第二章

2.1.試敘述多元聯合分布和邊際分布之間的關系。

解：多元聯合分布討論多個隨機變量聯合到一起的概率分布狀況，X ?(X ,X ,?X )?的

1 2 p

聯合分布密度函數是一個 維的函數，而邊際分布討論是X ?(X ,X ,?X )?的子向量的

p 1 2 p

概率分布，其概率密度函數的維數小于 。

p

2.2設二維隨機向量(X X )1 2 ?服從二元正態分布，寫出其聯合分布。

?? ?2 ?

1 12

?

解：設(X X )1 2 ?的均值向量為μ? ? ?? 1 2? ，協方差矩陣為? 2 ?，則其聯

? ?

? 21 2 ?

合分布密度函數為

? 1 ?2 ?? ?12 12??1/2 ?? 1 ??? ?12 12??1 ??

f (x)?? ? ? 2 ? exp ? (x?μ)? ? 2 ? (x?μ)?。

? 2? ? ? ? 2 ? ?

? 21 2 ? ?? ? 21 2 ? ??

2.3 已知隨機向量(X X )1 2 ?的聯合密度函數為

2[(d?c)(x ?a)?(b?a)(x ?c)?2(x ?a)(x ?c)]1 2 1 2

f (x ,x )?

1 2 (b?a)(d?c)2 2

a?x ?b c?x ?d

其中 1 ， 2 。求

X X

(1)隨機變量 和 的邊緣密度函數、均值和方差；1 2

X X

(2)隨機變量 和 的協方差和相關系數；1 2

X X

(3)判斷 和 是否相互獨立。1 2

X X

(1)解：隨機變量 和 的邊緣密度函數、均值和方差；1 2

d 2[(d?c)(x ?a)?(b?a)(x ?c)?2(x ?a)(x ?c)]1 2 1 2

f (x )?x1 1 ?c (b?a)(d?c)2 2 dx

d

2(d?c)(x ?ax)1 2 d 2[(b?a)(x ?c)?2(x ?a)(x ?c)]2 1 2

? ? dx

(b?a)(d?c)2 2 ?c (b?a)(d?c)2 2 2

c

d

總結

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