• 一、題目要求
• 二、相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)
• • 2.1 馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型
  • 2.2 邏輯斯蒂(Logistic)增長(zhǎng)模型
  • 2.3 改進(jìn)的Logistic模型
  • 2.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型
• 三、模型的建立與求解
• • 3.1 Malthus模型
  • 3.2 Logistic模型
  • 3.3 改進(jìn)的Logistic模型
  • 3.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型
• 四、人口數(shù)量的預(yù)測(cè)及分析

一、題目要求

????????1790-1980年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量記錄如下表所示。

表1 1790-1980年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量記錄表 年份17901800181018201830184018501860187018801890190019101920193019401950196019701980

人口$\left(\times 10^6\right)$	3.9	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4	38.6	50.2	62.9	76.0	92.0	106.5	123.2	131.7	150.7	179.3	204.0	226.5

• 1.試用以上數(shù)據(jù)建立馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型，對(duì)接下來(lái)的每隔十年預(yù)測(cè)五次人口數(shù)量，并查閱實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)分析。
• 2.如果數(shù)據(jù)不相符，再對(duì)以上模型進(jìn)行改進(jìn)，尋找更為合適的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)兩次預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

二、相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)

????????關(guān)于人口增長(zhǎng)的模型常用的有馬爾薩斯人口指數(shù)增長(zhǎng)模型、Logistic增長(zhǎng)模型以及改進(jìn)的Logistic模型，它們常被用于預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)。本次問(wèn)題求解中除了使用這三種常用的人口增長(zhǎng)模型外，還使用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)預(yù)測(cè)人口。

2.1 馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型

????????提出： 馬爾薩斯模型來(lái)自于英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家托馬斯·羅伯特·馬爾薩斯于1798年發(fā)表的《人口原理》。
????????馬爾薩斯的人口論指出： 在沒(méi)有生存資源限制的情況下，人口或生物種群的數(shù)量成指數(shù)增長(zhǎng)。
????????定義： 關(guān)于人口或種群增長(zhǎng)的模型。
????????模型的建立： 人口數(shù)量在單位時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)的百分比 $r$ 是一定的，寫成一個(gè)微分方程的形式，設(shè) $t=0$時(shí)刻的人口數(shù)量為$N_0$，則 $t$ 時(shí)刻的總?cè)丝?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$N_t$滿足$$\frac{1}{N_t}\frac{d{N}_t}{dt}=r?N_t=N_0{e}^{rt}$$

????????馬爾薩斯認(rèn)為，如果人口長(zhǎng)期不受控制的話，指數(shù)增長(zhǎng)的速度會(huì)十分驚人，生存資源的增長(zhǎng)速度將無(wú)法滿足眾多人口的生存需要，從而產(chǎn)生一系列人口問(wèn)題，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)l(fā)饑荒、戰(zhàn)爭(zhēng)和疾病來(lái)除去資源與環(huán)境無(wú)法承受的過(guò)剩人口。

2.2 邏輯斯蒂(Logistic)增長(zhǎng)模型

????????馬爾薩斯人口論自提出以來(lái)，就一直是一個(gè)備受爭(zhēng)議的理論。例如：在受到資源環(huán)境限制的情況下，人口還能否做指數(shù)爆炸式的增長(zhǎng)呢？假設(shè)資源環(huán)境能承受的人口數(shù)量為$K$，則可以建立一個(gè)Logistic方程$$\frac{1}{N_t}\frac{d{N}_t}{dt}=r\left(1?\frac{N_t}{K}\right)$$

這個(gè)方程將得出僅在人口$N_t<<K$ 時(shí)，$N_t=N_0{e}^{rt}$才是指數(shù)增長(zhǎng)的。當(dāng)接近$K$時(shí)，人口的增長(zhǎng)明顯受到天花板$K$的壓制。雖然$N_t>K$時(shí)確實(shí)會(huì)出現(xiàn)人口的負(fù)增長(zhǎng)，但不過(guò)是平穩(wěn)地趨近于平衡水平 $K$，而并不會(huì)發(fā)生馬爾薩斯所擔(dān)心的災(zāi)難性人口銳減的行為。下圖給出了 $K$ 隨時(shí)間緩慢線性增加時(shí)，人口從不同的初條件以不同的生育率 $r$ 增長(zhǎng)的數(shù)值模擬結(jié)果。最終人口都達(dá)到了跟隨 $K$（灰線）的線性增加行為。
????????那么是不是可以說(shuō)由于生存資源 $K$ 的算術(shù)級(jí)增長(zhǎng)，人口實(shí)際上并不能長(zhǎng)期持續(xù)地指數(shù)增長(zhǎng)，而是也會(huì)適應(yīng)$K$ 變?yōu)樗阈g(shù)級(jí)增長(zhǎng)，所以馬爾薩斯其實(shí)在杞人憂天地?fù)?dān)心一個(gè)偽命題？
????????邏輯斯蒂方程( Logistic Equation)為馬爾薩斯( Malthus) 人口模型的推廣。

2.3 改進(jìn)的Logistic模型

????????雖然Logistic模型考慮了環(huán)境容納量，認(rèn)為增長(zhǎng)率是隨著人口的增加而遞減的，但Logistic模型中的增長(zhǎng)率是線性遞減的。事實(shí)上，隨著人口的增加，人口基數(shù)越來(lái)越大，出生率也是增大的，導(dǎo)致增長(zhǎng)率的減小是逐漸緩慢的。因此，增長(zhǎng)率的逐年遞減是非線性的。所以需要對(duì)Logistic模型進(jìn)行改進(jìn)，使得增長(zhǎng)率的變化是非線性的。

2.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

????????BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是1986年由Rumelhart和McClelland為首的科學(xué)家提出的概念，是一種按照誤差逆向傳播算法訓(xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
????????BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)的主要特點(diǎn)是：信號(hào)前向傳播、誤差反向傳播。在前向傳播中，輸入信號(hào)從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，直至輸出層，每一層的神經(jīng)元狀態(tài)只影響下一層神經(jīng)元狀態(tài)。如果輸出層得不到期望輸出，則轉(zhuǎn)入反向傳播，根據(jù)預(yù)測(cè)誤差調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值，從而使BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出不斷逼近期望輸出。
????????BP可以用于數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，在已知過(guò)去和當(dāng)前的數(shù)據(jù)下，可以對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。

三、模型的建立與求解

????????針對(duì)本次的題目使用了Malthus模型、Logistic模型、改進(jìn)的Logistics模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型四種模型進(jìn)行建模。
????????為了更清楚地反應(yīng)各模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，令1790-2020年間預(yù)測(cè)人口數(shù)和實(shí)際人口數(shù)偏差之和為：$$E=\sum _{t=0}^{24}\left|N(t)?N_p(t)\right|$$

其中，$t=0,1,\dots ,24$分別表示年份1790,1800,…,2020，$N(t)$和$Np(t)$分別表示第$t$個(gè)年份的實(shí)際人口和預(yù)測(cè)人口數(shù)量。

3.1 Malthus模型

• 模型的建立
  ????????在最簡(jiǎn)單的情況下，人口預(yù)測(cè)采用指數(shù)增長(zhǎng)函數(shù)，建模的思路如下：假定$t_0=1790$年的人口數(shù)為$N_0$，人口增長(zhǎng)率$r$為常數(shù)，則第$t$年的人口為$N\left(t\right)$。其數(shù)學(xué)模型為：$$\{\begin{array}{c}N\left(t\right)=N_0{e}^{r\left(t?t_0\right)}=N_0{e}^{r\Delta t}\\ N\left(0\right)=N_0\begin{array}{cccccccc}& & & & & & & \end{array}\end{array}$$
• 模型的求解
  使用MATLAB的cftool工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合：
  
  
  擬合得：$r=0.02222$
  模型為：$N(t)=3.9?exp(0.02222?(t?1790))$

3.2 Logistic模型

• 模型的建立
  ????????馬爾薩斯模型雖然在一定程度上反映了人口數(shù)量隨著時(shí)間的推移的變化規(guī)律，但是根據(jù)馬爾薩斯模型隨著時(shí)間的推移人口成指數(shù)增長(zhǎng)，這顯然是不符合事實(shí)的。當(dāng)人口數(shù)量較少時(shí)，自然資源比較豐富，人口增長(zhǎng)相對(duì)較快，自然增長(zhǎng)率可以在短期維持一個(gè)常數(shù)。但當(dāng)人口達(dá)到一定水平后，受到自然資源相對(duì)稀缺的影響，人口增長(zhǎng)率開始下降。設(shè)人口自然增長(zhǎng)率$r(t)=rN(t)\left[1?\frac{N(t)}{K}\right]$，則其數(shù)學(xué)模型為：$$\{\begin{array}{c}\frac{dN\left(t\right)}{dt}=rN\left(t\right)\left[1?\frac{N\left(t\right)}{K}\right]\\ N\left(0\right)=N_0\begin{array}{cccccc}& & & & & \end{array}\end{array}$$

????????其中，$K$表示最大環(huán)境容納量。
????????????????求解該微分方程模型可解得第$t$年的人口數(shù)量為$$N\left(t\right)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{N_0}?1\right)e^{?r(t?t_0)}}$$

• 模型的求解
  使用MATLAB的cftool工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合：
  
  擬合得：$k=285.9，r=0.0287$
  模型為：$x(t)=285.9/(1+(285.9/3.9?1)?exp(?0.0287?(t?1790)))$

3.3 改進(jìn)的Logistic模型

• 模型的建立
  ????????雖然Logistic模型考慮了環(huán)境容納量，認(rèn)為增長(zhǎng)率是隨著人口的增加而遞減的，但是Logistic模型中的增長(zhǎng)率是線性遞減的。事實(shí)上，隨著人口的增加，人口基數(shù)越來(lái)越大，出生率也是增大的，導(dǎo)致增長(zhǎng)率的減小是逐漸緩慢的。因此，增長(zhǎng)率的逐年遞減是非線性的。設(shè)人口自然增長(zhǎng)率$r(t)=rN(t)\left[1?\frac{lnN(t)}{lnK}\right]$，則其數(shù)學(xué)模型為：$$\{\begin{array}{c}\frac{dN\left(t\right)}{dt}=rN\left(t\right)\left[1?\frac{lnN(t)}{lnK}\right]\\ N\left(0\right)=N_0\begin{array}{ccccccc}& & & & & & \end{array}\end{array}$$

????????????????求解該微分方程模型可解得第$t$年的人口數(shù)量為$$N(t)=K\left[(\frac{N_0}{K})e^{\frac{?r(t?t_0)}{lnK}}\right]$$

• 模型的求解
  使用MATLAB的cftool工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合：
  擬合參數(shù)得：$k=1084，r=0.04687$
  模型為：$x(t)=1084?((3.9/1084)$^$exp(?0.04687?(t?1790)/log(1084)))$

3.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

• 模型的建立
  ????????我們將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于對(duì)人口增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)，在建立的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，輸入為年份$t$，輸出為年份對(duì)應(yīng)的人口數(shù)量$N(t)$。輸入和輸出神經(jīng)元個(gè)數(shù)均為1，由于三層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意非線性問(wèn)題的逼近，因此設(shè)隱藏層為1，神經(jīng)元個(gè)數(shù)為2。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：
• 模型的求解
  ????????用1790-1980年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量作為訓(xùn)練集，用1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量作為測(cè)試集，設(shè)訓(xùn)練次數(shù)為1000，訓(xùn)練目標(biāo)最小誤差為0.1，學(xué)習(xí)速率為0.01。代碼如下：

%利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)人口進(jìn)行預(yù)測(cè) clear clc%%% 讀取原始數(shù)據(jù) num=xlsread('E:\MATLAB\R2012a\bin\數(shù)學(xué)建模\1790-1980間美國(guó)人口數(shù)據(jù).xlsx'); %num返回的是excel中的數(shù)據(jù) year=num(1,:); population=num(2,:);%%% 利用已知數(shù)據(jù)訓(xùn)練BP網(wǎng)絡(luò) x=year; y=population; net=newff(x,y,2); %生成輸入、輸出均為一個(gè)神經(jīng)元，隱含層2個(gè)神經(jīng)元的BP網(wǎng)絡(luò) net.trainParam.epochs = 1000; % 訓(xùn)練次數(shù)，這里設(shè)置為1000次(訓(xùn)練的最大次數(shù)) net.trainParam.goal = 0.1; % 訓(xùn)練目標(biāo)最小誤差，這里設(shè)置為0.1 net.trainParam.lr = 0.01; % 學(xué)習(xí)速率，這里設(shè)置為0.01 net=train(net,x,y); %訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)%%% 預(yù)測(cè)1790-1980間人口數(shù)量 population_pre=sim(net,year); plot(year,population,'*b','MarkerSize',8);hold on plot(year,population_pre,'or','MarkerSize',8);hold on plot(year,population,'b','LineWidth',2);hold on plot(year,population_pre,'r','LineWidth',2);grid on legend('人口自然增長(zhǎng)','擬合曲線') xlabel('年份') ylabel('人口/百萬(wàn)') title('利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行人口預(yù)測(cè)')%%% 預(yù)測(cè)1980-2030間人口數(shù)量 Year_pre=1790:10:2030; Population_pre_BP=sim(net,Year_pre);% 在m文件中向Simulink模型傳遞參數(shù)，并運(yùn)行模型，得到模型運(yùn)行的結(jié)果數(shù)據(jù) POPUS=[population,250.181,282.413,310.483,326.767]; errors=sum(abs(Population_pre_BP(1:end-1)-POPUS)); fprintf('總誤差:%f\n',errors) save Population_pre_BP Population_pre_BP

四、人口數(shù)量的預(yù)測(cè)及分析

????????用1790-1980年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量作為訓(xùn)練集去擬合模型，用擬合好的模型去預(yù)測(cè)1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量，并計(jì)算每個(gè)模型所預(yù)測(cè)的1790-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量與真實(shí)值之間的誤差和$E$。

表2 1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量記錄表 年份19902000201020202030

人口$\left(\times 10^6\right)$	250.181	282.413	310.483	326.767	——

• Malthus模型

表3 Malthus模型對(duì)1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果 年份19902000201020202030

人口$\left(\times 10^6\right)$	331.9474	414.5429	517.6900	646.5022	807.3656

經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后計(jì)算可得， Malthus模型預(yù)測(cè)的總誤差為1070.944344(百萬(wàn))。

• Logistic模型

表4 Logistic模型對(duì)1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果 年份19902000201020202030

人口$\left(\times 10^6\right)$	231.9765	243.4314	252.8001	260.3193	266.2630

經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后計(jì)算可得， Logistic模型預(yù)測(cè)的總誤差為265.616329(百萬(wàn))。

• 改進(jìn)的Logistic模型

表5 改進(jìn)的Logistic模型對(duì)1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果 年份19902000201020202030

人口$\left(\times 10^6\right)$	248.8625	273.7884	299.3514	325.4116	351.8302

經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后計(jì)算可得， 改進(jìn)的Logistic模型預(yù)測(cè)的總誤差為67.551021(百萬(wàn))。

• BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

表6 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果 年份19902000201020202030

人口$\left(\times 10^6\right)$	252.1015	277.7805	303.0367	327.2741	349.9891

經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后計(jì)算可得， BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)的總誤差為54.471387(百萬(wàn))。

• 四種模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

表7 四種模型對(duì)1990-2030年間美國(guó)每隔10年的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比

????????四種模型對(duì)1990-2030年的美國(guó)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如上表所示，可以看出Malthus模型、Logistic模型、改進(jìn)的Logistic模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型四種模型中Malthus模型的誤差是最大的，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的誤差是最小的，可以說(shuō)明對(duì)這一時(shí)期的美國(guó)人口而言，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的效果是比較好的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模（一）—— 人口增长模型的确定的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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