上海理工大學2019年研究生入學考試試題《高等代數》
一、(15分)~?$V$是數域$P$上的$n$維線性空間，求數乘變換的所有特征值和特征向量。

解：這題是簡單題，感覺是課本的原題
數乘變換$k$在$V$上任意一組基下的矩陣是數乘矩陣，而$n$維數乘矩陣的特征值只有一個$k$，任意的非零向量都是其對應的特征向量。

二、(15分)~?設向量組${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$線性無關，向量${\beta }_1$可由它線性表出，而向量組${\beta }_2$不能由它線性表出，判斷${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m,{\beta }_1+{\beta }_2$是線性無關還是線性相關，給出理由.

解：這是一道簡單題，感覺就是書上的習題，結論是顯然線性無關，過程不寫。

三、(20分)~~??設$P$為數域，在${\mathbb{P}}^{2\times 2}$中令
這題后面就不寫了，主要是題目信息就不全，
主要是給出兩個矩陣集合，說一下問題吧，第一問要你證明這兩個矩陣集合都是線性空間，第二問就是求線性子空間的和空間，第三問就是線性子空間的交空間。
注：一道很常規的題目，把書上的線性空間的習題隨便看一下，就沒有問題

四、(20分)~?(1)~?設$V$是數域$P$上$n$維線性空間，求由$V$的全體線性變換組成的線性空間的維數，給出理由。

解：給定一組標準正交基，全體線性變換在該標準正交基下的矩陣就是矩陣的全體集合，顯然有$dim(P^{n\times n})=n^2$，所以由$V$的全體線性變換組成的線性空間的維數也是$n^2$.

~?(2)~?設$\mathcal{A}$是$n$維線性空間$V$上的線性變換，證明：$\mathcal{A}的秩+\mathcal{A}的零度=n$

解：書上課本的結論，用擴基的思想證明，過程不寫了。

五、(15分)~?設$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=X^{{}^{\prime }}AX$是一實二次型，已知有$n$維實向量$X_1和X_2$，使$X_1^{{}^{\prime }}A{X}_1>0$且$X_2^{{}^{\prime }}A{X}_2<0$，證明：必存在實$n$維向量$X_0=0$使$X_0^{{}^{\prime }}A{X}_0=0$

證明：這應該是課本習題吧，其實$X_1^{{}^{\prime }}A{X}_1>0$且$X_2^{{}^{\prime }}A{X}_2<0$說明$A$存在正負慣性指數，所以構造非零向量$X_0=0$使$X_0^{{}^{\prime }}A{X}_0=0$是顯然的。過程不想寫，主要思想是用非退化的線性替換將該二次型化為規范形。

六、(15分)~? $A$為$n$階方陣，$D$為$n$維列向量，$(c_1,c_2,\dots ,c_n)$是線性方程組$AX=D$的唯一解.~?設${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$分別是$A$的列向量，令${\beta }_i={\alpha }_i+{\alpha }_{i+1},i=1,2,\dots ,n?1,{\beta }_n={\alpha }_n$，再令$B=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)$，求$BX=D$的解

解：這個題也很簡單。首先$AX=D$有唯一解，說明$A$可逆，即向量組${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$是線性無關，根據題意，
我們可知$B$的列向量組${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n?1}+{\alpha }_n,{\alpha }_n$是線性無關(過程省),所以$BX=D$也是只有唯一解，
在此我直接給出唯一解的形式，我個人覺得要分奇偶性討論一下
當$n$為奇數時解為$(c_1,c_2?c_1,c_3?c_2+c_1,\dots ,c_n?c_{n?1}+c_{n?2}??+1)$
當$n$為偶數時解為$(c_1,c_2?c_1,c_3?c_2+c_1,\dots ,c_n?c_{n?1}+c_{n?2}???1)$

七、(10分)~?判斷多項式
$$f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+?+\frac{x^n}{n!}$$
是否存在重根，給出理由
證明：顯然不存在，因為$(f(x),f^{{}^{\prime }}(x))=1$

八、(1)~?求$\lambda ?矩陣$的標準形
$$?\begin{array}{ccc}1?\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & ?\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& ?{\lambda }^2\end{array}?$$
解：這是很常規的題目，過程不想寫
(2)設矩陣
$$?\begin{array}{ccc}?1& ?2& 6\\ ?1& 0& 3\\ ?1& ?1& 4\end{array}?$$
求$A^k$
解：過程不想算，先相似對角化，再繼續算$A^k$。

九、后面是兩個計算行列式，都很簡單。
(1)、
$$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}2& 1& 0& \dots & 0& 0\\ 1& 2& 1& \dots & 0& 0\\ 0& 1& 2& \dots & 0& 0\\ ?& ?& ?& & ?& ?\\ 0& 0& 0& \dots & 2& 1\\ 0& 0& 0& \dots & 1& 2\end{array}\right|$$
解：顯然有$D_n=2D_{n?1}?D_{n?2}$，其特征方程即是${\lambda }^2=2\lambda ?1$，得到特征值$\lambda =1(二重根)$，最后再設其解的形式$D_n=c_{1}n+c_2$，容易求得$c_1=c_2=1$
故$D_n=1+n$

(2)
$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+2a_1& a_1+a_2& \dots & a_1+a_n\\ a_2+a_1& 1+2a_2& \dots & a_2+a_n\\ ?& ?& & ?\\ a_n+a_1& a_n+a_2& \dots & 1+2a_n\end{array}\right|$$
解：觀察，我們有
$$D_n=|E_n+?\begin{array}{cc}{a}_1& 1\\ a_2& 1\\ ?& ?\\ a_n& 1\end{array}?\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ a_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right)|$$
由于$|E_n+AB|=|E_n+BA|$，故
$$D_n=|E_2+\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ a_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right)?\begin{array}{cc}{a}_1& 1\\ a_2& 1\\ ?& ?\\ a_n& 1\end{array}?|$$
這就是求一個二階行列式，我直接給出答案吧
$$D_n=(1+\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^2?n\sum _{i=1}^n{a}_i^2$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019年上海理工大学《高等代数》试题和答案——解题人（蔡宇）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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