題號

答案

知識點與備注

填空題

1

nk/2

握手定理

2

4

按邊分類討論

3

2^m

生成子圖的定義

4

n1m2+n2m1

積圖的定義

5

13

最短路算法

6

6

A^2中對角線元素aii: 點i的度數；

故邊數為對角線元素之和/2,即為6

7

?(n^2)/4?

由Turan定理,最大邊對應的圖為T2,n, 故邊數不超過(n^2)/4向下取整

8

3

矩陣樹定理計數/凱萊遞推計數法/枚舉

9

k(G)<=λ(G)<=δ(G)

惠特尼定理

10

第一行：×，√，×，√；

第二行：√，√，×，√；

第三行：×，√，√，√

一筆畫：有兩個奇數度頂點且連通；

H圖：四個充分條件，度序列判定定理，但基本都不符合充分條件，還是畫畫試試吧...

偶圖：不含奇圈；

可平面圖：通過子圖不與K3,3,K5同胚，不能收縮到K3,3,K5判定不是，通過畫判定是

選擇題

1

B

是偶數+圖序列判定定理

2

D

A-C:顯然

D: 強連通關系是等價關系，單向連通不等價。

3

D

ABC都不含奇圈(n方體本來就是n正則偶圖)

D:平面圖可以含有奇圈

4

C

A: 具有H圈的連通三正則圖存在完美匹配；

B：無割邊的三正則圖一定存在完美匹配，但有割邊的三正則圖不一定不存在。

C：是的

D：只有階數為奇數才可以，階數為偶數不行。

5

B

?

A: 不然，2m>=6n，與m<=3n-6矛盾；

B: 外部面顯然不是三角形；

C：是的，但是原因始終未知。

D：顯然。

大題

三

自補圖定義+一元二次方程求根公式

\frac{1+\sqrt(1+8(m_{1}+m_{2}))}{2}

四

16

最小生成樹算法

五

2[k]3+4[k]4+[k]5(理想子圖計數法)

min{k|Pk(G)>=1}

因此點色數3；

略

六

4天。因為去掉1個一因子后是兩個點不重的5長圈，因此無1因子分解，故邊色數大于等于4。

經嘗試，邊色數可以為4.

實際上是一個彼得森圖！

具體安排略

七

不能。

由Hall定理，取

S={A,B,C,D},N(S)={d,h,t}

故不存在飽和X的匹配，故無法每個學生都得到喜歡的書。

八

用構造1個3因子的方法證明。

因為最小度大于等于n/2+1

故存在H圈，其中有1因子M1；

做G1=G-M1

則G1中最小度大于等于n/2,仍有H圈H2.

取M=M1UH2

M即為一個三因子。因此有三因子。