概述

樹的章節一般分兩大部分： 一部分將樹，一部分將二叉樹；雖然二叉樹也是樹，但是二叉樹足夠特殊，足夠有用，所以重點來講；或者說，如果不是二叉樹，樹的家族也不會如此的德高望重。

在二叉樹中，又有一些特殊性質的二叉樹，可能沒法用樹的結構來描述他們之間的關系；比如： 滿二叉樹一定是完全二叉樹；完全二叉樹和二叉排序樹直接卻沒有從屬關系；完全二叉樹和二叉排序樹是從不同的維度定義出來的特殊的二叉樹。

二叉排序樹(也叫二叉查找樹)在樹的家族中是一顆耀眼的明星，但是在樹的章節中沒有被介紹，大概因為這是二叉樹的實際應用，而和樹本身的形態沒有直接關系；還有一些特殊的樹，如：紅黑樹、B+、B-樹，稍后再研究，有些數據結構的書是沒有提及的，大概因為這些東西可以自學，不需要教吧。

樹

樹的邏輯結構

樹的定義

樹是n(n>=0)個結點的有限集合。當 n= 0 時，稱為空樹；任意一顆非空樹滿足一下兩個條件：

有且只有一個特定的稱為根的結點

當 n > 1 時，除根結點之外的其余結點被分成m(m>0)個互不相交的有限集合T1, T2, …, Tm，其中每個集合又是一棵樹，并稱為這個根結點的子樹

樹的基本術語

結點的度，樹的度

葉子結點，分支結點

孩子結點，雙親結點，兄弟結點

路徑、路徑長度

祖先、子孫

結點的層數、樹的深度(高度)

層序編號

有序樹、無序樹

森林

同構

樹的表示形式

一般有四種表示形式：

樹形圖

嵌套圖

凹凸表

廣義表

樹的遍歷

前(根)序遍歷

后(根)序遍歷

層序遍歷

注： 這里說的是樹，不是二叉樹，所以沒有中序遍歷(如果有的話，三個子樹的樹根應該放哪里？)

樹的存儲結構

雙親表示法

思想： 每個結點都記住自己雙親結點的位置(即可保證該樹是唯一的)

缺點： 要找到一個結點的所有孩子是比較麻煩的

使用數組存儲還是比較方便的

孩子表示法

思想： 每個結點都記住自己孩子的位置(即可保證該樹是唯一的)

缺點： 要找到結點的雙親結點比較麻煩

兩種形式：

多重鏈表標識

思想： 父親那N個繩拉住自己的N個孩子

關于拿幾根繩？兩種辦法：

有幾個孩子拿幾根繩

需要有一個地方記錄自己的繩子數目(就是該結點的度)

孩子最多的父親拿幾根繩子大家就都拿幾根繩子

沒人的繩子數目是一樣的，不需要各自記錄

孩子鏈表

思想：所有節點維護在一個數組中；然后，父親拿一根繩子牽著老大，然后老大牽著老二；依次類推

孩子雙親表示法

思想：孩子表示法中，添加一個雙親節點的指針

孩子兄弟表示法

思想： 每個節點都左手拉著自己孩子，右手拉著自己的弟弟妹妹

二叉樹

概述

二叉樹是一種最簡單的樹結構，其存儲結構更具有規范性和確定性，在一系列條件的約束下，使得二叉樹具有很多的性質，方便我們研究和使用二叉樹。

二叉樹的定義

二叉樹的5種基本形態

空二叉樹

只有一個根結點

根結點只有左子樹

根結點只有右子樹

根結點既有左子樹又有右子樹

特殊二叉樹

斜樹

左斜樹

右斜樹

滿二叉樹

完全二叉樹

從滿二叉樹的最后面的結點去掉n (n >= 0)個結點都是完全二叉樹

滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹

二叉樹的性質

二叉樹有5個重要的性質，他們主要討論了樹的深度、結點數等之間的關系

在二叉樹的第i層上至多有2i-1個結點 (i >= 1)

深度為k的二叉樹至多有2k-1個結點 (k >=1)

對任何一顆二叉樹T，如果其葉子結點數為n0，度為2的結點數為n2，則：n0=n2+1

具有n個結點的完全二叉樹的深度為log2n+1

如果有一顆有n個節點的完全二叉樹的節點按層次序編號，對任一層的節點i(1<=i<=n)有1.如果i=1，則節點是二叉樹的根，無雙親，如果i>1，則其雙親節點為[i/2]，向下取整

2.如果2i>n那么節點i沒有左孩子，否則其左孩子為2i

3.如果2i+1>n那么節點沒有右孩子，否則右孩子為2i+1

二叉樹的遍歷

前序遍歷

中序遍歷

后序遍歷

二叉樹的存儲

順序表

思想： 將一棵樹通過添加“虛節點”的方式完善成完全二叉樹，然后存儲

缺點： 空間浪費嚴重，只適合存儲完全二叉樹的情況

鏈式存儲

二叉鏈表

思想： 每個結點包含數據域和左右孩子兩個指針域

缺點： 尋找雙親結點不方便

三叉鏈表

思想： 在二叉鏈表的基礎上添加雙親結點指針域

線索鏈表

實際問題： select * from tb where id < N limit 2; 在這種情況下，我們不僅要查到id=2的結點，還要找到他附近的一些結點；即： 需要訪問二叉樹中的結點在某種遍歷序列中的前驅和后繼；

于是： 在存儲結構中應該保存結點在某種遍歷序列中前驅和后繼的信息。

思想： 根據二叉樹的性質可知，二叉樹中有n+1個指針域為空，可以想辦法利用起來；通過添加標記來區分是孩子指針還是前驅(或后繼)指針；注意： 挨著自己的孩子在線索化中未必就挨著自己，但是要找到挨著自己的那個結點并不難，對于中序線索鏈表，如果自己子樹的深度為k，則，找到自己的前驅或后繼的時間復雜度為log2k

由于二叉樹的遍歷次序有三種，因此有三種意義上的前驅和后繼，相應的也有三種線索鏈表：前序線索鏈表、中序線索鏈表、后序線索鏈表。中序線索鏈表看起來更加直觀一些

中序線索鏈表上求結點前驅

中序線索鏈表上求結點后繼

中序線索鏈表上遍歷

總結

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