《图论及其应用》学习笔记（匹配和因子分解）
匹配：
匹配M：M是E的一個，不包含環(huán)的子集，它的任意兩條邊在G中均不相鄰。
M飽和的點v：匹配M的某條邊，與頂點v關聯(lián)。
M非飽和的點v：M中無邊與頂點v關聯(lián)。
完美匹配M：若G中的每個頂點，都是M飽和的點。
最大匹配M：在G中，找不到其它匹配的邊數(shù)，大于M了。
ps：每個完美匹配，都是最大匹配。
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M交錯路：指圖G的邊，在E\M和M中交替出現(xiàn)，的路。
M可擴路：起點和終點，都是，非飽和的，M交錯路。
ps：這個證明可等價于，M不是最大匹配，當且僅當G含有M可擴路。
充分性證明，M’為M可擴路中，除去M中的邊，所組成的邊集。在可擴路中，選取的M’內(nèi)的邊集互不相交，因此可算是個匹配。M’有m+1條邊，M有m條邊。
反之是，必要性證明，M和M’的對稱差，意味著去除，M和M’之間公共邊。因為M和M’都是匹配，里面的任意兩條邊均不鄰接，因此H中的一個點，不可能同時關聯(lián)M或M’中的兩條邊。M’的邊多于M的邊，H必定存在一個分支，M’的邊多于M的邊，在這個分支中，也必定存在，以M’中的邊開始和結束的路P。
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偶圖的匹配與覆蓋：
鄰集N(S)：與S的頂點，相鄰的所有頂點的集合。
ps：必要性證明，S是X的子集，因此M也飽和S中的每一個頂點，則S中的每個頂點，也匹配于Y中的一個頂點，所以N(S)在原圖G中，至少有S。
反之是，充分性證明，為包含所有，含有u點的交錯路的頂點集。u肯定是Z中唯一的非飽和點，不然就有可擴路了，不然，在一條交錯路上，出現(xiàn)了兩個非飽和點，以這兩點為端點，截取出來的路，就為可擴路了。
因為T是由Y和連接于u的交錯路上的點的交集，所以T中的點所有都是的飽和點。
如果沒有交錯路的限制，S會和Y中多個點相鄰，因此有，。因為Z選取的是，所有連接于u的交錯路上的點，所以T必定包含了所有N(S)上的點（如S的某個點到u的某條交錯路中，加多一條到N(S)的邊，又形成一條交錯路）。
因N(S)中每個頂點v，均有一個交錯路連接于u，所以v∈Z，但是Z包含了所有T中的點，從而v∈T，這表明，所以有。
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ps：頂點數(shù)X或Y，乘上X或Y上每個點的度數(shù)k，則等于邊數(shù)E(G)。N(S)的點所關聯(lián)的邊數(shù)至少為S。
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覆蓋：在頂點集中取個子集K，使得圖G的每條邊，至少有一個端點在K中。
最小覆蓋K：圖G不能找到一個覆蓋K’，使得。
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任何匹配M和任何覆蓋K，均由。若G是偶圖，則有
ps：K至少包含每條邊的一個端點。
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ps：U中的每一個點v，出現(xiàn)在的每一個交錯路上，均只有v它一個非飽和點。一個端點在S中，另一個端點也必定在N(S)中，也就是T中，因此和另一個端點在Y\T中，矛盾。由于X\S的點不會和T中的點相連，所以最大匹配里的邊，由T與S中的一些飽和點連成的邊和包含X\S中的點的匹配邊，組成，因此有最大匹配數(shù)等于最小覆蓋數(shù)。
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Tutte定理與完美匹配：
分支根據(jù)，它有奇數(shù)個或偶數(shù)個頂點，而分成為，奇分支或偶分支。
o(G)：G的奇分支的個數(shù)。
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以下推論是充分條件。例如，有割邊的3正則圖，不一定就沒有，完美匹配。
ps：Gi是奇分支，所以是奇數(shù)，因此，奇數(shù)乘以奇數(shù)，還是奇數(shù)，是奇數(shù)。又因為奇數(shù)減去偶數(shù)是奇數(shù)，是奇數(shù)，它表示原有Gi每個點所關聯(lián)的邊數(shù)的2倍，減去Gi先有的邊數(shù)的兩倍，結果為，Gi被S切斷的度數(shù)，也即邊數(shù)。有k個mi，且每個mi至少為3，所以有，3k≤。因為S不僅要與Gi這些點連邊，而且S內(nèi)部的點也要連邊，因此有：≤。
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因子分解：
圖G的一個因子：G的一個生成子圖，但至少有一條邊。
G的一個因子分解：因子的邊的并，且這些因子的邊并無交集，即交集為空集。
n-因子：一個n度正則的因子。
n-因子分解：G是幾個n-因子的和，且它們的并，就為n-因子分解。
而上述的那個G本身，稱為n-可因子化。
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若G有一個1-因子，即是完美匹配（1-因子是生成子圖，且每個點的度都為1），且G為偶階圖（G的度數(shù)之和為n=2m）。
所以不能有1-因子，有1-因子。
ps：一個1-因子即為一個完美匹配，即為多個這樣的完美匹配構成。因為是完美匹配，中的每個點都要被匹配到，且一個點要有2n-1條邊，所以要找出的完美匹配的個數(shù)，即1-因子的個數(shù)，為2n-1個。可按下述例1的方法來劃分。
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例子：
ps：去掉一個完美匹配，則所有頂點的度會減1。在完美匹配中，若割邊所關聯(lián)的頂點選擇了其它邊，這就不能選擇割邊了，所以當然會有不含割邊的1-因子，因此3-正則圖，一定有一個不含割邊的1-因子。
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2-因子分解：
若一個圖是2-可因子化，則每個因子，一定是，不相交圈(圈的邊無交集)的一個并。（因為這個圖的每個2-因子，頂點的度都為2）。
不是2-可因子化的。
若一個2-因子是連通的，則它是一個H圈。（因為這個生成圖是連通的，就只有一個圈，也就是H圈。若不是連通的，可能有多個圈）
ps：構造出的n條路，其端點最后連接，形成H圈。
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2度正則圖是一個2-因子。
偶圈能表示為，兩個1-因子的和。
例子：
ps：其中的2-因子是一些偶圈，偶圈1-可因子化的，所以這個圖也是1-可因子化的。
Peterson圖就是個例子，由5邊形和5角星形一起構成了，一個2-因子(非連通的生成子圖)，和一個聯(lián)接5邊形和5角星的完美匹配。
ps：2-可因子化，意味著，這個連通圖是由多個不相交的圈組成。
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最優(yōu)匹配與匈牙利算法：
為解決人員分派問題的一個算法。
扎根于u的M交錯樹：u是非飽和點，樹H種的任一點v，有唯一的(u,v)路，是一條M交錯路。
匈牙利算法：
ps：表明找不到一個匹配能飽和所有X的頂點，也就是不存在完美匹配。，用路P上的非匹配邊，置換掉，路P上的匹配M中的邊。
例子：
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最優(yōu)匹配：
定義：在賦權圖中，尋找一個具有最大權的完美匹配。
對來說，有個不同完美匹配。
可行頂點標號：存在一個實值函數(shù)l，使得偶圖中，
不管邊的權是什么，總存在一個可行頂點標號：
相等子圖：具有邊集的，G的生成子圖。
ps：因為某一對頂點標號之和，總是≥該邊的權值，因此所有頂點標號的總和是，圖的權值總和的一個上界。是上的完美匹配，因此上的任一兩個頂點標號之和都=邊上的權值。但在M上取得邊，可能會小于，關聯(lián)的兩頂點標號之和。
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最優(yōu)匹配算法：
步驟：
例子：
修改頂點標號方法：
ps：重新計算的α值，涉及到在S集合中，不在T集合中的元素。例如鎖定，1、3、4行和1、4、5列。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的《图论及其应用》学习笔记（匹配和因子分解）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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