1798年，馬爾薩斯在《人口論》中提出：人口按幾何級數增長而生活資源只能按算術級數增長，所以不可避免地要導致饑饉、戰爭和疾病。幾百年過去了，馬爾薩斯人口學模型至今仍可以給我們許多啟示

Population growth is exponential while the growth of the food supply was expected to be arithmetical

? –Thomas Robert Malthus

Malthus Population Growth Model 馬爾薩斯人口增長模型：

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\propto p$$

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=(b?d)p$$

p ：人口數量；b：人口增長率；d：死亡率

解微分方程

$$\int \frac{1}{p}\mathrm{d}p=\int (b?d)\mathrm{d}t$$

$$lnp=(b?d)t$$

可得：

$$p=p(0)e^{(b?d)t}$$

P(0)表示初始值，即 t=0 這個模型正是本章開頭馬爾薩斯提出的理論，人口是指數爆炸級增長的

事實上，用這個模型來描述生物界物種增長是不合理的，因為自然界的生物在數量的增長過程中會受到資源短缺，種內競爭等因素的限制，數量不可能無限增長，數學模型建立好后是要根據實際情況不斷修正的，那么我們如何改進馬爾薩斯的模型呢？

Logistic Model –模型的改進

這里我們考慮自然資源和種內競爭等因素對生物數量增長的影響

為了使模型簡化：我們需要做一個假設

因為資源短缺、種內競爭的存在, 凈增長率 （b-d）不可能為常數，而是一個隨著種群數量增長下降的狀態，我們設 $(b?d)=r$，即

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=rp$$, 我們將通過重新定義變量 $r$ 來修正馬爾薩斯模型

Assumption：假設凈增長率 $r$隨著種群數量 $p$ 呈線性關系

$$r=ap+b$$

a、b 都是常數，結合實際情況，我們可以求出這兩個常數, 注意這里 $r$ 是關于 $p$的函數： $r(p)$

• 注意到初始狀態下，增長率是 $(b?d)=r$ , 所以有：$r(0)=r$

• 當種群數量達到最大，即此時自然環境最為惡劣，種群不再增長, 所以有：$r(k)=0$

  這里 $k$指得是環境能容納種群的最大數量，Capacity

由上述兩個條件可以用待定系數法解出常數 $a$ , $b$

$a=?\frac{k}{r}$, $b=r$

所以：

$$r(p)=r?\frac{r}{k}p$$

將其代入馬爾薩斯模型中：

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=(r?\frac{r}{k}p)p$$

把 $r$ 提出來, 得到 Logistic Model

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=rp(1?\frac{p}{k})$$

解微分方程：

$$\frac{1}{p(1?p/k)}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=r$$
$$\int \frac{1}{p(1?p/k)}\mathrm{d}p=\int r\mathrm{d}t$$
$$\int \frac{1}{p}?\frac{1}{k?p}\mathrm{d}p=\int b\mathrm{d}t$$
$$log(p)?log(k?p)=bt+C$$
$$log(\frac{p}{k?p})=bt+log(\frac{p(0)}{k?p(0)})$$
$$\frac{p}{k?p}=\frac{p(0)}{k?p(0)}{e}^{bt}$$
$$(k?p(0))p(t)=(k?p(t))p(0)e^{b}t$$

所以
$$p(t)=\frac{p(0)k{e}^{kt}}{k+p(0)(e^{kt}?1)}$$

通過分離變量，我們求得了 logistics Model 的解，其中 $p(0)$ 表示初始值

通過模型的求解，我們可以得到一個函數圖像：

通過函數圖像我們分析出模型增長特點：

• 最開始時增長很慢
• 之后增長率逐漸呈現指數形式
• 最后增長趨于緩慢，就像對數函數（Logarithm）一樣

所以：自然界中符合這種形式的增長，都可以叫做 Logistic 模型；

模型的應用：

Logistic 模型可以反應很多自然規律，并且比指數增長模型更具描述性：
例如，它們可以用來為創新過程建模:設想一下，在創新的早期階段，當創新初期，是幾乎看不到增長；隨后，大量的研究和開發工作完成，該行業也大致呈指數級增長；最后，在后期，當市場上有多個競爭對手時，“最簡單”的改進已經完成，創新速度明顯放緩，接近某個極限值。

Logistics 模型在醫學，化學，生態學，語言學，機器學習等眾多領域有著更加深入的應用，似乎大量的自然現象都可以用這種形式的增長來描述。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的马尔萨斯人口模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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