題號

答案

知識點與備注

填空題

1

2^m

生成子圖的定義

2

\sum_{1<=i<j<=l}n_{i}n_{j}

完全l部圖定義；PPT上已有結論

3

10

最小生成樹算法

4

7

塊的定義

5

5

強連通分支的含義

選擇題

1

A

?

只要求圖的度序列，故和為偶數即可。

A不是偶數，故選A

2

B

?

A：錯誤 如K2

B 正確，數學歸納

C 錯誤 如K2

D 錯誤，如自環或8字形閉跡(如兩個C6的一個頂點連在一起)。

3

A

A: 錯誤，點連通度小于等于邊連通度；

B 正確。 由握手定理可證

C 正確。 點連通度<=最小度<=n-1

D 正確 就是定義

4

B

A錯誤，如8字形閉跡(如兩個C6的一個頂點連在一起)。

B 正確 無奇圈

C 錯誤， 充分條件的否命題不一定成立(只是充分條件不是必要條件)

D 錯誤 如C6

5

D

A:正確 貝爾熱定理 定理1 (貝爾熱，1957) G的匹配M是最大匹配，當且僅當G不包含M可擴路。必要性：若含一條M可擴路P，則P中M的邊必非M的邊少一條，于是可有新的M由P中非M邊組成。與M時最大匹配矛盾！

充分性：若不然，設M1是G的一個最大匹配，則|M1|>|M|,令H = M1ΔM。容易知道：G[H]的每個分支或者是由M1與M中邊交替組成的偶圈，或者是由M1與M中邊交替組成的路。在每個偶圈中，M1與M中邊數相等；但因|M1|>|M|，所以，至少有一條路P，其起點和終點都是M非飽和點，于是，它是G的一條M可擴路。這與條件矛盾。

?

B 正確。哥尼定理 定理2 (哥尼，1931) 在偶圖中，最大匹配的邊數等于最小覆蓋的頂點數。

?

C 正確。首先證|X|=|Y|,之后對X中任意子集S，考慮與S關聯的邊集E1和與N(S)關聯的邊集E2，則E1包含于E2，可得|S|<=|N(S)|,故由Hall定理存在飽和X的匹配，又因為等部，故有完美匹配。

D 錯誤，無割邊3正則圖一定有完美匹配(彼得森定理)，但否命題不一定成立。其反例亦有割點。

大題

三

圖序列的判定定理

注意排序即可

四

證明

對于G的一條邊e來說，G的生成樹中包含邊e的棵數為G.e，而不包含e的棵數為G-e.

五

由度序列判定定理，存在m<n/2,使得dm<=m且d(n-m)<n-m.

而Cm,n圖的度序列恰好滿足上述要求。

因此G度弱于該Cm,n圖

即G度弱于某個Cm,n圖

六

K(4n+1)可以分解為2n個邊不重的2因子的并；而兩個邊不重的2因子的并可以組合為一個4因子。因此K(4n+1)可以分解為n個4因子。故可以4因子分解。

七

G*的邊數為10，點數為3，且是平面連通圖，故由歐拉公式，面數為9.

?

注意：當G不連通時，G的點數不等于G*的面數！故不能通過G的點數來求解！

八

理想子圖計數法

[k]3+2[k]4+[k]5

九

邊染色問題。

最大度為Δ=5；n=7=2*3+1;邊數為16>3Δ，故邊色數為6.

分組略?

十

點色數

有K3，故點色數>=3

可找到，故點色數=3

分組略