參照：

• 凹凸性:https://blog.csdn.net/hqh131360239/article/details/82751791
• Jensen不等式:https://blog.csdn.net/phoenix198425/article/details/78388597

1、凹凸性

1.1、同濟大學高等數學定義

\qquad凹凸函數在同濟大學高等數學中的定義符合人們的思維定式。在國際上的定義恰好與同濟大學高等數學中的定義相反。

1.2、國際上的定義：

\qquad國際上的定義剛好與國內的凹凸函數的定義相反。二階導數大于0，則為凸函數，有極小值；二階導數小于0，則為凹函數，有極大值（后面涉及到的凹凸函數，均為國際上的定義）；

\qquad例如：$e^x$的二階導數大于0，為凸函數；$logx$的二階導數小于0，為凹函數；

\qquad一元函數可以很容易的判斷凹凸性，二元函數如何判斷凹凸性？用到了海塞矩陣，根據海塞矩陣的正定性，判斷凹凸性。

\qquad a）海塞矩陣
$$A=?\begin{array}{cc}\frac{{?}^{2}Z}{?x^2}& \frac{{?}^{2}Z}{?x?y}\\ & \\ \frac{{?}^{2}Z}{?y?x}& \frac{{?}^{2}Z}{?y^2}\end{array}?$$

\qquad b）正定矩陣
\qquad判斷海塞矩陣是否為正定矩陣；若所有特征值均不小于零，則稱為半正定。 若所有特征值均大于零，則稱為正定。特征值怎么求？$|\lambda E?A|=0$，可以求出特征值。若除主對角線上的元素都為0，則主對角線上的值為特征值。$detA=|A|=$對角線元素積。

\qquad c）凹凸性判斷（正定矩陣為凸函數）:

\qquad例題1：$f(x,y)=x^2+5y^2?6x+10y+6$

\qquad海塞矩陣A:
$$A=?\begin{array}{cc}2& 0\\ & \\ 0& 10\end{array}?$$
\qquad所有的特征值均大于0，海塞矩陣為正定矩陣，函數為凸函數。

\qquad例題2：$f(x,y)=10(y^2+4x{)}^2+(1?4y{)}^2$
\qquad海塞矩陣A:
$$A=?\begin{array}{cc}320& ?160y\\ & \\ ?160y& 120y^2?160x+32\end{array}?$$
\qquad根據特征值，決定函數的凹凸性。

2、Jensen不等式

2.1、特殊形式

\qquad針對于上述的凸函數，直觀意義上的凸函數，有特殊形式：
$$f(\frac{a+b}{2})\ge \frac{1}{2}(f(a)+f(b))=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)$$

2.2、簡單引申

\qquad針對于上述的凸函數，$\lambda$相當于$x_1$的概率，$1?\lambda$相當于$x_2$的概率，則有:
$$f(\lambda x_1+(1?\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1?\lambda )f(x_2)$$

2.3、延申拓展

\qquad針對于上述的凸函數，${\lambda }_j$為$y_j$概率，且有$\sum _j{\lambda }_j=1,{\lambda }_j\ge 0$，則有：
$$f(\sum _j{\lambda }_j{y}_j)\ge \sum _j{\lambda }_{j}f(y_j)$$

2.4、推論

\qquad若 $f(x)$ 為區間$R$上的凸函數，$g(x):R\to R$ 為一任意函數，$X$ 為一取值范圍有限的離散變量， $E[f(g(X))]$ 與 $E[g(X)]$ 都存在，則：
$$f(E[g(X)])\ge E[f(g(X))]$$

\qquad證明：
$$f(E[g(X)])=f(\sum _{i=1}^n{p}_{i}g(x_i))\ge \sum _{i=1}^n{p}_{i}f(g(x_i))=E[f(g(X))]$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的凹凸性和Jensen不等式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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