美玉人口數據的阻滯增長模型擬合分析 The Analysis of the Logistic Model about the Census Figure of the United States 胡朝暉 Hu Zhaohui (南昌大學管理科學與工程系，南昌33閃31) (The Department of Management SC ience and Eng ineeri ng，Nanchang Un文versity，Nanchang 330047) 摘要：首先采用多種方法對阻滯增長模型擬合出人口增長率r和最大人口容量，然后根據殘差的2一范數大小來判別 模擬結果的優劣。在擬合曲線過程中，對異常據進行了篩選，采用同種方法再次擬合，得到的結果比原來更準確，文中也對曲線擬合函數的初值選取問題進行了研究。 關鋮詞．人口擬合；MATLAB曲線擬合；Logistic模型 阻 中圖分類號：C81 1問題的提出 文獻標識碼：A 文章編號：1671一4792一(2007)04一0014一03 長期以來，人類的繁殖一直都在自發地進行著。只是由于人口數量的迅速膨脹和環境質量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關系、人口數量的變化規律，以及如何進行人口控制等問題·認識人口數量的變化規律，建立人口模型，作出較準確的預報，是有效控制人口增長的前提。其中一個最基本的人口模型．阻滯增長模型(Logistic 模型),它是對指數增長模型的基本假設進行修改后得到的，它考慮到了這一因素，即在分析人口增長到一定數量后增長率下降的主要原因，自然資源、環境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用會越來越大。 阻滯作用體現在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數量x的增加而下降。若將r表示為x的函數r(x),則它應是減函數·于是有 0，l) 對r(x)的一個最簡單的假定是，設r(x)為x的線性函數，即 r (x) =t—sx (r>O，90) 0．2) 這里r稱固有增長率，表示人口很少時的增長率。為了確定系數s的意義，引人自然資源和環境條件所能容納的最大人口數據、，稱人口容量·但×：、時人口不再增長，即增 責基金項目：江西省自然科學基金資助項目(0411038)· 長率r〈(.)，代人(1.2)式得$： ，于是(1.2)式為 (1.3) 將(1.3)式代人方程(1.1)中得： (1.4) 方程(1.4)右端的因子rx體現人口自身的增長趨勢，因1一則體現了資源和環境對人口增長的阻滯作用。若 要對美國人口數據進行擬合，則需要對〈1.4)進行求解· 2問題的求解及工具 2．1線性化方法求解要對0．4)式求解，可先做變換 則(1.4)式為：先采用數值微分方法求解一 再用matiab編程對(1.4)式進行參數擬合。 2 · 2非線性化求解 實際上，方程(1.4)可以用分離變量法求解得到． (1.5) 我們可以利用(1.5)式直接進行非線性擬合，求得參數r和x，用TL軟件計算可得· 3誤差分析的理論銥據 在TL中，數與數之間的最小分辨率用eps表示，它使關系式1+-eps 1成立，因此，表達任何數的相對誤差都不可能小于epso此外，求解問題的程序在執行中，都不可避免地使這個放大最小誤差，比如，被一個很小的數除、兩個十分接近的數相減都會對計算結果的精度產生很壞的影響，范數對求解過程中誤差放大現象進行定量描述有重要作用。矩陣的范數確定了被該矩陣相乘向量長度的最大可能 的放大倍數，其數學定義為：IAIl=max一；在本文的擬合 過程中，我們采用TL朋來計算模擬的，所以

總結

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