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排隊(duì)論模型（一）：基本概念、輸入過(guò)程與服務(wù)時(shí)間的常用概率分布

排隊(duì)論模型（二）：生滅過(guò)程 、 M / M /s 等待制排隊(duì)模型、多服務(wù)臺(tái)模型

排隊(duì)論模型（三）：M / M / s/ s 損失制排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（四）：M / M / s 混合制排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（五）： 有限源排隊(duì)模型、服務(wù)率或到達(dá)率依賴(lài)狀態(tài)的排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（六）：非生滅過(guò)程排隊(duì)模型、愛(ài)爾朗（Erlang）排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（七）：排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化

排隊(duì)論模型（八）：Matlab 生成隨機(jī)數(shù)、排隊(duì)模型的計(jì)算機(jī)模擬

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目錄

?1 生滅過(guò)程?

2? ?M / M /s 等待制排隊(duì)模型

? ? ? ? ?2.1 單服務(wù)臺(tái)模型? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2.1?隊(duì)長(zhǎng)的分布

2.2 幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)? ? ? ? ? ? ? ? ??2.3 忙期和閑期

3 與排隊(duì)論模型有關(guān)的 LINGO 函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ????4 多服務(wù)臺(tái)模型（ M / M /s/ ∞ ）

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?1 生滅過(guò)程?

一類(lèi)非常重要且廣泛存在的排隊(duì)系統(tǒng)是生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng)。生滅過(guò)程是一類(lèi)特殊的隨機(jī)過(guò)程，在生物學(xué)、物理學(xué)、運(yùn)籌學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。在排隊(duì)論中，如果 N(t) 表示 時(shí)刻t 系統(tǒng)中的顧客數(shù)，則{N(t),t ≥ 0}就構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。如果用“生”表示顧 客的到達(dá)，“滅”表示顧客的離去，則對(duì)許多排隊(duì)過(guò)程來(lái)說(shuō)，{N(t),t ≥ 0}就是一類(lèi)特殊的隨機(jī)過(guò)程－生滅過(guò)程。

下面結(jié)合排隊(duì)論的術(shù)語(yǔ)給出生滅過(guò)程的定義。

為求平穩(wěn)分布，考慮系統(tǒng)可能處的任一狀態(tài) n 。假設(shè)記錄了一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)入狀 態(tài)n 和離開(kāi)狀態(tài) n 的次數(shù)，則因?yàn)椤斑M(jìn)入”和“離開(kāi)”是交替發(fā)生的，所以這兩個(gè)數(shù)要么相等，要么相差為 1。但就這兩種事件的平均發(fā)生率來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為是相等的。即當(dāng) 系統(tǒng)運(yùn)行相當(dāng)時(shí)間而到達(dá)平衡狀態(tài)后，對(duì)任一狀態(tài) n 來(lái)說(shuō)，單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平 均次數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)該相等，這就是系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡下的“流 入＝流出”原理。根據(jù)這一原理，可得到任一狀態(tài)下的平衡方程如下：

述公式得到平穩(wěn)狀態(tài)的概率分布。

2? ?M / M /s 等待制排隊(duì)模型

2.1 單服務(wù)臺(tái)模型

單服務(wù)臺(tái)等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為λ 的負(fù)指 數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為 1，服務(wù)時(shí)間V 服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無(wú)限， 允許無(wú)限排隊(duì)，這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)。

2.1?隊(duì)長(zhǎng)的分布

2.2 幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)

?對(duì)單服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)系統(tǒng)，由已得到的平穩(wěn)狀態(tài)下隊(duì)長(zhǎng)的分布，可以得到平均隊(duì) 長(zhǎng)

式（14）和式（15）通常稱(chēng)為 Little 公式，是排隊(duì)論中一個(gè)非常重要的公式。

2.3 忙期和閑期

個(gè)顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間應(yīng)等于服務(wù)員平均連續(xù)忙的時(shí)間。

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3 與排隊(duì)論模型有關(guān)的 LINGO 函數(shù)

（1）@peb(load,S) 該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為 load，服務(wù)系統(tǒng)中有 S 個(gè)服務(wù)臺(tái)且允許排隊(duì)時(shí)系 統(tǒng)繁忙的概率，也就是顧客等待的概率。

（2）@pel（load,S） 該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為 load，服務(wù)系統(tǒng)中有 S 個(gè)服務(wù)臺(tái)且不允許排隊(duì)時(shí) 系統(tǒng)損失概率，也就是顧客得不到服務(wù)離開(kāi)的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為 load，顧客數(shù)為 K，平行服務(wù)臺(tái)數(shù)量為 S 時(shí)，有限 源的 Poisson 服務(wù)系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期望值。

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例 1 某修理店只有一個(gè)修理工，來(lái)修理的顧客到達(dá)過(guò)程為 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要 6min。試求：（1）修理店空閑的概率；（2） 店內(nèi)恰有 3 個(gè)顧客的概率；（3）店內(nèi)至少有 1 個(gè)顧客的概率；（4）在店內(nèi)的平均顧客數(shù)； （5）每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間；（6）等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；（7）每位顧客平 均等待服務(wù)時(shí)間；（8）顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過(guò) 10min 的概率。

編寫(xiě) LINGO 程序如下：

model: s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu; Pwait=@peb(rho,s); p0=1-Pwait; Pt_gt_10=@exp(-1); end

4 多服務(wù)臺(tái)模型（ M / M /s/ ∞ ）

設(shè)顧客單個(gè)到達(dá)，相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ 的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中共有 s 個(gè) 服務(wù)臺(tái)，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布。當(dāng)顧客到 達(dá)時(shí)，若有空閑的服務(wù)臺(tái)則馬上接受服務(wù)，否則便排成一個(gè)隊(duì)列等待，等待時(shí)間為無(wú)限。

公式（19）和式（20）給出了在平衡條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為 n 的概率，當(dāng) n ≥ s 時(shí)，即 系統(tǒng)中顧客數(shù)大于或等于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，這時(shí)再來(lái)的顧客必須等待，因此記

式（21）稱(chēng)為 Erlang 等待公式，它給出了顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)需要等待的概率。 對(duì)多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)系統(tǒng)，由已得到的平穩(wěn)分布可得平均排隊(duì)長(zhǎng) Lq 為：

對(duì)多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，Little 公式依然成立，即有

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例 2 ? 某售票處有 3 個(gè)窗口，顧客的到達(dá)為 Poisson 流，平均到達(dá)率為 λ = 0.9人/ min ；服務(wù)（售票）時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率 μ = 0.4人/ min 。 現(xiàn)設(shè)顧客到達(dá)后排成一個(gè)隊(duì)列，依次向空閑的窗口購(gòu)票，這一排隊(duì)系統(tǒng)可看成是一個(gè)

M / M / s/ ∞ 系統(tǒng)，其中

求解的 LINGO 程序如下：

model: s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s; P_wait=@peb(rho,s); p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait; L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s); L_s=L_q+rho; W_q=L_q/lamda; W_s=L_s/lamda; end

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排隊(duì)論模型（一）：基本概念、輸入過(guò)程與服務(wù)時(shí)間的常用概率分布

排隊(duì)論模型（二）：生滅過(guò)程 、 M / M /s 等待制排隊(duì)模型、多服務(wù)臺(tái)模型

排隊(duì)論模型（三）：M / M / s/ s 損失制排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（四）：M / M / s 混合制排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（五）： 有限源排隊(duì)模型、服務(wù)率或到達(dá)率依賴(lài)狀態(tài)的排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（六）：非生滅過(guò)程排隊(duì)模型、愛(ài)爾朗（Erlang）排隊(duì)模型

排隊(duì)論模型（七）：排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化

排隊(duì)論模型（八）：Matlab 生成隨機(jī)數(shù)、排隊(duì)模型的計(jì)算機(jī)模擬

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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