基于最小二乘法的人口增长模型拟合
基于最小二乘法的人口增長(zhǎng)模型擬合
- 一．問(wèn)題描述
- 二．問(wèn)題分析
- 三．實(shí)驗(yàn)過(guò)程
- 四．實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
一．問(wèn)題描述
?? 全國(guó)第七次人口普查正在進(jìn)行中，為了更好的了解我國(guó)人口總數(shù)，判斷人口數(shù)量變化規(guī)律，為相關(guān)政策的制定與執(zhí)行提供理論依據(jù)。需要一定的數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)人口數(shù)量進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，需要選擇合適的數(shù)學(xué)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)。
二．問(wèn)題分析
??為了對(duì)2020年全國(guó)總?cè)丝谟幸粋€(gè)較為準(zhǔn)確的估計(jì)，需要查找2020年之前若干年的全國(guó)總?cè)丝跀?shù)據(jù)，依據(jù)已有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)未知的數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)比較與選擇，本課題采用最小二乘法的指數(shù)增長(zhǎng)模型來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合來(lái)，進(jìn)而完成對(duì)2020年的總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測(cè)的目標(biāo)。
三．實(shí)驗(yàn)過(guò)程
??查閱相關(guān)資料可搜集到2000年至2019年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料如下表所示：
???????表1 人口總數(shù)統(tǒng)計(jì)表
| 人口 | 12.65 | 12.76 | 12.84 | 12.92 | 12.99 | 13.07 | 13.14 | 13.21 | 13.28 |
| 年份 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| 人口 | 13.34 | 13.41 | 13.47 | 13.54 | 13.61 | 13.67 | 13.74 | 13.82 | 13.90 |
| 年份 | 2018 | 2019 | |||||||
| 人口 | 13.95 | 14.00 |
??根據(jù)已有資料，現(xiàn)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，可采用線性增長(zhǎng)模型和指數(shù)增長(zhǎng)模型。現(xiàn)比較兩者效果，根據(jù)結(jié)果選出最合適的模型。
（1） 線性增長(zhǎng)模型
觀測(cè)值的模型：yi=a+bxi+ei,i=1,2,…ny_{i}=a+b x_{i}+e_{i}, \quad i=1,2, \ldots n yi?=a+bxi?+ei?,i=1,2,…n
線性模型：y=a+bx
擬合精度：Q=∑i=1nei2=∑i=1n(yi?a?bxi)2Q=\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-a-b x_{i}\right)^{2} Q=i=1∑n?ei2?=i=1∑n?(yi??a?bxi?)2
多項(xiàng)式擬合函數(shù)：(程序采用MATLAB實(shí)現(xiàn))
function p=mafit(x,y,m) format short; A=zeros(m+1,m+1); for i=0:mfor j=0:mA(i+1,j+1)=sum(x.^(i+j));endb(i+1)=sum(x.^i.*y); end a=A\b'; p=fliplr(a'); end輸入：（拖動(dòng)進(jìn)度條往右劃可查看完整）
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019];y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];p=mafit(x,y,1)輸出：
p =0.0697 -126.7102 所以線性模型為y=0.0697*x-126.7102 預(yù)測(cè)2020年人口數(shù)據(jù)： 輸入：x=2020; y=0.0697*x-126.7102； 輸出：y =14.0838（2） 指數(shù)增長(zhǎng)模型（用簡(jiǎn)單的線性最小二乘法）
輸入：
輸出：
p =0.0052 -7.9030 所以指數(shù)模型：y=e^(-7.9030+0.0052x) 預(yù)測(cè)2020年人口數(shù)量： 輸入：x=2020; y=exp(-7.9030+0.0052*x) 輸出：y =13.4772擬合圖形程序：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019]; y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];a=mafit(x,y,1); x1=[2000:1:2019]; y1=a(2)+a(1)*x1; b=mafit(x,log(y),1);y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1); plot(x,y,'*') hold on plot(x1,y1,'--r') hold on plot(x1,y2,'-k') legend('原曲線','曲線一','曲線二')輸出結(jié)果如下圖所示：
?????圖1 matlab輸出結(jié)果曲線圖
????（注：曲線一為線性模型，曲線二為指數(shù)模型）
四．實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
?? 由于我國(guó)有關(guān)人口控制的相關(guān)政策的實(shí)行，使得人口增長(zhǎng)率逐年下降， 到2020
年人口數(shù)量不會(huì)一直呈線性變化，故模型二更適合我國(guó)目前人口變化的模式。雖然數(shù)模模型的預(yù)測(cè)不一定準(zhǔn)確，因?yàn)橐艿綌?shù)據(jù)來(lái)源的影響，本設(shè)計(jì)所搜集到的數(shù)據(jù)來(lái)源不一定非常精準(zhǔn)，如若能夠保證數(shù)據(jù)來(lái)源的穩(wěn)定性，那么預(yù)測(cè)結(jié)果有一定的參考價(jià)值，可為相關(guān)部門參考和借鑒。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的基于最小二乘法的人口增长模型拟合的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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