咱們開始先看一個(gè)著名的格斯堡七橋問題：

能否從任一陸地出發(fā)通過每座橋恰好一次而回到出發(fā)點(diǎn)？

你要是自己做過，就會(huì)顯而易見的發(fā)現(xiàn)這道題是沒有答案的（遵守規(guī)則以及圖形規(guī)定的情況下）

歐拉就這個(gè)問題說過：如果每塊陸地所連接的橋都是偶數(shù)座，則從任一陸地出發(fā)，必能通過每座橋恰好一次而回到出發(fā)地。

經(jīng)過此次引導(dǎo)我們回到圖論的基本概念

首先先看圖論的定義：

一個(gè)有序二元組 (V, E ) 稱為一個(gè)圖, 記為G = (V, E )

其中：

① V或V(G)稱為G的頂點(diǎn)集, 其元素稱為頂點(diǎn)或結(jié)點(diǎn), 簡稱點(diǎn);

② E或E(G)稱為G的邊集, 其元素稱為邊, 它聯(lián)結(jié)V 中的兩個(gè)點(diǎn), 如果這兩個(gè)點(diǎn)是無序的, 則稱該邊為無向邊, 否則, 稱為有向邊.

tip:可以用|V|或者|E|表示圖G的定點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)

且如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空點(diǎn)集, 則稱G為有限圖或n階圖.

如果E的每一條邊都是無向邊, 則稱G為無向圖

如果E的每一條邊都是有向邊, 則稱G為有向圖;

否則, 稱G為混合圖.

可以參考一下圖形實(shí)例

?如圖，左圖為無向圖，右圖為有向圖

---

?記E = {e1, e2, … , em}(e(k)?= v(i)v(j)?).

但在之后學(xué)習(xí)的過程中，你最后可能會(huì)找到一些不一樣的圖，但最終的話圖解是相同的

例如以下的圖：

?

?

?為了方便處理，我沒有在上面進(jìn)行標(biāo)號(hào)端點(diǎn)，但實(shí)際上兩個(gè)圖雖然看上去不一樣，但實(shí)際圖解是相同的

?這就可以衍生到之前說過的

對于一個(gè)圖G = (V, E ), 人們常用圖形來表示它, 稱其為圖解.

凡是有向邊, 在圖解上都用箭頭標(biāo)明其方向.

一個(gè)圖會(huì)有許多外形不同的圖解，它們之間稱做同構(gòu)，如圖G同構(gòu)圖H記作G~=H

---

那么我們接下來：(都是一些最基本的概念理論，可能有一點(diǎn)枯燥)

稱點(diǎn)v(i), v(j)為邊v(i)v(j)的端點(diǎn).

在有向圖中:

稱點(diǎn)v(i), v(j)分別為邊v(i)v(j)的始點(diǎn)和終點(diǎn).

稱邊v(i)v(j)為v(i)的出邊, v(j)的入邊.

稱v(j)是v(j)的后繼或子頂點(diǎn)，稱v(i)是v(j)的前驅(qū)或父頂點(diǎn)。

有邊聯(lián)結(jié)的兩個(gè)點(diǎn)稱為相鄰頂點(diǎn),

有一個(gè)公共端點(diǎn)的邊稱為相鄰邊.

邊和它的端點(diǎn)稱為互相關(guān)聯(lián).

有向圖中的關(guān)聯(lián)又分出關(guān)聯(lián)和入關(guān)聯(lián)。

常用d (v)表示圖G中與頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目,

d (v)稱為頂點(diǎn)v的度數(shù).

與頂點(diǎn)v出關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為出度，記作d +(v),

與頂點(diǎn)v入關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為入度，記作d -(v)。

用N (v)表示圖G中所有與頂點(diǎn)v相鄰的頂點(diǎn)的集合.

兩個(gè)端點(diǎn)重合的邊稱為環(huán)。

無向圖中有相同端點(diǎn)的邊稱為平行邊,

有向圖中有相同的頭與尾的邊稱為平行邊。

沒有關(guān)聯(lián)邊的頂點(diǎn)稱為孤立點(diǎn)。

恰有一條關(guān)聯(lián)邊的頂點(diǎn)稱為懸點(diǎn)，

與懸點(diǎn)關(guān)聯(lián)的的邊稱為懸邊。

tip:在計(jì)算與頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊時(shí)，環(huán)算作兩條邊

有向圖G略去邊的方向，得到一個(gè)無向圖，此時(shí)這份新的圖稱為圖G的基礎(chǔ)圖。

有n個(gè)頂點(diǎn)m條邊的圖稱為(n,m)圖。

（n,0）圖叫零圖。（1,0）圖叫平凡圖

沒有環(huán)與平行邊的圖稱為簡單圖.

任意兩頂點(diǎn)都相臨的簡單圖稱為完全圖.

有n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖記為K n

tip:若頂點(diǎn)V(G)能分解成兩個(gè)不相交的子集V(1)和V(2),即V(2)并V(2)為V，V(1)交V(2)=空

且V(i)自身的頂點(diǎn)不相鄰，則稱G為偶圖（兩部圖）。

而不在同一頂點(diǎn)子集的任意兩個(gè)頂點(diǎn)都相鄰的簡單偶圖就被稱為完全偶圖

---

那么接下來大家可以靠圖論的知識(shí)解決狼羊渡河問題（雖說心算也可以）：

但這可以說是入門級(jí)別的圖論應(yīng)用之一了：

一擺渡人欲將一只狼，一頭羊，一籃菜從河西渡過河到河?xùn)|，由于船小，一次只能帶一物過河，并且，狼與羊，羊與菜不能獨(dú)處，給出渡河方法。

用四維0-1向量表示（人，狼，羊，菜）的在西岸狀態(tài)，（在西岸則分量取1，否則取0.）

共=16種狀態(tài)，

由題設(shè)，狀態(tài)（0,1,1,0）,(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允許的，

從而對應(yīng)狀態(tài)（1,0,0,1），(1,1,0,0),(1,0,0,0)也是不允許的，

以十個(gè)向量作為頂點(diǎn)，將可能互相轉(zhuǎn)移的狀態(tài)連線，則得10個(gè)頂點(diǎn)的偶圖。

那么此題就不過多贅述了；

---

若將圖G的每一條邊e都對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)F (e), 則稱F (e)為該邊的權(quán), 并稱圖G為賦權(quán)圖(網(wǎng)絡(luò)), 記為

G= (V, E , F ).

設(shè)G = (V, E )是一個(gè)圖, v0, v1, … , vk∈V, 且“1≤i≤k, vi-1 vi∈E, 則稱v0 v1 … vk是G的一條通路.稱為v0- vk通路.稱其長為k，起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的通路稱為閉通路，不重合的稱為開通路。

如果通路中沒有相同的邊, 則稱此通路為道路.(跡)

如果通路中沒有相同的頂點(diǎn), 則稱此通路為路徑, 簡稱路.

始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的路稱為圈或回路.

有向圖中邊的方向與通路，道路，路的方向一致。

頂點(diǎn)u與v稱為連通的，如果存在u-v通路，任二頂點(diǎn)都連通的圖稱為連通圖，否則，稱為不連圖。

極大連通子圖稱為連通支。

連通而無圈的圖稱為樹, 常用T表示樹.

樹中最長路的長稱為樹的高

樹的度為1的頂點(diǎn)稱為樹葉。

其余的頂點(diǎn)稱為分枝點(diǎn)。樹的邊稱為樹枝。

設(shè)G是有向圖，如果G的基礎(chǔ)圖是樹，則稱G是有向樹，也簡稱樹：

設(shè)T是有向樹，若存在頂點(diǎn)v0可達(dá)其余的每一頂點(diǎn)，則稱T為外向樹， v0為始根。若存在頂點(diǎn)v0，其余的每一頂點(diǎn)都可達(dá)v0，則稱T為內(nèi)向樹， v0，為終根。外向樹與內(nèi)向樹統(tǒng)稱為有根樹。

設(shè)G是有向圖，如果G的基礎(chǔ)圖是樹，則稱G是有向樹，也簡稱樹。

設(shè)T是有向樹，若存在頂點(diǎn)v0可達(dá)其余的每一頂點(diǎn)，則稱T為外向樹， v0為始根。若存在頂點(diǎn)v0，其余的每一頂點(diǎn)都可達(dá)v0，則稱T為內(nèi)向樹， v0為終根。外向樹與內(nèi)向樹統(tǒng)稱為有根樹。

---

圖的矩陣表示 ：⑴ 鄰接矩陣 )n×n

以下為例題：

答案：

?⑵ 權(quán)矩陣A = (aij ) n×n

例題如下：

答案：

?⑶ 關(guān)聯(lián)矩陣A = (aij )n×m? ：

有向圖：

?無向圖：

?今天的筆記就到這里了，下期再見，拜拜

?

?

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图论及其应用（基础知识）（1）（数学建模基础速成）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。