。有一本著名的書就是How Euler did it，就是歐拉到底怎么能干出來這個事的。那么大家都對他解題能力感到驚訝，我想感慨的是真正的大神是敢于直面嚇死人的問題。大家想象一下，如果我們給學生布置題目說請試試怎么解一元無窮次方程。肯定教育局說超綱了。這超綱算什么呀，就是說你要解決嚇死人的問題、敢于使用不合理的前提，有能力自己發(fā)明解決問題的方法與工具，才是真正的學術(shù)大神。

復數(shù)與超復數(shù)

一元五次方程這事說完了，回到我們的一元三次方程√-1的問題。我們現(xiàn)在是被人家像水牛強壓著頭喝水，接受了√-1，但是既然它有用，它就有合理，它就有存在的價值，那么它就應該有意義。

我們現(xiàn)在就要理解√-1到底是什么意義。到底是什么意義呢？我們看：首先，你接受了√-1，你發(fā)現(xiàn)那個解始終是a+b√-1，和a-b√-1的問題，這倆一直同時存在。你看這兩項一加，后邊√-1就沒了；你把他倆一乘，√-1也沒了。這就理解了我們說這倆要“共軛”。共軛是什么意思呢，共軛是說牛的：兩頭牛用同一個軛，用力就往一個方向去了，這個叫共軛。而共軛是我們數(shù)學和物理里面始終會用到的這個詞。共軛就是一對變量或一對某某關系的時候，說它們倆是共軛的。共軛的意思就他倆像兩頭牛一樣，要用一個軛才能往一個方向使勁。所以說將來我們這個領導干部配置，將來應該是根據(jù)共軛原則，它能用力往一個方向去。能夠把各種矛盾，讓我別扭的地方能夠消除掉。a+b√-1，和a-b√-1受它理解的時候，我們再理解我們方程如果有√2的時候，我們發(fā)現(xiàn)就是α+β√2，與α-β√2，他們倆相加相乘也把√2這個讓我不舒服的，也能甩掉。共軛它這個意義它是廣義的。你看這又給我們帶來了新的知識。

再往下，我們都認識到√-1，是能接受它了，接下來我們怎么也給它取個名字吧。所以到1637年，法國的這位數(shù)學家、哲學家、大神：笛卡爾，給他取個名字，說這是個imaginary number，是個虛妄的數(shù)，是一個虛無的數(shù)，或一個想象的數(shù)，所以就有虛數(shù)的說法了。到了1777年，起了名字，到這個名字有表達式，又花了140年。歐拉給引進了imaginary的第一個字母i來表示它，說√-1=i。這個√-1=i，我們中國的數(shù)學書里面也都是這么教的。對不對呢？不對，因為我們剛才說了：這倆(a+b√-1，和a-b√-1)必須同時存在。這個地方(b左側(cè))的-1是屬于它(√-1)的，這個地方(-)不是減，是它(√-1)的負號。所以說正確的理解應該不是√-1等于i，是√-1等于±i。寫成±i也不對，因為有人會把它理解成√-1，既可以等于+i，又可以等于-i。錯，是√-1，必須同時等于±i，這才是對的。所以可以理解成√1要同時等于1和-1，√-1要同時等于i和-i，4√-1，要同時等于1、-1、i和-i。這么理解的時候，你將來在數(shù)學、在物理應用的時候，你的應用才是對的。

既然我們接受它了，往前發(fā)展這個路就好走了，到1813年的時候高斯就把剛才這個a+ib或者x+iy這個東西，就把他稱為復數(shù)，就是復雜的數(shù)，就因為有這么一種奇怪的東西叫做復雜的數(shù)。但是高斯這種人就太厲害了，他那時候竟然能隨口說一句，說這種表達成x+iy的這種數(shù)，它里面有等級。(z=x+iy)這個是復數(shù)，還有比復數(shù)更是復數(shù)的數(shù)，他用拉丁語說：那是十足的陰影之陰影。就是我們今天說，我們學什么東西的時候，求你的心里陰影面積。你看那個時候就有這種表達了：他說這復數(shù)里面還有更復雜的數(shù)，那是十足的陰影的陰影。高斯這種人我們不說了，我愿意把他比喻成，就是從科學家的角度上說他是大鯨魚類的。我們都知道有個鯨落的概念：一個鯨魚如果死了的話，它能夠哺育一個小生物圈。高斯遺留下的著作里面，如果大家愿意研究的話，里面隨便往前發(fā)展一點的話，那都有的是內(nèi)容。

所以說，我們現(xiàn)在看高斯。既然我們接受了復數(shù)表達式，我們發(fā)現(xiàn)復數(shù)與復數(shù)相加，前邊叫實部相加，后邊是虛部相加。然后z1乘z2是這個樣子：(ac-bd)+i(ad+bc)，和z2乘上z1是一樣的，這就是我們小朋友在中學學的叫“乘法交換率”。但是到1863年Karl Weierstrass就證明了實數(shù)到復數(shù)這個地方是兩個交換代數(shù)的擴展，再也沒了。再往后再想有z1z2=z2z1這事是沒了，接下來我們會看這種事情。

我們會發(fā)現(xiàn)引入復數(shù)之后出事了，什么呢？就是當我們談a、b這種實數(shù)的時候我們經(jīng)常會比大小，但是當我們談復數(shù)的時候，a+ib和c+id的時候，我們沒法說他們倆誰大誰小。這是我們關于數(shù)的習慣地比較大小，這事兒就不能干了。這就逼得我們不得不去理解這個東西到底是什么意思。誰跟我們理解呢？還是要用幾何法，你用幾何你就能理解了。看幾何是怎么理解的：這是初中的時候經(jīng)常有這種題目，給你兩個長度a、b，再給你一個夾角α，你給我做一個三角形。這種題目都有。

大家看如果這個長度是a，這一段是b的話，夾角是在這兒，是和水平面夾角的。如果，大家看，這是夾角α，這個長度是a，那么這個頂點到垂線的距離就是asinα。如果b大于垂線這個距離的話，你畫一個圓的話，和它（基線）就有兩個交點。這兩個交點當作三角形第三點，A、P、B就決定一個三角形。當然了有兩個解，這個沒問題。可是如果是b要比這個垂線，也就是比asinα短的話，你以它(P)為圓心畫個圓呢，就沒有焦點了，好像這個三角形就不能畫了。結(jié)果有人說不對，這個三角形好像還能畫。怎么畫呢？他說你看這個垂線：那我用這個垂線當作一個直徑的話，我畫一個圓（綠色虛線）。那我以這一點(P)為圓心，以b為半徑畫一個圓，和這個圓（綠色虛線）交兩點，它也能得出兩個三角形，它也是由原來的兩個長度和一個夾角決定的三角形，不一樣是出題老師的意思嗎？但是你會發(fā)現(xiàn)有意思了，這個三角形（下圖）相對這個三角形（上圖）它往上挪了。也就是它提醒了我們大家，當出現(xiàn)√-1這種事情，它意味著是一個和水平面垂直方向的運動，往垂直方向挪了。

那這讓我想起什么呢？√-1這種存在，可能和上下運動有關系。這個就觸到知識盲區(qū)了。那么有沒有這回事呢？你會發(fā)現(xiàn)同時有很多人注意到這一點。誰呢？我剛才提到了1832年還隕落了一個大神叫薩迪·卡諾，Sadi Carnot。薩迪卡諾不僅厲害，他們家族將來會出現(xiàn)一個姓龐加萊的。大家不理解為什么卡諾家族會出現(xiàn)一個姓龐加萊的。這是一個據(jù)說人類歷史上唯一一個什么數(shù)學物理都會的。大家知道三體吧，三體就是他（龐加萊）的文章里來的概念，我們不提。將來他的一個侄子是法蘭西的總統(tǒng)，卡諾的一個侄子也是法蘭西的總統(tǒng)，這一家人太厲害了。那么熱力學創(chuàng)始人薩迪卡諾他爹，老卡諾，當年竟然出了一個幾何題：說這有一個線段a，在線段上找一點，把這個線段截成兩截，這兩截乘積等于線段平方的一半。也就是說，我把它寫成方程的話就是x(a-x)=a²/2，但是這個一元二次方程大家都會解了，解等于a/2+(±ai/2)。ai/2說明這個點就不在這條線上。另外一個法國人比埃就解釋，說這就可能意味著這代表這個點不在這根線上，在旁邊。a/2±ai/2，就是這個半截到這兒（線段中點）的距離，再往上這么多距離在這個點（X點），這一點（X點）到這一點（線段一端）的距離乘上這一點（X點）到這一點（線段另一端）的距離，就等于這個a²/2。當然這是直角三角形，大家用幾何做法一定就懂這個道理是怎么回事兒。也就是說，現(xiàn)在我們突然認識到ai/2這個東西，它不在你這一條線上，它是在旁邊。是個幾何意義。

這是數(shù)學史上真實發(fā)生的事情，沒想到有一天我會在我們的日常生活里也注意到這個事情。我的一位朋友帶著他的小女兒，我們知道小孩子嘛，有時候弄不清楚方向，所以這個媽媽就故意訓練她。年輕的媽媽就問：你現(xiàn)在在我的左邊還是右邊？小女孩想了半天，特聰明地來了一句“旁邊”。左邊、右邊這是一個一維的概念；當這個小孩子回答說在旁邊的時候，大家知道旁邊是什么，饒你一圈的時候，這個回答是對的。這突然告訴我們這是一個從一維空間到二維空間擴展的問題，也就是說復數(shù)是一個從一維存在的數(shù)，轉(zhuǎn)到二維存在的數(shù)。它天然地就可以用來表示二維空間里面的東西。這個例子也告訴我們大家，看見沒有，就是數(shù)學史上存在真實發(fā)生的事情，在今天依然發(fā)生在我們的日常生活里面。所以說我希望大家能記住這個故事的時候，就千萬別再誤以為那些高深數(shù)學有多么難，那些高深的數(shù)學和我們的生活它的聯(lián)系可能就是很緊密的，而僅僅是你不知道而已。

這時候在歐洲挪威有一個工程師韋塞爾Wessel，注意到了復數(shù)是可以表述成有方向的線段，其實就是“極坐標”。極坐標在我們中國的古詩里面早就有，極坐標的出現(xiàn)有2000多年了，而笛卡爾坐標，即直角坐標是1600多年出現(xiàn)的，請大家一定要記住。所以在我學數(shù)學的過程當中，我誤認為極坐標出現(xiàn)的晚，不對，極坐標是最自然的東西。大家記得我們中小學念的詩詞：西北望長安，可憐無數(shù)山。它指的就是方向+距離。極坐標是特別特別自然的，西北望長安，可憐無數(shù)山；方位角+距離。

這位韋塞爾是一個工程師，他就認識到用復數(shù)就可以表示成平面上的一點。這樣的話從原點出發(fā)就是線段。復數(shù)如果表示有方向的線段，突然發(fā)現(xiàn)特別有用。大家知道三個線段組成一個三角形是什么條件呢？你看，用復數(shù)代表這樣一個有方向的線的話，突然就是這么簡單的事情，就是：

也就是說如果這就是原點的話，有方向的線段加上有方向的線段加上有方向的線段，回到原點，這就是三角形。這就是一個三角形的一個不依賴于坐標系的表達，你看這就是所謂的最高深的數(shù)學，其實很早很早就有。這個地方我又要提醒大家一句，關于三角形我們上初中就學了，許多人肯定誤以為三角形已經(jīng)早會了。我提醒大家一句，關于三角形的內(nèi)容太多了，我們在中學教過重心、教過垂心、外心，大家就誤認為三角形可能就只有這幾個心，我告訴大家三角形里面幾何的心最少兩萬種，你才學三四種，才哪跟哪呢。那許多人肯定不服氣，說曹老師你又騙我，說三角形就是畫三條邊，怎么會有那么多內(nèi)容呢？你肯定騙人嘛，哪有那么復雜？你看不出這么復雜，是因為你看的角度不對，因為你是從這一點出發(fā)，畫一條線閉合了，說這個就叫三角形，你覺得沒有什么復雜的地方。但是反過來想，假設是這三個隨機的線段，隨便撒到這個平面上，或者撒到一個空間里，這三個線段碰巧湊成了一個三角形，請問這個條件有多么地難。那么如果你從這個角度來說，突然認識到一個特別難能夠達成的事情，它里面一定有特別多的內(nèi)容。從這個角度你就能明白三角形里面的幾何，可不是你我三天兩天能學完的。

現(xiàn)在我們就能理解了，這個復數(shù)是一個有方向的線，復數(shù)相乘就是這個方向夾角的相加。我們突然發(fā)現(xiàn)bi代表的東西如果是平方是負的，大家知道一個線段如果變成負的就是轉(zhuǎn)180度，所以bi*bi=-b，相當于b轉(zhuǎn)動了180度。轉(zhuǎn)兩次是180度，那bi轉(zhuǎn)一次就是轉(zhuǎn)90度。也就是說，如果你用實數(shù)表示水平方向的話，那么bi一定表示的是垂直方向，這就告訴我們復數(shù)表達的一個平面，就是一個笛卡爾坐標所表征的平面。這個地方我要提醒許多學理論物理的人，為什么我們的復平面和平面不是一回事，因為復平面只能用直角坐標，i代表的是90度的偏轉(zhuǎn)；而一般平面是可以任意兩個方向，只要它倆不重合，就能夠表征這個平面，這是平面與復平面之間還是有細微差別的地方。

現(xiàn)在我們來表達復數(shù)，復數(shù)有多少種表達呢？我們剛才已經(jīng)學了x+iy；第二種就是極坐標表達，就是說距離和方位角的表達；第三種我們將來會學，有這種rcosθ+irsinθ的表達；第四種就是這種一個模乘上一個相位角eiθ，這個θ就叫phase，相因子，這個就是我們將來通向規(guī)范場論的地方。那么還有沒有別的表示呢？有，比方說我們可以把a+ib表示成這樣的2*2矩陣(a,-b;b,a)，這個對角線都是a，這兩邊的b是-b與b。這樣的矩陣的加法和乘法就是復數(shù)的加法與乘法。那還有沒有表達式或表達矩陣呢？有，有很多，比方說將來你學四元數(shù)的時候，可以用四元數(shù)來表達復數(shù)。哎你不是說四元數(shù)比復數(shù)更復雜嗎，怎么用更復雜的來表達簡單的呢？這個地方又牽扯到一個哲學的東西，就是如果我們要用復雜的東西表達簡單的的東西，這是一種復雜向簡單的回歸，或者告訴你簡單里面也會內(nèi)置復雜，有一天你要能學會從高觀點下去看簡單的問題，你才能看出它的不簡單之處。回到比方說剛才的三角形，如果你學的就是在黑板上從一點出發(fā)畫一個三角形，你永遠想象不到它里面有多少內(nèi)容，但是如果你從高觀點，從高維空間說隨機的線段它們碰巧粘在一起能夠構(gòu)成三角形的時候，你就能明白它里面包含了多深刻的內(nèi)容。這也是俄羅斯有一套教材，關于數(shù)學物理教材，叫做高觀點下有效的xx東西，請家長關注一下這套東西，學會從高觀點下去看問題。

那么我們既然學了復數(shù)，復數(shù)有什么用？復數(shù)的用處太多了，比方說數(shù)論里面有一個說法，叫做任意兩平方和的乘積必定是兩整數(shù)的平方和，如果你從數(shù)論角度證明的話，這個可難證明了。但是如果用復數(shù)的乘法，就是復數(shù)乘復數(shù)等于復數(shù)，復數(shù)取模就是平方和，那就等于平方和，這是一個算法，算數(shù)，特別簡單。舉個例子，比方說(2+5i)×(4+3i)=-7+26i，這個意思是(2²+5²)x(4²+3²)，一定等于72+262，特簡單，算就完了，有什么好證明的？大家看到?jīng)]有，高觀點下看問題就能夠看出它的簡單，也可以看出它的不簡單。

那么第二個復數(shù)有什么用呢？就是用來證明幾何，我們都知道比方說這是一個三角形，從每個頂點到對面中點畫這三條中線，然后交一點，這就叫做重心。重心等于什么呢？幾何證明可費勁了，但如果用復數(shù)表示三個頂點位置的話，重心就等于三個頂點復數(shù)的算術(shù)平均，(za+zb+zc)/3就完了，哪有那么多事，然后用復數(shù)去表達線之間是平行的、垂直的，那就是實部虛部那一乘，到底等不等于0的問題，就特別簡單。

知道我們用復數(shù)去做幾何，將來同學們?nèi)绻敲舾械脑?#xff0c;你就知道天底下將來一定存在一個學問就叫幾何代數(shù)。學會幾何代數(shù)那物理表達就更簡單了，當然了，你們也一定知道將來還有一個學問反過來叫做代數(shù)幾何。

復數(shù)的用途太多了，有了復數(shù)接下來會有復分析、復幾何，等等，各種變換，都是用復數(shù)。我們在電磁學里面用復數(shù)的時候還是羞答答的，是當做輔助工具，去幫助求積分。而等到量子力學里面用復數(shù)就是赤裸裸的，因為學量子力學上來波函數(shù)一定是復數(shù)，量子力學的語言里面一定用復數(shù)。甚至復數(shù)不過癮，待會還有旋量，旋量很多人就不懂了。相對論表達有人誤以為是復數(shù)，不對，那是一個簡化，是約化了的四元數(shù)甚至是雙四元數(shù)，如果你懂這些數(shù)的時候再看相對論就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學好簡單。

這個地方我還提醒大家一句，就是關于復數(shù)將來會引入旋量，我讀過許多量子力學的書里面都會說描述電子這樣自旋1/2粒子用到的數(shù)學有多么神奇等等，是量子力學的神奇。直到有一天我發(fā)現(xiàn)我被他們騙了，在量子力學誕生之前，所有這些描述自旋1/2粒子的數(shù)學都發(fā)明出來了，只是你不知道而已。你不知道就在那兒糊弄別人，告訴他這個東西多神奇，量子世界多么難以理解，其實那數(shù)學早就有了。關于量子力學表達的虛張聲勢是由這些人不知道數(shù)學造成的，那個東西數(shù)學早就有，而且特簡單。

四元數(shù)的引入

接下來故事就有意思了，我們說復數(shù)能夠表示我們二維平面里面的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動特別好玩，這個復數(shù)a±ib就是實數(shù)3±1，5±2的一個擴展。這種3±1=（2，4）在一條直線上，a±ib變成平面的擴展，立馬就有人說一件事情：不對，我們生活的空間不是二維的，我們生活的空間是三維的，所以如果有一個數(shù)能夠跟它描述二維空間里面的物理似的，能描述三維空間的物理那多爽呀。所以這就有人想把a±ib這樣一個描述二維的數(shù)給表示成描述三維的數(shù)，這個事兒是誰干的？就是剛才我提到的那個哈密頓，哈密頓想：這樣一個數(shù)什么復數(shù)不復數(shù)的，它就是一對數(shù)而已，只要它的加法和乘法弄對了，你寫成什么樣都無所謂，所以請大家記住形式不是重要的，重要的是它的算法，它的加法和乘法是什么樣子決定什么叫復數(shù)，而不是你把它寫成什么樣子。

既然需要一個這樣描述三維空間世界的，那我就去發(fā)明一個能夠描述三維空間轉(zhuǎn)動的代數(shù)三重數(shù)，(a,b,c)這樣的數(shù)，我只要找出它的算法，能夠表示成三維空間里面的事情不好嗎？當然好了，所以這位老先生就開始忙這件事情。剛才我提到這個人的姓名是世界最重要的名字，每一秒鐘都有人在輸入，我給大家講一句他的故事這個人有多厲害呢，這個人是他叔叔帶大的，叔叔是中學老師，3歲的時候跟他叔叔。叔叔就開始教外語，學了十年，3-13歲學的都是外語，學完了從他老家愛爾蘭經(jīng)過整個歐洲，經(jīng)過小亞細亞，經(jīng)過波斯、印度，這一路上所有的語言都學完了。從3-13歲學完了從愛爾蘭經(jīng)過整個歐洲，經(jīng)小亞細亞、歐洲、波斯的范圍，甚至他還會點馬來語，就已經(jīng)學完了。21歲大學沒畢業(yè)的時候就被聘為了教授和天文臺臺長。

我們現(xiàn)在中國學霸這個詞兒特別泛濫，請大家對照一下看誰還好意思管自己叫學霸？而且到這一點的時候我特別提醒一句我們的外語學習的問題，我們從幼兒園許多家長就急哄哄地送孩子學英語，結(jié)果到博士了還有考博士英語，也就是說為了考英語許多人就能考20多年，這是一個特別浪費時間的事情，不帶這么玩兒的。好好想想怎么學習外語的事兒，有空咱們再聊這個事情，今天咱們先聊怎么學數(shù)學。

哈密頓現(xiàn)在要發(fā)展出三元數(shù)，(a,b,c)這樣的三元數(shù)，能夠表示我們?nèi)S空間的物理。那么怎么發(fā)展三原數(shù)呢？當然簡單了，二元數(shù)是a+bi，他現(xiàn)在說a+bi后面再+cj；i的平方等于-1，那我要求j平方也等于-1不就完了嗎？加法當然沒有問題了，我們來看乘法：a+bi-cj如果乘以自己的話，等于沒有i項的、有i的項、有j的項，結(jié)果出現(xiàn)ij+ji的這一項，這個東西怎么辦？他發(fā)現(xiàn)如果你要求ij等于0，或者要求ij等于負的ji的話，這項都能抹掉。這一個問題解決了，但是他發(fā)現(xiàn)如果這是兩個相同的三元數(shù)乘積，如果你要算任意兩個三元數(shù)乘積，或者任意兩個三元數(shù)模平方乘積的話，它麻煩了。因為什么呢，他發(fā)現(xiàn)這樣構(gòu)造的三元數(shù)乘積結(jié)果永遠是四項，就永遠多出一項，這個東西不好玩了，所以這個問題他就老解決不了。

老解決不了大家看出現(xiàn)了一個什么事情？哈密頓從1830年，25歲的時候開始考慮這個問題，結(jié)果考慮一段時間放下了，過兩天又拿起來，拿起來沒有搞定又放下，結(jié)果一使勁就考慮了13年，這個問題還沒有解決。因為他13歲離開，學完那么多外語，21歲沒畢業(yè)就是大學教授，30歲封的爵士，所以他的名氣太大了，名氣太大就會招天下的英才上門討教。結(jié)果在1843年夏天的時候有一個19歲的德國人Eisenstein來拜訪他，到英國來看哈密頓，雙方進行了親切友好的談話，這個談話沒有談多久把哈密頓嚇一跳。哈密頓說這個德國小伙子太聰明了，數(shù)學知道太多了，如果我要不趕緊把剛才這13年的事兒干出來的話，估計這個新代數(shù)就會被這個德國年輕人先干出來。他說先把別的工作放下來，專心做這件事情，這是6月份的事情。

1843年10月16號這天下午，哈密頓和他的夫人在沿著愛爾蘭運河去開會的路上突然靈光一現(xiàn)，說既然兩個三元數(shù)乘積永遠等于四項，13年沒解決這問題，那從一開始就是四項不就完了嗎？大家看到?jīng)]有，這就是一層窗戶紙的事情，他能夠琢磨13年沒有琢磨清楚。老是三項乘積等于四項，那一開始四項不就完了嘛，所以這個數(shù)一開始就是a+bi+cj+dk這樣一個四元數(shù)。這個ijk平方都等于-1，就像原來的i一樣。然后它的乘法就是ij=k，jk=i，ki=j，這不就完了嗎。所以這位老兄當時想出來了，特別激動，又生怕待會忘了，就從地上摸出一塊石頭，趕緊把這個公式刻在他路過的那個橋上，生怕忘了，接著去開會去，會上就告訴他科學院的同事們說我剛才想到了這個問題，下周來給大家報告。這座橋就是愛爾蘭的Broome橋，世界上最重要的科普基地，因為這座橋上就刻著重要的公式“i²=j²=k²=ijk=-1”，這是人類史上最重要的，因為1843年10月16號下午，這都是有點的這樣一個創(chuàng)造。

這個創(chuàng)造出來以后就很有意思了，這個四元數(shù)乘上四元數(shù)還等于四元數(shù)，四元數(shù)乘出來雖然都還是四元數(shù)，大家看到?jīng)]有，表達式特別復雜，既然表達那么復雜那么長，那么麻煩，這就是一種危機。這是我們常說的一句話，危機意味著機會，對不對。因為乘法太長了以后，逼的這個人不得不對這樣一個表達式做簡化，要提出新概念，要把四元數(shù)表示成兩個部分的和q=r+v，前面這個東西他管它叫做標量，后面三個加在一起他管它叫矢量。也就是說我們今天在數(shù)學在物理里面學了那么長時間矢量標量，我們一頭霧水的東西，其實是四元數(shù)的兩部分。

知道這樣一個矢量和這樣一個標量，它們倆的相加、乘積就引出了這個乘積的表達式：這就是兩個矢量的點乘、叉乘，這就是我們讀研究生、讀大學的時候電動力學里面的點乘、叉乘的概念。當年我學這個東西是學的一頭霧水，而且重要的是不管是在我們的中文課本里面還是西方語言的課本里面，關于矢量這個概念基本定義都是錯的。我們漢語的矢就是弓箭，就先天地以為說它像弓箭一樣是個有長度、有方向、有箭頭的一個量。錯，矢量這個意思本身叫vector，叫承載、叫疏運，就是我們雷達車或者如果一條狗，狗身上帶跳蚤的那條狗就就叫vector，叫做承載者、攜帶者。這個vector本身只要滿足這種線性的加法和乘法它就叫vector，它可以有長度、有方向，但是它不必須要有長度和有方向，這是重要的。這就是為什么我們，尤其是我當年學電動力學的時候看的那些點乘、叉乘亂七八糟的那一堆公式，老師也不懂，然后我們大家就跟著背，背了過兩天又忘了，為什么？就是因為我們根本不知道標量和矢量是四元數(shù)兩部分，就是滿足四元數(shù)的加法和乘法。只要知道四元數(shù)的乘法，所有這些公式都是自然而然的，根本不需要背。

這就帶出來一個很重要的現(xiàn)象，到底是怎么造出這個現(xiàn)象的，就是電動力學書。大家回憶一下電動力學書，國內(nèi)用的是郭碩鴻先生的，美國著名的是杰克遜的經(jīng)典電動力學，它們后面都有兩頁點乘叉乘這種公式，大家看這個公式記起來是不是特嚇人。當年我記這東西也記不住，我考試也不及格，我現(xiàn)在突然想明白一個問題，大家想象一下，一本書后面為什么要列兩頁公式？那什么意思呢？意思是說它根本沒有指望你會，對不對，這本書后面列了兩頁公式就是讓你查的。讓你查的意思就是你是不會的，而且你學完我這個課你還是不會。

可是我們的學生中間有優(yōu)秀的學生，幾年前我在武漢大學做講座的時候，做完講座我要到機場，結(jié)果有一個男孩子一拉車門坐進來的時候說老師我送你去機場，我和你聊幾句。這個學生是哈爾濱人，大二的學生，他就問出了如下這樣的一句話。說曹老師我讀了杰克遜經(jīng)典電動力學，我覺得他有問題，但是我不知道是什么問題，你告訴我是什么問題。那我告訴他什么問題呢，就是因為關于這個地方的問題，這一個把標量和矢量分割開來是一個熱力學統(tǒng)計物理的奠基人吉布斯，是個美國人。當年到歐洲留學，回來把這兩部分給砍斷成兩截，然后又因為美國后來成為世界科學的中心，流毒甚廣，造成一個錯誤。而且我們大家一定要知道，電動力學要點是講電流怎么產(chǎn)生電力、產(chǎn)生磁場，所以它研究的是電流，但是電流是線。所以說研究電磁學，研究電流的學問一定要用線的代數(shù)，這個詞兒叫Linear algebra，我們漢語把它翻譯成線性代數(shù)，是我們的中國理工科大學都要學的。而這個翻譯是完全錯誤的，因為從線性代數(shù)你不知道它是干嘛的。它不是線性代數(shù)，它是線的代數(shù)。就是說是點的代數(shù)到線的代數(shù)，到面的代數(shù)，這是一個幾何的東西。它的幾何這個線的代數(shù)的數(shù)學就是后面的四元數(shù)和后面發(fā)展的Clifford代數(shù)。你把代數(shù)弄對了，學問就弄對了。

這也是又回到回答剛才主持人的問題，就是我為什么去講這些問題呢？就是因為這些都是我當年學過的，受了很多委屈，我現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)不是我當年不好好學，是因為那書也不對，那老師也不會。

現(xiàn)在我們回到四元數(shù)的表示，我們看四元數(shù)是可以表示成2×2的矩陣的。我們剛才說了復數(shù)可以表現(xiàn)成2×2矩陣，四元數(shù)也可以表現(xiàn)為2×2矩陣，但是它的每個矩陣元是復數(shù)，是a+ib、a-ib這種形式。這是一個2×2的復數(shù)矩陣，它里面有幾個數(shù)呢，abcd四個獨立的數(shù)，所以我可以把這樣一個2×2的矩陣當成一個矢量，它有四個方向的基矢量。這（第一個）基矢量這是單位基矢量不提，這后面這三個基矢量是什么東西？實際上就是我們上大學時候?qū)W的Pauli矩陣，量子力學的泡利矩陣。當年我學量子力學的時候就覺得泡利好聰明，他怎么得出這個矩陣。現(xiàn)在我明白了是人家小時候上的課課本里面有，不是泡利發(fā)明的、多聰明的，他小時候?qū)W的課本里面就有。

而且我在不同的地方給大家講過了，泡利上中學的時候有多滋潤呢？是因為他爸爸上大學的時候同班同學遇上個大神叫做馬赫，他爸爸同學馬赫不是大神，但是馬赫的爸爸，恩斯特馬赫，是數(shù)學家、物理學家、哲學家，是大神。當然請大家記住，一個天才一定要長的好看，討人喜歡，這個泡利就長的特別討人喜歡，就深受他爸爸的同學的爸爸，恩斯特馬赫大神的喜愛。所以這個爺爺級的大神恩斯特馬赫能愿意做他的Godfather，做他的干爸。他小時候這位大神指導他，就說最頂級的愛因斯坦想攀都攀不上的大神，恩斯特輔導他。

等到泡利上中學的時候，馬赫說歲數(shù)大了，我輔導不了你。結(jié)果怎么著呢？從維也納大學派了一個數(shù)學教授維特厄，就是我們上大學學量子場論里有對x和對z的共軛求微分的那個表達式的那個維特厄，去輔導他的初中數(shù)學；從維也納大學又派一個理論物理講師輔導泡利的物理，這也就是為什么泡利高中畢業(yè)進入到慕尼黑大學的時候，慕尼黑大學物理大神索末菲說我可沒有啥教你的了，你的水平太高了，就是這個道理。所以說教育這個問題如何提高老師的素質(zhì)，如何讓全社會里面特別有學問的人抽著空利用吃飯時間，或者利用旅游時間多給孩子講講課這點太重要了，一定要請大神。這就是四元數(shù)。

接下來如果你把四元數(shù)每個虛部寫成兩個泡利矩陣的積，那么你可以把四元數(shù)表達成這個形式：q=a+bσ3σ2+cσ1σ3+dσ2σ1，這就是bi+cj+zk的問題，i就對應了兩個泡利矩陣的乘積，也就是說這告訴我們i和j和k它不是一個線方向的東西，它是個面的東西。

又回到剛才我們說的，我們學代數(shù)要學點的代數(shù)、線的代數(shù)、和面的代數(shù)，四元數(shù)是面的代數(shù)，所以說ijk是面的方向，這個ijk本身構(gòu)成三維空間的矢量，但他們本身是面的量。這一點我今天竟然遇到一個人，他說他中學的時候老師教右手定則就是ijk乘法右手定則，他覺得別扭了。我再說一句，就是如果你上中學的時候老師教你右手定則你沒有覺得哪別扭，那大概你學物理數(shù)學就學不出來了，就是那里面明明有問題，你感覺不著，有人是有感覺的。

那么四元數(shù)還能表達什么呢？四元數(shù)可以表達4*4實矩陣，abcd都是實矩陣。這種4*4的矩陣，因為又四個獨立的數(shù)，我也可以當他是四維的矢量，它的基矢量是這四個矩陣：

你看這四個矩陣想到什么了？這就是我們量子力學的“狄拉克矩陣”，狄拉克矩陣可以由泡利矩陣構(gòu)造。有人就說狄拉克矩陣是從泡利矩陣里構(gòu)造的。狄拉克說不對，那是我自己構(gòu)造的，其實他們倆誰不是自己構(gòu)造的，都是原來有的。你只要讀哈密頓的書，哈密頓的四元數(shù)入門里面都有。

所以到這個時候我特別想說一句感慨，就是我們學物理，尤其是學理論物理為什么感到困難，就是因為我們在開始學之前不知道它所需要的數(shù)學，學了之后也不知道人家需要這些數(shù)學。所以如果你沒學過這些數(shù)學，學這些內(nèi)容就覺得人家好神奇啊，太厲害了。如果你要學過這些數(shù)學，你就覺得好自然，它本來就應該是這樣子。這就告訴我們大家，學物理一定要有一個習慣，既然選擇了學物理，就一定要好好學數(shù)學，因為數(shù)學是物理的語言。你如果是學物理，不去數(shù)學，你會花很多的功夫還不明白，都苦死了。

那么我們看四元數(shù)有什么用，就剛才還是四元數(shù)完全平方的問題。就很簡單地，就能證明四個整數(shù)的平方和和另外四個整數(shù)的平方和的乘積還是四個整數(shù)的平方和。這是大神歐拉1748年不知道怎么算出來的，可是你用四元數(shù)乘積特別簡單就能算出來了。我給大家舉一個例子，同學們記住這個例子，回去嚇唬不會的同學：(1²+2²+3²+4²)(2²+3²+4²+5²)，你很輕松地就可以用四元數(shù)乘法，就能算出來等于36²+6²+12²+12²。就是一個簡單的算式。但是你從數(shù)論的角度，想得出這個結(jié)果，那你就累死了，只有大神能干出來。

歐拉大神厲害到什么程度呢，我請大家記住，他晚年已經(jīng)是瞎了，已經(jīng)完全看不見了，但是他還差不多保持著三天一篇論文的記錄。而且最重要的是歐拉現(xiàn)在去世已經(jīng)230多年了，他的論文整理還沒做完呢，想象一下他做出多少成就。所以說，這個地方又是我以前的一個感慨，如果用數(shù)論證明特別難，用四元數(shù)算的話特別簡單，就是一個例題。我特別想說一句，你的累死累活，如果不掌握方法，不過是別人的輕描淡寫。尤其是前兩天有人算算自己一年掙的錢，再比較一下別人的罰款，說從老祖宗是猴子的時候算，我掙錢都沒有人家掙的多。不對，單位時間掙的錢數(shù)不對，這就是跟這個一樣，層次不對。你如果把它限制在數(shù)論層面，這個問題就是個頂天的難題；算成四元數(shù)，這就是一個習題。

那么四元數(shù)有什么威力呢？四元數(shù)的威力可大了，因為四元數(shù)有個很重要的性質(zhì)，就是q₁q₂不等于q₁q₂，也就是說四元數(shù)乘積順序不能顛倒。不能顛倒意味著什么呢？你會發(fā)現(xiàn)日常生活里面許多東西是不能顛倒的。比如說早晨起來你是先洗臉還是先刷牙，你發(fā)現(xiàn)這個問題好像不太重要，先洗臉后刷牙，或者先刷牙后洗臉都沒關系。但是穿鞋與穿襪子好像這個順序就不能倒，先穿襪子后穿鞋還是先穿鞋后穿襪子，好像這不行。也就是說我們的自然里面是有這種前后順序不能顛倒的物理過程，如果前后順序不能顛倒的過程正好有了前后乘法不能顛倒的數(shù)，你就知道這個數(shù)可能就是描述這個物理。比方說轉(zhuǎn)動，前后不能顛倒，四元數(shù)就乘法不能顛倒，于是乎你突然認識到，四元數(shù)本身是可以用來描述乘法的。而且而這個乘法不是a*b，是先乘一下，然后再還要倒回頭的這種乘法，而且最重要的意思是你繞著一個方向轉(zhuǎn)出θ角的時候，對應著是相當于用的是角度為φ的四元數(shù)乘積結(jié)果。相當于這個矢量，繞著它矢量的這個方向轉(zhuǎn)φ/2角。然后突然你會發(fā)現(xiàn)量子力學關于電子自旋的1/2是哪里來的你突然就知道了。

當年我們學這些東西的時候看日本人J.J.Sakurai的量子力學去描述這個轉(zhuǎn)動。哎，我都神奇死了，我就不懂。我讀理論力學的時候，理論力學人用歐拉角描述轉(zhuǎn)動，然后我就一步一步跟，我也跟不會，當時我就直覺覺得它一定是錯的。當然我們那時候老師不理你，你要是認為他錯了，你題沒作對，反正給你不及格。但是多年之后我終于發(fā)現(xiàn)它確實是錯的，歐拉角描述這個轉(zhuǎn)動，一不能構(gòu)成群，二不唯一。所以，歐拉角描述三維轉(zhuǎn)動，有工程上能用，但是它不構(gòu)成學問，而三維轉(zhuǎn)動要用四元數(shù)來描述。就是我現(xiàn)在覺得特別有種沖動要找當年的老師再找?guī)追只貋?#xff0c;真的不是我不會，是我竟然能認識到那個學問是錯的。

這個地方感慨的是從前的歐拉轉(zhuǎn)動定律的證明特別繁雜，但是用四元數(shù)就是簡單的乘積。這個地方我的感悟是一個問題為什么復雜，它是由于你看問題的層面低才復雜的，比方說像我這樣的科學家做一個課題，需要百八十萬塊錢的時候這就是一個特別復雜一個了不起的事情，可是從國家科技布局的科技問題，你那一百萬算什么錢呀。對吧，你把層面放的足夠高的時候，問題就簡單了，就沒那么復雜。這一點其實是非常重要的一個問題。

OK，現(xiàn)在我們看四元數(shù)作為乘法的問題，我剛才已經(jīng)提了，格拉斯曼在1844年的這本擴展的學問里已經(jīng)提供了16種乘法，而同學們你們其實在小學的時候就應該注意到兩種不同的乘法。比如說3×4，這就是簡單的兩個數(shù)的乘，可是一個籃子里有3個蘋果，2個籃子里面有6個蘋果，2×3，前邊的“2”就是算符，而不是兩個蘋果。就后邊的3是3個蘋果，前邊的2是加倍，是操作，是多方一籃子在這兒，它是個動作。你看這些乘法我們小學老師都不跟我們講，所以說乘法這個事情，有各種各樣的乘法，有2×3=6，也有2m×3m等于6m²，也有兩個矢量乘法等于點乘+叉乘的方法，也有v’=qvq^-1這種先做q的逆乘上它再乘以它的乘法，這叫共軛的乘法。也就是說世界上乘法有很多很多種，目前為止基本上許多人一輩子乘法就學到這兒（帶單位的乘法），許多人學物理的人乘法都沒學到這兒（矢量乘法），在這兒說什么能量、物質(zhì)，其實就是不懂這個公式。懂這個公式，就沒那么事情了。

這就說明什么呢？這就說明乘法這個東西，前邊的東西叫算符，后邊被乘的東西叫乘法的對象，乘法的對象要發(fā)明的，要找著的。我們看復數(shù)的乘法，復數(shù)乘上復數(shù)還等于一個復數(shù)，復數(shù)乘上一個這樣二階的列，還等于二階的列，這個二階的列和復數(shù)是可以等價的，所以當年我們做2×2的矩陣，實數(shù)矩陣這么乘的時候，好像覺得這倆不是一回事，但是也沒覺得怎么不是一回事，因為它（矩陣(x,-y;y,x)）與它(二階列(x,y))可以等價，所以就沒覺得有什么事情。可是當我們用四元數(shù)乘積的時候突然事情就不對了，因為四元數(shù)乘以一個四元數(shù)等于一個四元數(shù)，四元數(shù)乘以兩個分量的兩階的東西等于兩個兩階的東西，但是這個東西和四元數(shù)是不相等的，也就是說這冒出一個嶄新的對象，被四元數(shù)乘的這個東西有個嶄新的對象。這個嶄新的對象就是去年得諾貝爾獎的這位大神，特別善于玩的東西叫旋量。也就是我們有四元數(shù)之后，近60年之后才找到四元數(shù)乘法的對象，叫spinor，叫旋量，花了60年的時間。這個東西就是描述轉(zhuǎn)動，描述粒子自旋性質(zhì)的數(shù)學。我當年學量子力學就被他們說，這是一個多么多么了不得的東西，是量子力學的神奇的東西，其實不對，就是簡單的數(shù)學。

1843年10月16日，就發(fā)明了四元數(shù)，我們的哈密頓告訴了他的朋友格萊烏斯，格萊烏斯兩個月之后就發(fā)明了八元數(shù)。八元數(shù)就是一個實部加上7個虛部，八元數(shù)表達方式有多少種可能呢，有480種可能。480種可能太復雜今天就不提了，但我提醒大家一句：八元數(shù)不僅他倆乘積的順序不能顛倒，而且是三個數(shù)相乘的順序，不是先后順序而是先干哪兩個乘法，這個順序也沒有。也就是說我們小學乘法的那個叫乘法的結(jié)合率，也不存在了。現(xiàn)在就回到一個問題，我們小時候?qū)W算術(shù)，不就學123456這種算數(shù)嗎。老師在教我們說乘法有交換率，有分配律，你們沒覺得哪兒奇怪嗎？這種東西都知道2×3=3×2，2×3×4，先做2×3，還是先做3×4是一樣的，你老是說乘法交換律、分配律干嘛，沒必要啊。為什么呢？就是因為真實的數(shù)學不是這樣的，真實的數(shù)學是當我們發(fā)明了八元數(shù)，我們想干成十六元數(shù)根本干不著的時候，我們才總結(jié)乘法是有這種交換律、分配律，并且到八元數(shù)的時候交換律違背完了，分配律也違背完了，往下你沒路可走了，所以再也沒有了。所以說這個世界上，只有一元數(shù)、二元數(shù)、四元數(shù)、八元數(shù)，四種情形，這叫做Hurwitz定理，這個地方我們不說四元數(shù)，我們說乘法的交換律與分配律。

這就讓我有一個特別重要的感慨，它提醒我知道一個最根本的事實：許多東西不是因為它有你知道它的存在的，是它沒有的時候，你才知道它的存在的。比方說很多年輕人，你不知道你戀人對你有多好，或者對你多么有意義。等有一天你失去他的時候，就知道他有意義了。或者像我們中國的古詩里面，我們父母對我們的愛是毫無條件的，所以父母在的時候，你也管不著他們的事。因為他在，所以你不覺得他的存在，可是有一天當他不在的時候，你才突然認識到他存在的意義，所謂我們古詩里面說最悲傷的事情是“子欲養(yǎng)而親不待”，他不在了你才能知道意義。而且這些對于我們在學問上也是對的。我們作為一個中國人，整天說中文，其實我們對中文的語法、中文的構(gòu)思，一般人幾乎都沒有認識。可是如果你跳出去，你如果用另外一種語言說話，用另外一種語言思考，你回頭看我們中國語文里面的時候，會發(fā)現(xiàn)中國語文里面有很酷的東西。比如說當年法國人要判斷羅塞塔石碑上面字的時候，就注意到中國字的特別重要的東西，就是中國字是從鳥獸演化過來重要的過程，就是象形字，光表意，山、水，大家都知道，到有一天發(fā)展出既表意又表音，到發(fā)展到有一天我們的字不表意只表音。大家聽這三個階段，腦子里想想哪些漢字你能想出來只有圖象，圖像+音，和只有音的。像玻璃、葡萄是音，放在一起才有意思，像粘，米字旁一個占，它就有意，同時又告訴你音。這都是語言發(fā)展過程特殊的東西，你從另外一種語言來看的時候才突然懂得這些東西。

現(xiàn)在我們看代數(shù)的規(guī)則，我們剛才說了有交換律和結(jié)合律的問題，一元數(shù)，就是實數(shù)，都有；二元數(shù)都有，四元數(shù)就沒有交換律了，只有結(jié)合律，八元數(shù)結(jié)合律交換律都沒有了。都沒有的時候我們才認識到有這些規(guī)律。我再提醒大家一句：無是個非常重要的存在，從無里頭我們才能理解一些有。

說完了這么多，先說數(shù)，復數(shù)、四元數(shù)，由四元數(shù)產(chǎn)生的現(xiàn)代代數(shù)，現(xiàn)代代數(shù)上面發(fā)展的Clifford代數(shù)，這些東西是我們學電動力學、學量子力學非常重要的東西。比如說我們許多研究磁學的人，到現(xiàn)在不知道磁場B在數(shù)學上到底算什么，這是今天我們給大學生研究生留的第二個作業(yè)，磁場B在數(shù)學意義上到底是個什么？相對論也會用到雙四元數(shù)，八元數(shù)的物理現(xiàn)在有人在研究，但是沒有什么結(jié)果。

當然像復數(shù)、四元數(shù)，當20世紀誕生了量子力學以后，復數(shù)一瞬間就風光無限。這有很多學問，我們學物理、學數(shù)學，會學經(jīng)典力學、經(jīng)典光學、波動力學、波動光學、波動力學就是所謂的量子力學，電動力學、相對論、代數(shù)、代數(shù)方程、復數(shù)、超復數(shù)等等，這么多學問學科都跟螞蚱一樣，你覺得很散，但是這么多螞蚱用一個繩索能串起來，就是這個詞：Hamilton。所有這里面的東西，你如果熟悉Hamilton的工作，這些東西就能串起來了。這個人叫William Rowan Hamilton，我再提醒大家一句，13歲學完一大堆外語，21歲大學沒畢業(yè)的時候成為教授和天文臺臺長，30歲封為爵士。

群論

我剛才費勁講了半天都是比較淺顯的東西，現(xiàn)在稍微進入有一點深度的東西是群。我們老祖宗有一句話，叫“物以類聚人以群分”，你看這個成語多酷，群是用來給物分類的，這門學問都在這兒呢。

那么這一門學問有沒有呢？我們看法國有一個電影，三部連續(xù)劇，第一部是《棋牌在哪里》，第二部是《人們又找到棋牌》。這里面有一個故事，一個德國兵逮了兩個法國俘虜，讓他們?nèi)績深^奶牛過來，給俘虜?shù)姆▏姽賯兒扰Ｄ獭５桥２宦犜?#xff0c;結(jié)果牛跑散了，兩個法國人也跟著跑散了，押解的德國士兵們就不干了，說“Gruppieren”，就是德語的“組織起來，你們不許跑”。法國人聽不懂，Gruppieren是什么意思？Ah, Gruppiere（群）, Ca veut dire Ensemble(集合，系綜)。我明白了，德國人說的Gruppiere，就是法國人說的集合系統(tǒng)。你看“集合”這個概念就是中國漢語統(tǒng)計物理書里面最難的東西，所以叫系綜，我們把它翻譯成“系綜”了，其實在法語里面統(tǒng)計系綜和數(shù)學的集合是一個詞。為什么我們學東西都是那么費勁，很多人家一個詞在中國，同一門學科里面都分成不同的詞。數(shù)學物理，又單獨地不同地翻譯，讓我們學習得苦死了，現(xiàn)在我們就明白了有一個Group，叫群的東西，群的這門學問加上微積分、加上變分法、微積分方程，就是我們學物理人必備的四大數(shù)學工具。

經(jīng)常有人把物理學，把我們的宇宙比喻成一個毯子，毯子上邊有特別漂亮的圖案，這些圖案是對稱的。但是怎么描述一個毯子，或者怎么織布的圖案，就要用群論。比方說關于布上的花樣，就只有17種空間群。大家都想象不出來我們中國的老祖宗有多聰明，二維平面布的花樣或者窗欞的花樣，只有17種空間群。如果大家有空到寧波的天一閣，你看它的窗欞，它幾乎17種空間群的窗欞都有的，甚至在最后有一面墻上，把這些窗欞放到一面墻上給你一個總結(jié)，讓你看清楚。這些都有，但是沒人懂這個。

過去幾年我講了相對論、量子力學，我突然發(fā)現(xiàn)這些智慧都在老祖宗里面。比如說相對論，我們北京西山大覺寺乾隆皇帝提的字，提的八個字的匾：“無去來處，動靜等觀”，就把相對論的精髓全說清楚了。葛洪的抱樸子里面有枉曲直湊，就是說你把直的給它弄硬弄彎了，就弄成曲的了。過去做車轱轆，你不都用直的木頭一點一點彎，彎成這樣的曲的嗎，所以說枉曲直湊，這一句就把微分幾何的所有思想說清楚了。那么今天關于群論的，物以類聚人以群分，這個出自于《戰(zhàn)國策》。所以看著這幾個相對論、微分幾何、群論，我特別感慨老祖宗什么道理都說的那么深刻，怎么沒本事把它發(fā)展成一個學問體系呢？最深刻的思想全說清楚了，怎么不把它弄作一個理論呢。

現(xiàn)在看群，群就是一個集合，一堆東西。這一堆集合里面元素可以互相乘，就是乘法。大家又學了一種新的乘法。這個乘法的結(jié)果還是在這個集合里面，這個就叫群。所以群是這樣的元素，乘法結(jié)果除了還在集合里面，肥水不流外人田以外，還滿足三個條件，第二條是要滿足結(jié)合律，這點很重要；第三條要滿足有單位元，就有一個東西乘不變，也就是說我們平常自然數(shù)乘法里要有個1；第四條是要有個逆，就是有一個東西乘了以后，再乘上另外一個元素等于沒變。它是一個特殊的集合，這個集合的乘法要有逆。就有點像我們的電梯，有些電梯按錯了就不讓你逆了，但有些單位的電梯就有逆，你按8樓錯了，再按一下就回來了。這一類有特殊的乘法的集合就是群。

其實群大家都熟，比如說平常的自然數(shù)，加法當作乘法的話，任意兩個數(shù)相加，還在這里面，它就在這個集合里面；加法滿足結(jié)合律就不說了，一定有一個單位元，單位元是0，因為任何一個數(shù)加上0，還等于它本身，沒變；每個數(shù)都有一個負數(shù)，是它的逆，你看這樣就滿足了。然后復數(shù)的乘法，1，-1，i，-i，這四個元素你用復數(shù)的乘法的話，乘積結(jié)果一定在里面，一定滿足；然后有單位元1，也都有逆，你看見了沒有，這些集合就叫群。你發(fā)現(xiàn)x4=1的四個根就構(gòu)成了群，或者剛才說的四元數(shù)都加上正負號，這八個元素就是Q8群。這些群都會在自然界里面有對象，能夠讓我們描述它的性質(zhì)。

不跟大家講細節(jié)了，只是告訴大家剛才我們有群這個東西，只告訴大家群元素貌似是等價，但是請大家記住，群里面一定有更深層次的結(jié)構(gòu)。有點像我們說你是哪兒的，我是物理所職工，物理所職工上千號。從物理所職工，這個角度大家都是等價的。但是不對，里面一定有各種各樣的結(jié)構(gòu)，理解這樣的結(jié)構(gòu)才算理解了這個群。我們對別的單位與社會的理解，我們都是中國人，但是中國社會有各種各樣的小的區(qū)域，有不同層次的事情，你只有理解不同層次的小結(jié)構(gòu)，才說明你理解了這個社會的問題。這個思想非常重要。

那么有了這樣的一個群論的角度，拉格朗日考慮了“子群陪集”，就是所謂的商群，就是用來理解伽羅華說的一元五次方程沒有解的原因，給一般聽眾解釋實在是太費勁了，我也不講了，比較專業(yè)的同志們等著看PPT吧。

李群、李代數(shù)與規(guī)范原理

現(xiàn)在要給大家講一個重要的東西，如果這個群元素不是剛才那種分離的，而是連續(xù)的，這叫做李群，李群的子群是正規(guī)子群，商群子群則帶來纖維叢理論。規(guī)范場與纖維叢理論一樣，是由中國人領先做出來的重要成果。規(guī)范場論從楊振寧先生而來，纖維叢就是南開大學的陳省身先生提出。我當年讀的時候覺得很費勁，我后來想，什么是纖維叢？就是毛豆腐，上邊長了毛毛，就是纖維，下面就是基空間，這并不是很難懂的東西，換算成數(shù)學的概念就行了。所以請大家記住，學這些東西，能把他們看作是具象的東西就能理解的好一點。

現(xiàn)在給大家舉個例子，群這個東西為什么有用，我們看一個正三角形，三個頂點是1、2、3，你可以做什么操作？你把1、2換一下，2、3換一下，或者繞1、2、3繞120°或者1、2、3繞240度，這個正三角形都不變，也就是說正三角形就有6個操作，不動是一種操作，第二個是過三個頂點的鏡面，第三個繞120°、240°旋轉(zhuǎn)。這六個操作，既可以表示成1、2、3的替換，也可以表示成這樣6個這樣的矩陣，這告訴我們什么事情呢？告訴我們群可以有不同的表示。

所以如何表示群，是群論重要的性質(zhì)或者是重要的學問。有人說還是不懂，我再給你舉一個簡單的例子，我們大家都知道觀音菩薩，你看有千手觀音，降魔的時候是一個兇狠的形象，可是觀音菩薩還負責什么？觀音菩薩還負責送子，觀音菩薩是原佛教里的次行道人，次行道人是男性，男性來送子總是不太方便，所以人們把他改造成一個女的，所以如果大家看觀音像就很有意思了，有千手觀音，有帶胡子的觀音，還有送子觀音，各種形象都有，為什么？因為觀音能夠聚千般于一像，觀音才能觀世音，聽到我們的悲苦才能及時做出不同的反應，是降魔還是送子。“群”也是，一個群有不同的表示，不同表示在不同地方有不同的用。

群論來自不同的地方，最重要的是李群和李代數(shù)，群論來自數(shù)學各個學論，來自代數(shù)、數(shù)論、幾何、分析。在這里我們要提到一個來自德國 哥廷恩大學的Klein，Gauss，他有一天突然明白了幾何的分類是要用它的群，他在大學做了一個報告，這個報告就是后來數(shù)學史上重要的愛爾蘭綱領。

李群、李代數(shù)說的是什么意思呢？李群是一個連續(xù)的群，所以把它表示成指數(shù)函數(shù)的話，指數(shù)函數(shù)如果等于1的話，說明它上面的參量X等于0，所以知道這個參量就能知道李群是什么樣，這就是所謂的李代數(shù)問題。這個概念很復雜，沒法給大家細講。但是可以舉一個例子，比如二維復數(shù)變化連續(xù)群，就是李群，它可以表達成指數(shù)函數(shù)的形式，通過選擇指數(shù)，可以將二維轉(zhuǎn)動表達成一個矩陣，這就是李群、李代數(shù)的威力。

為什么要說李群？李代數(shù)呢？因為這個他們是通向規(guī)范場論的必經(jīng)之路。群里面有什么重要的群呢？一個是描述二維復矢量空間的轉(zhuǎn)動群叫做SU（2）群，擴大一點就是描述三維復矢量空間長度不變的群叫做SU（3）群，SU（2）群是三個，Pauli矩陣，剛才已經(jīng)提到了，如果是SU（3）群，除了單位群還多出8個矩陣，這8個矩陣就叫做Gell-Mann矩陣，這個人和什么東西聯(lián)系在一起呢？就是很多科學愛好者喜歡的名字“夸克”，所以請同學們要知道夸克用這8個矩陣描述，才算知道夸克。

接著往下說。物理理論，一開始從觀察、構(gòu)造公式開始，但是學到高層次要知道我們的物理理論是從五個原理開始，比方說我們生活的社會里面作為一個中國人要愛國，愛國就是原理性要求。經(jīng)典力學和光學就是最小作用量原理，熱力學就是Carnot原理，這個原理容易講清楚，就是凡不以干活為目的的傳熱都是浪費，或者不以做工作為目的的上班都是浪費，但是就是這樣一個簡單的原理，如果說不是工作中的傳熱都叫做浪費的話，一個熱機工作就是兩個等分過程或者兩個絕熱過程，這個過程本身叫做可逆過程。可逆這個活兒就得倒著干，我們從高溫吸收熱量，從低溫釋放出去，讓機器做工，既然可逆，我就可以通過干活把熱量從低溫轉(zhuǎn)移到高溫處，人類就這樣知道什么叫制冷了，從原理出發(fā)的科學威力是極大的。

相對性原理告訴我們物理公式和你觀察的運動狀態(tài)、用什么坐標系沒有關系，跟參照誰沒有關系，跟你的坐標系沒有關系，你的物理定理要表達成這個形式，這就叫相對論。

除了這三個，學物理還要學一個規(guī)范原理，什么叫做規(guī)范原理？來自于這個法國人，這個法國人許多人可能不知道，但是他愛人大家都知道，就是居里夫人。居里先生對物理學貢獻有很多，請大家記住物理上凡是帶居里的都是居里先生。居里先生給物理學帶來最大的貢獻，我個人認為就是她1894年的認識，他發(fā)現(xiàn)描述存在的對稱性數(shù)學對象應該作為物理學研究對象，剛才學的矩陣、轉(zhuǎn)動數(shù)學描述，1894年居里先生說這本身應該是物理學的研究對象，從此開啟了一個用對稱性決定大自然里面相互作用是什么樣的時代，理論物理開啟了新的時代，固體物理開展了一個新的時代。

這個思想產(chǎn)生后，德國人尤其是哥廷恩大學的人如，Felix Klein、Emmy等等馬上把群論用到科學上。靜力學、固體物理、理論物理都用。這個地方有兩個大神，一個是愛爾蘭大學到哥廷恩工作的，一個是哥廷恩畢業(yè)的學生，這個人有多厲害呢？在哥廷恩1918年校內(nèi)的一篇雜志，幾乎涵蓋了近代物理的大量內(nèi)容。在1926年薛定諤寫出量子力學方程，但是1928年Herrman Weyl寫出了群論與量子力學，配上1931年Wigner群論及其原子譜量子力學應用，這些是讓量子力學成為一門大學問兩部重要的文章。

Weyl這個人學問有多大呢？Weyl 1928年寫這個書的時候竟然知道中國成都文竹院，對稱性這本書里面他插圖第63就是成都文竹院的窗子，多少人去文竹院看不懂窗子里面的花樣。

群論有多困難呢？今天聽講座的朋友肯定說我沒有聽懂，為什么你沒有聽懂？因為一流物理學家都不懂，當這兩位老兄把群論引到量子力學的時候，德國為中心的一流物理學家也是不懂的，他管群論叫什么？這些物理學家管群論叫做“群瘟”！所以我就很感慨，一流物理學家對于自己沒有本事理解的學問一點也不免俗去貶低，請大家理解，這是正常的心理狀態(tài)，當我們不能理解它的時候就貶低它。

在1918年，這時歐洲大瘟疫流行，流行到歐洲世界大戰(zhàn)主要參加國都打不動仗了，1918年第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束了。但是它在科學上非常重要，1918年以前愛因斯坦已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了量子力學，狹義相對論，但是在1918年，德國哥廷恩有一個女老師寫了一篇文章，這篇文章叫做不變的變分問題，就是這篇論文建立了對稱性和物理的守恒律關系，讓物理學跨入了一個新時代，是對稱性決定相互作用的時代，我們經(jīng)常說誰的文章有劃時代的意義，這一篇就是有著劃時代的意義。

規(guī)范場論的誕生

1918年，同樣是從哥廷恩大學畢業(yè)的，在瑞士ETH任教的和愛因斯坦交好的數(shù)學家外爾開始研究物理，為什么？給廣義相對論夯實基礎。他的導師是哥廷恩大學的希爾波特，希爾波特年輕的時候接受了一個任務，給數(shù)論寫綜述文章，但是寫的過程發(fā)現(xiàn)數(shù)論基礎很不扎實，所以給數(shù)論再次奠定了個基礎。外爾給廣義相對論寫綜述，說愛因斯坦不懂數(shù)學，給愛因斯坦廣義相對論奠定數(shù)學基礎，這個結(jié)果就帶出了規(guī)范場論。

這篇文章思想就是物理學由哈密頓原理來，函數(shù)積分作用量最小才是物理的現(xiàn)實，這就是哈密頓原理。她注意到讓積分最小，就有特殊的對稱性，特殊的對稱性就是常見的時空對稱性，這是愛因斯坦的相對論。她是學數(shù)學的，她說如果有別的對稱性呢？比如時空對稱性就是能量守恒、動量守恒，這個大家都知道，她說如果有抽象空間對稱性就能引出新的物理，這就是規(guī)范場論。這個女士是學文的，今天有很多同志問我學文科能不能聽懂，我們看看文科怎么創(chuàng)造出數(shù)學物理的。這女孩1882年出生，大學學外語法語、英語，畢業(yè)以后本要到中學當老師的，可是分配工作的時候不甘心當一位老師，跟她父親說我還是喜歡數(shù)學，她爸爸本身是大學的數(shù)學教授，她說既然女兒愿意學數(shù)學，那就學。6年以后就到了1918年，這位女士給了我們劃時代的數(shù)學成果，后來被稱為近世代數(shù)之父。這個地方叫做抽象空間對稱性，抽象空間對稱性是什么東西？日常生活里面有，只是你不注意而已。

給大家看一只小蟲子，很漂亮，叫做“圣誕樹蟲”，仔細看它是螺旋的，但是這兩粒在一起的時候一定是相反方向旋的，你明顯能夠看到時空方面的對稱性，一個是左旋一個是右旋。它有沒有抽象空間對稱性呢？有，顏色，赤橙黃綠…假如七種顏色，這就是七維空間對稱性顏色。

可能有人認為顏色這個東西也是我們眼睛看到的，不算抽象對稱性，但是某種意義上顏色就是抽象空間對稱性，學量子物理的時候給夸克分類的時候用的就是顏色，還有量子色動力學。如果這個不算抽象空間對稱性，那么還有一個抽象空間對稱性，一它的很深，就是這對圣誕樹蟲一定是一公一母。知道如何描述它的時空對稱性就是相對論，知道如何描述抽象空間相對論，那個就叫規(guī)范場論。

中國話里面規(guī)、范、模、具早就都有，它為什么在物理上重要呢？比如大家都熟悉的溫標，對于溫度你是可以給它不同的標度，但是不管標度怎么給，不可以違背物理定律，就是各種值高的東西，一定是往熱量低的地方流，只要這個物理不錯，你給出的溫度標就都是合理的，這就是標度的問題，所以規(guī)、矩、模、范跟這些東西都有關系。原來說買錢不買范，這是做錢的范，是國家的，不能弄一套在家藏著。但是學物理的正好相反，是買范不買錢，因為你買錢各種各樣現(xiàn)象太多了，但是理解它的范，理解理論最深的骨架，這叫學物理。

規(guī)范場論中的重要意義

什么叫規(guī)范自由度？做微分的時候知道，一個積分結(jié)果等于某個函數(shù)，但要加一個常數(shù)，這個常數(shù)不影響這個方程，這個叫做規(guī)范自由度。經(jīng)典力學里面Euler-Lagrange方程，隨便加上一個函數(shù)對于時間的微分，也都不影響這個方程。這是大家都熟悉的一個事實，可是又有人想，既然這個東西有這樣一個自由度，隨便加上這個函數(shù)，方程自由度都不變。那么反過來想，某一個東西隨便加上什么樣的函數(shù)不變的，對它意味著什么？這就是規(guī)范場思想，意思是當你享受某種自由的時候，其實它同時意味著某種限制？這就是規(guī)范場論最核心的思想。大家工作的時候，如果領導說由你全權(quán)處理，充分自由，你千萬別把它理解為充分自由，這個特殊的自由就意味著特殊的約束，這就是規(guī)范場論深刻的思想。大家一定要記住這個反向思維，而特殊的自由必然是意味著特殊的要求。

舉個簡單的例子，比如硬幣正反面，哪個叫正面，哪個叫反面？沒有關系，約定好了大家都認可就可以了。但是我們一般認為它的約定規(guī)定1是正面，2是反面的話，換一個地方它還是1是正面、2是反面。規(guī)范自由度可以是局域自由度，就是這兩個硬幣規(guī)定1是正面，另外一個地方可以規(guī)定2是正面，這個也不影響物理，這個就叫做規(guī)范自由度的局域自由度，也就是我們說的十里不同俗，你們這個村規(guī)定一定是正面，我們村一定規(guī)定是背面，但是都不影響經(jīng)濟、不影響花錢，這是規(guī)范自由度，這個自由度一些年齡大的人很能理解，就是當年的地方糧票，每個省每個市都發(fā)自己的糧票，你的糧票允不允買細糧都是各地方規(guī)定，你的規(guī)定不影響我的。

規(guī)范自由度有哪些呢？有一個簡單的例子就是圓柱，繞它的軸整體轉(zhuǎn)一個角度的話，不管轉(zhuǎn)多少角度它還是那個圓柱。但是設想你把圓柱切成不同的薄層，每個薄層隨便轉(zhuǎn)成不同的角度看起來也還是圓柱，這個轉(zhuǎn)動的角度是局域的，選多少度跟別的地方?jīng)]有關系。對于球殼也是一樣的，球殼可以有兩個獨立的角，轉(zhuǎn)過來還是球殼，把球體分成不同的球殼，不同的球殼獨立轉(zhuǎn)過來兩個角這還是一個球，這就是規(guī)范自由度，從這個角度去看，我們可以發(fā)現(xiàn)電磁理論正是有這樣一個規(guī)范自由度的。

對規(guī)范自由度來講，如果你對它加一個規(guī)范后，它就能針對特定的規(guī)范有一個特定的形式，所以既然有這個規(guī)范自由度，我們就要充分利用這個自由度，加規(guī)范看變成什么樣子，變成不同樣子的方程。但是它的樣子不一樣就能看到不同的物理，比如我們的電磁學方程組，當你選擇Lorenz規(guī)范的時候，它有一個自由度，你現(xiàn)在用它限制自由度的時候，方程就變成了琴弦震動的方程，于是人們猜測電磁這個現(xiàn)象能夠產(chǎn)生電磁波？既然電磁波在這個地方對應速度，這個速度算出來以后發(fā)現(xiàn)和光速差不多，難道電磁波是光？光速有兩個不同的參數(shù)計算，它沒有參照系，這是狹義相對論最基本的原理。公式的變化具體過程可能一天都介紹不完，大家知道電磁學是規(guī)范的理論就行了。

我們知道引力是規(guī)范理論，引力的規(guī)范在哪呢？就在于空間是由能量、動量、張量決定的，但是能量、動量守恒對應的是平移部分，而時空真正的對稱群大的很，說明這里有大量的自由度。同時間，微分幾何還有另外一條路徑的發(fā)展，微分幾何另外一條路徑發(fā)展來自于一個非常重要的人，叫Tullio Levi-Civita。為什么要講這個人呢？當年愛因斯坦要發(fā)展廣義相對論的時候，最終決定要用數(shù)學。而愛因斯坦正是找他教學了意大利語，愛因斯坦創(chuàng)立完廣義相對論，他從微分幾何的重要奠基人，成為廣義相對論的重要專家。我為什么說這些呢？尤其是做學問的，不管這個世界上誰需要你幫助，請大家記住一定要去幫助別人，幫助別人的過程是你在做事情的過程，收獲的不是那個人的感謝，是你做這個事情過程當中的所得。

但是這一點要跟大家強調(diào)清楚，關于引力的微積分方程，𝑑𝑠² = 𝑔_𝜇𝜈𝑑𝑥^𝜇𝑑𝑥^𝜈里你看這個表達式，和剛才學的一元二次方程方程結(jié)構(gòu)是一樣的，是x=c₁，與bx=c₂這兩個東西怎么融合在一起的問題。而引力與電磁場的規(guī)范場論，與解決把這兩個東西加到一起的問題，本質(zhì)上是一樣的，差別在一個是微分的，一個是實數(shù)的。

所以有人嘗試將矢量平移和內(nèi)積的表示方式進行聯(lián)絡，對應不變量正好是電磁學方程，所以帶來一個重要的認識，電磁學不是獨立現(xiàn)象，是引力伴隨現(xiàn)象，就是蘋果掉到地上，砸到頭，這是引力現(xiàn)象，而摩擦生電，或者電火花發(fā)光，這些電磁現(xiàn)象竟然是引力的伴隨現(xiàn)象。

所以，在1918年發(fā)表的一篇文章，里面第一次使用了“規(guī)范”的概念。我再提醒大家，規(guī)范與校準、校驗、定標，這些詞都是聯(lián)系在一起使用。也就是要給這個稱上加定盤心，告訴你這個地方的讀數(shù)該是多少。這個標準的秤錘，但是秤鉤有兩套，所以上邊表示幾斤的標度也有兩套，而且最重要的從這兒一定是越來越細，不能是等粗，而秤心也不是等間距的，這里面涉及的學問就是物理學最深刻的學問，請大家千萬不要小看物理量校準與測量，這才是最深刻的學問。

我認為，說得清楚中國杠桿的原理，你就懂得物理的一半。給我們創(chuàng)造數(shù)學與物理的大神都在哪兒工作，看看龐加萊，他是數(shù)學全才，但他是鐵路工程師，在法國的長度標準局。愛因斯坦給我們帶來廣義相對論、相對相對論，愛因斯坦在哪兒工作呢？他在瑞士伯爾尼專利局，為什么審專利能夠做出相對論呢？因為那時候最重要的就是鐘表校準的問題，而愛因斯坦就是考慮火車上的鐘表與火車站的鐘表，如何校準的問題，得出一個微分方程，這個微分方程的解就是電磁學的規(guī)范變換、洛侖茲變換，這是愛因斯坦成名的原因。而我們所謂的科普書里面永遠不會說到這一點，你為什么不知道愛因斯坦的偉大，光看科普書，永遠不知道為什么不知道一流科學家會接受專利局職員的工作。

再看，你不知道巴黎長度標準局到底有多大的意義，請看這一套東西，這是北斗系統(tǒng)，請問巴黎長度標準局與北斗系統(tǒng)有什么關系？北斗系統(tǒng)最上邊最值錢的原子噴泉鐘，原子噴泉鐘的概念來自于巴黎長度標準局，你學會了原子噴泉鐘，而人家這個地方產(chǎn)生概念，這就是我們科技要追趕的距離。

外爾將規(guī)范理論整理成一篇文章，有電磁場的時候從一點挪到另一點，長度有變化，這篇文章是愛因斯坦審稿，愛因斯坦說這個理論是不對的。為什么？如果這個理論對的話，原子性質(zhì)就依賴于它經(jīng)過的路徑，原子波長是不同的，那么過兩天原子就變的不一樣。但是我們的世界不是這樣的，原子是穩(wěn)定的，原子波長是定的。愛因斯坦的審稿意見最后是：但是這篇文章的深度和理性是我們每個人都要充滿敬意看待的，這審稿意見多么高情商。

可是，大家想象一下，像這么好的理論難道沒用嗎？誰來拯救他呢？拿什么拯救？后來這樣的一個理論就被薛定諤、倫敦他們這些人拯救了。拿什么拯救呢？老量子力學與新量子力學。

第一個拯救的人是薛定諤。薛定諤是奧地利維也納大學教授，當時在瑞士訪問，這么好的理論哪能無視呢？他從外爾能量量子化的概念，發(fā)現(xiàn)外爾表達式有道理，他說很難相信這個量子化條件是偶然結(jié)果，而沒有深刻的意義，他提出了修改因子γ的建議。1926年，得出來了量子力學基本方程，也就是“薛定諤方程”。

他寫出量子力學方程，怎么證明對呢？要舉一個例子，用來解氫原子的方程，一般的量子力學書都會告訴這個解是什么，大家看這個解算復雜吧。我當年學量子力學的時候背這個公式，有一天我看了原文發(fā)現(xiàn)，薛定諤雖然是維也納數(shù)學物理教授，他也不會解。誰解的呢？就是剛才的規(guī)范場的人幫他解的。恰恰我們會發(fā)現(xiàn)就是薛定諤這兩個方程救了他的理論，所以請大家記住幫同臺僚就是幫自己，幫別人不是讓別人付錢說謝謝，同事有一個值得幫的機會，幫的過程當中自己的提高與獲得，那是你的收獲。這個方程出來之后，當年，一個俄國人說，我們現(xiàn)在有薛定諤的方程，把薛定諤方程與電磁學規(guī)范場論放在一起，不就有電子與量子力學的電磁場理論了嗎，這就是規(guī)范場論了。

一個叫Fritz London的人明確指出相因子的概念，路徑不可積分，但是在每一點的規(guī)范尺度是唯一的。這使得外爾的理論包含了通往波動力學的邏輯之路。不可積因子同電磁理論聯(lián)系沒有問題，但是不能當作時空的尺度因子，而應該是當做波動力學的相因子。

外爾電磁學與引力的規(guī)范場論

規(guī)范場論不再往下講了，接下來介紹更重要的：外爾電磁學與引力的規(guī)范場論，1929年外爾又寫了一篇長論文，Pauli先是諷刺，但是看他到寫的長論文的時候，發(fā)現(xiàn)外爾寫的非常有道理。Pauli理解了外爾思想之后，1933年在物理學手冊上把論文表述很清楚，表述清楚到什么程度呢？清楚到不仔細的人，以為這個理論是他的。但是沒事，這是規(guī)范場論，我們之前就知道引力是規(guī)范場論，這些東西雖然很神奇，沒有帶出新東西，新東西還在醞釀中，是什么呢？就是關于原子核里面的作用，原子核里面有質(zhì)子中子，它們?yōu)槭裁创谝黄鹉?#xff1f;Pauli的同門海森堡提出了別的對稱性，比如說同位旋，同位旋角度下看質(zhì)子中子有對稱性，是同一個矢量的兩個分量等等。

我們用這些思想看原子核的話，會發(fā)現(xiàn)特別有趣的現(xiàn)象，剛才說同種正電荷靠的近，是強相互作用造成的。原子核里面有質(zhì)子中子，質(zhì)子、中子可能會跑出來，比如產(chǎn)生α粒子，這很好理解。可是從里面還跑出電子，電子哪兒來的，原子核里沒有電子。這說明什么？質(zhì)子中子電子有弱的相互作用。這里面還跑出光子，里面沒有光，光的過程一定是在哪個過程產(chǎn)生的，因為光是電磁波，所以這個地方可能有電磁相互作用，所以我們可以判斷原子核這么小的地方里面有強相互作用、弱相互作用，有電磁相互作用，我們相信一定有某種原因使得這些作用同時存在。

這中間有一個叫Oscar Klein的人，用五維空間的東西，把這套理論都發(fā)展起來，1938年，他用法語發(fā)表了文章，因此很少人知道他的研究。

接下來我給大家講講安徽省，有人老說江蘇省是散裝省，安徽倒不是散裝省，分三塊，通過淮河和長江的沿線劃分，這三塊是三個文化區(qū)。中國第一本物理書是明朝的方以智寫的，家是安徽桐城。安徽鳳陽有個人叫楊克純，他在安徽淮陽縣當中學老師，1922年他的長子在振寧出生，因為在振寧出生，所以叫楊振寧，1945年楊振寧到美國芝加哥大學攻讀物理博士。1938年的時候，楊振寧先生在昆明讀中學，他的父親建議他閱讀1937年出版的“有限群理論”，這個有限群理論將來出現(xiàn)在外爾的對稱性書里面，1954年楊振寧先生的成名之作“規(guī)范場論”就是外爾的理論。我看這樣的東西，總相信冥冥之中某些人的成就是前面安排好的。

談論這個我不得啰嗦一句，什么樣的人是著名科學家的問題，能把自己的姓進入到科學里面的。比如說，你的姓和某個理論、方程、概念綁定了，什么愛因斯坦相對論、諾德定律、歐拉方程、狄拉克矩陣、外爾旋量這是一類。第二類是你的姓被改造成了形容詞，或者形容詞做名詞，比如說牛頓改成Newtonian，Lagrange改成Lagrangian，Laplace是Laplacian，Hamilton是Hamiltonian。楊振寧也被改成Yangian。還有最高水平是姓被改造了好，并且有小寫來代替，比如Abel到abelian，用a來代表。楊先生的工作是什么呢？楊先生關于規(guī)范場論的工作體現(xiàn)主要是其在1954年、1974、1975年的工作，1974年的文章是最清楚的。具體的工作都列在下面。

楊振寧在做報告的時候，Pauli坐在最前排，我們都知道Pauli被稱為物理學的鞭子，誰做報告都不客氣。楊先生做報告的時候，Pauli說同位旋粒子質(zhì)量問題如何解決呢？楊振寧先生說這個問題太難了，我們考慮了，沒解決。Pauli說這算什么借口，但第二天他就明白了，對楊振寧先生的工作非常認可，第二天Pauli建議楊振寧先生看薛定諤的1932年的文章，薛定諤1932年正式把相對論與狄拉克電子結(jié)合在一起，寫了很了不起的文章。課本中只講薛定諤方程，這其實不夠全面，在整個物理學史上還有很多重要的人。

后來規(guī)范場論誰的表述最好呢，是同時期的哈佛大學學生肖恩，在1954年他的博士論文中將規(guī)范場論論述的特別好，最簡單的指數(shù)函數(shù)，把變量擴展成矩陣，擴展成2*3矩陣，擴展成2*2矩陣，該是什么？這是Shaw的博士論文研究的內(nèi)容。還有一個沒太被注意的日本人，叫內(nèi)山菱友，他1954年到了普利斯頓研究所，注意到楊振寧先生的工作，才知道自己的工作多么重要，所以趕緊又寫了論文，并引了楊振寧先生的論文，文章在1956年發(fā)表，人們都認為他的工作比楊先生晚了很多。但是其實內(nèi)山的工作由簡單的李群推廣到廣義李群的情形，構(gòu)造了廣義規(guī)范理論，而且條理特別清楚，我建議讀專業(yè)理論的博士，一定要讀內(nèi)山菱友的這篇論文。由于這篇論文是用日語發(fā)表的。因此知名度很低，內(nèi)山菱友的照片都很難找，但是他是特別了不起的日本物理教育家。

四種基本相互作用，強、弱、電磁、引力相互作用，規(guī)范場論都適用，而強相互作用、弱相互作用、電磁相互作用它的對應的群，SU（3）、SU（2）、SU（1）都差不多，所以它們統(tǒng)一比較方便，而引力雖然也是規(guī)范場論，但是它的規(guī)范比較復雜，是龐加萊群。到目前為止還沒有引力和其他三種相互作用的統(tǒng)一，統(tǒng)一就是關于粒子的標準模型，什么叫做統(tǒng)一呢？就是一個規(guī)范群中一個場是不同的粒子場的不同分量，這是非常了不起的理論。

由物理學發(fā)展產(chǎn)生的啟發(fā)

這個地方給大家提一個非常重要的事情，學問構(gòu)成很重要的就是擴展。有學問，要有能力在平面擴展，以及更深層次的擴展，和往下深挖擴展。對于新的知識接受不是自然而然的接受，很多時候是不得已，摁著牛頭喝水才接受。今天講的這些事情，從物理說到實處，以至于引到一元二次方程、狹義相對論，在此過程中都對新的知識都不是自然而然的接受，而是把路走到這個地方不得已接受。談到工作的時候，我特別想說，剛才我們說了雖然有些地方升教授強調(diào)獨立工作，但是真正創(chuàng)造過程中，真正層次上互相有幫助啟發(fā)的合作是非常重要的。

關于我過去三年里面講的量子力學、相對論和規(guī)范場論，我請大家記住它產(chǎn)生于瑞士同一個小鎮(zhèn)子，蘇黎士，這個小鎮(zhèn)上聚集著外爾、愛因斯坦、薛定諤，這三個人都是同時對規(guī)范場論、量子力學有貢獻的人，薛定諤當時在蘇黎士大學。愛因斯坦畢業(yè)于Eidgenosse，外爾在這所大學里面工作，今天隨便把這所大學翻譯成瑞士聯(lián)邦理工就不能理解這個學校的意思，這個學校開頭叫Eidgenosse，就是漢語中志同道合的人，這個學校名字會讓你有所感觸。這三個人他們在一起，湊到一起帶給我們這么深刻的理論，也意味著他們是“同志”。這個時期在這個學校工作的，還有閔可夫斯基，他對于相對論發(fā)展也很重要。

寫到這兒的時候我特別感慨，什么是天才，天才不過是受到合格教育的正常人而已，包括在座各位，包括線上那么多同志。非常抱歉和可惜的是我們都沒有受到正常教育。第一個，科學巨擘的成長需要什么條件？第一，生來是那塊料子。第二，他碰巧生在有教養(yǎng)的人家，比如楊振寧先生，父親就是美國芝加哥大學數(shù)學博士，后來送了他去美國芝加哥大學讀物理博士。第三個是長在有文化底蘊的地方。第四，年輕時要上算的上大學的大學。最后一條就是成年后身邊有幾個可以相互砥礪的杰出的朋友同儕，一個人在成長過程中，湊齊了這幾條可以說以后前途不可限量。

德國一個小鎮(zhèn)叫哥廷恩，哥廷恩有這么一句話，說哥廷恩之外沒有生活。哥廷恩大學厲害到什么程度？高斯、韋伯、黎曼、狄里希利、希爾伯特、克萊因、閔可夫斯基、諾特、外爾等，這些都是這個地方的。我們都知道黎曼只活了40歲，做了15年數(shù)學，有一種評價，在19世紀，黎曼一個人做的數(shù)學占當時數(shù)學界一半的貢獻。而且黎曼是學文科的，他到19歲的時候還弄不清楚自己要學語言還是神學，結(jié)果在大學里面遇到了高斯老師，老師說你應該去學數(shù)學，于是他到柏林大學去學數(shù)學。這就是一個好大學最重要的標配，就是大學里面要有巨擘，不是你成為那個老師的學生，而是你在校園里面能夠遇到他，能夠趕上他，能有那種崇高的理念，這就足夠了。

許多人讀物理，為什么一直讀的不對？就是數(shù)學學的不對，經(jīng)典電磁力學、電動力學、數(shù)學基本都是那三個人創(chuàng)造的，這三個人中，Hermann Grabmann是德國中學老師，又是學文科的語言學家，他創(chuàng)造了內(nèi)機、外機這些概念。再說Clifford，Clifford享年只有34歲，但是Clifford代數(shù)以及整個相對論思想，包括引力是物質(zhì)產(chǎn)生的，而物質(zhì)不過是彎曲空間里面的漣漪，以及引力是以彎曲的波的形式傳播這些話都出現(xiàn)在Clifford的書里面。在趕海撿貝殼時，由于落潮的時候整個沙灘上都是起伏的，判斷不出哪個地方有東西，所以先用工具讓沙灘平變，但是我們說物質(zhì)附近的空間是彎曲的，引力是彎曲波形式，所以捋平的時候，發(fā)現(xiàn)有些地方無法弄平，那個地方就是有物質(zhì)的，有東西的。這是日常生活中簡單的智慧，但是蘊含了最深刻的道理。

請大家注意，在學相對論、規(guī)范場論這種東西時，一開始是很難，但是你學著學著慢慢感覺到它有道理，而且很深刻，就可以為你帶來喜悅，大概就能學下去了，這也是我學它的經(jīng)驗。

關于經(jīng)典力學、方程，請大家一定要讀這些經(jīng)典，關于規(guī)范場論寫的最好的就是規(guī)范場論《黎明》的一本書，我學習過程中，從一元二次方程到規(guī)范場論，我都會在一本小冊子里面記筆記。再提醒大家，如果讀書都讀那些自己也不懂的人寫的書，你會越讀越孤獨的。所以讀書有一個竅門，當你讀一個東西讀不懂的時候，最正確的做法不是書讀千遍其意自現(xiàn)，是把這本書扔了換一本，因為總有一個人能夠把這個問題講明白，換一本書，而不是在那個地方死扣，因為那個人你看不明白，道理再講也會不明白。

這就是我給大家的建議，要讀厚重的書，學深刻的知識，做從前不會的事情。有一句話在歐洲哲學里面被濃縮成：“No time to be brief”，這句話特別難翻譯，就是你有時間干瑣碎的事情，但是沒有時間干精簡的事情，我也嘗試著翻譯為“人生再難，不可以草草地、匆匆地辜負”。

結(jié)語

經(jīng)過三年，我們把理論物理三座大山，規(guī)范場論、相對論、量子力學，都介紹過了。但是這些學問其實論難度、內(nèi)涵思想都遠遠趕不上經(jīng)典的物理，經(jīng)典的物理才是思想最多的，是數(shù)學物理創(chuàng)造的東西，經(jīng)典物理是地基性的東西，其他是頂層建筑式的東西，所以真正的學問應該在經(jīng)典。如果有機會，我們把經(jīng)典力學、熱力學、電磁學、電動力學人這些知識一點一點從平地建立起來。電動力學是我一直很害怕的東西，它里面的內(nèi)容太深了。這也是為什么在過去三年里面沒有討論它的問題。

給大家看一張圖，問“毛驢拉磨”為什么要蒙眼睛？如果大家學過廣義相對論就知道，在這樣的空間里面，圓才是最短的，圓是直線，所以給毛驢蒙上眼睛，就是讓毛驢正確的理解認識到圓也是直線。所以我今天講的這些東西，大家覺得太難了，不懂，怎么接受它呢？就是把眼睛一蒙，世界就好理解了。你要有這種態(tài)度。學數(shù)學、學物理要用什么呢？要用你的內(nèi)眼看它，有兩個大神，一個是Euler，后來眼睛幾乎看不見了，一個是大神龐加萊，他一輩子眼神都不好，眼神不好的人有內(nèi)眼，有計算能力，躺在床上，可以在腦子里面把論文推導出來，這恰恰是其他人做不來的事情。

我這個講座之所以講那么深刻的東西，不是說能夠讓年輕人都看懂，因為我自己也不懂，我自己不懂也不能完全講懂，但是我希望你們聽說過。我特別希望有一天在這片土地上成長起來的，從小愿意學習深刻學問的少年，也能夠像楊振寧先生，像今年95歲的李政道先生一樣，為人類的數(shù)學和物理做出不可磨滅的貢獻。

你們聽說過這首歌吧？《Santa Lucia》，我嗓子不會唱歌，但是給大家稍微哼一下，這首歌是專門到諾貝爾獎獲獎者房間里面唱的意大利民歌，我希望這首歌將來能夠派得上用場，希望年輕一代有人得諾貝爾獎。

感謝大家的捧場。謝謝大家！

編輯：Norma、荔枝

我們是誰：

MatheMagician，中文“數(shù)學魔術(shù)師”，原指用數(shù)學設計魔術(shù)的魔術(shù)師和數(shù)學家。既取其用數(shù)學來變魔術(shù)的本義，也取像魔術(shù)一樣玩數(shù)學的意思。文章內(nèi)容涵蓋互聯(lián)網(wǎng)，計算機，統(tǒng)計，算法，NLP等前沿的數(shù)學及應用領域；也包括魔術(shù)思想，流程鑒賞等魔術(shù)內(nèi)容；以及結(jié)合二者的數(shù)學魔術(shù)分享，還有一些思辨性的談天說地的隨筆。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思維，享受人生樂趣。歡迎掃碼關注和在文末或公眾號留言與我交流！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的曹则贤：从一元二次方程到规范场论 | 中国科学院2022跨年科学演讲的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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