根據美國人口從1790年到1990年間的人口數據(如下表)，確定人口指數增長模型和Logistic 模型中的待定參數，估計出美國2010年的人口，同時畫出擬合效果的圖形。

1860 1870 1880 1890 1900 1910 1930 1940 1950 1960 1970 1980 指數增長模型：rt

e x t x 0

)(=

Logistic 模型：()011m

rt

m x x t x e x -=

??

+- ???

解：模型一:指數增長模型。Malthus 模型的基本假設下，人口的增長率為常數，記為r ，記時刻t 的人口為 )(t x ，(即)(t x 為模型的狀態變量)且初始時刻的人

口為0x ，因為?????==0

)0(x x rx

dt dx

由假設可知0()rt x t x e = 經擬合得到：

}2

12

0010120

()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e

y x t a r a x =+=?=+?

===== 程序：

t=1790:10:1980;

x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5

123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);

plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 結果：a = 0.0214 -36.6198

r= 0.0214

x0= 1.2480e-016 所以得到人口關于時間的函數為：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 輸入：t=2010;

總結

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